《天才引導的歷程：數學中的偉大定理》將兩千多年的數學發展歷程融為十二章內容，每章都包含了三個基本組成部分，即歷史背景、人物傳記以及在這些“數學杰作”中所表現出的創造性。作者精心挑選了一些杰出的數學家及其所創造的偉大定理，如歐幾里得、阿基米德、牛頓和歐拉。而這一個個偉大的定理，不僅串起了歷史的年輪，更是串起了數學這門學科所涵蓋的各個深邃而不乏實用性的領域。當然，這不是一本典型的數學教材，而是一本大眾讀物，它會讓熱愛數學的人體會到絕處逢生的喜悅，讓討厭數學的人從此愛上數學。
20多年來一直暢銷不衰的名家經典，如散文一樣優美、像小說一樣生動的數學書！
伯特蘭·羅素在他的自傳中回憶了他青少年時期的一場危機：
有一條小路，穿過田野，通向新南蓋特，我經常獨自一人去那里觀看日落，想象著自殺。然而，我最終沒有自殺，因為我希望了解更多的數學知識。
誠然，只有極少數人能夠如此虔誠地皈依數學，然而有許多人能夠領會數學的力量，特別是領會數學之美。本書謹獻給那些希望更深入地探索漫長而輝煌的數學史的人們。
對于文學、音樂和美術等各種學科，人們的傳統做法是以考證杰作——“偉大的小說”、“偉大的交響樂”、“偉大的繪畫”——作為最恰當和最有啟發性的研究對象。人們就這些主題著書立說，授課講學，使我們能夠了解這些學科中頗具創新意識的里程碑和創造這些里程碑的偉人。
本書采用類似的方法來研究數學，只不過書中大師們創造的不是小說或交響樂，而是定理。因此，本書不是一本典型的數學教材，沒有一步一步地推導某個數學分支的發展。本書也不強調數學在確定行星運行軌道、理解計算機世界或者結算支票等方面的應用。當然，數學在這些應用領域極其成功。然而，并不是這些世俗功利促使歐幾里得、阿基米德或喬治·康托爾為數學殫精竭慮，終生不悔。他們覺得沒有必要借功利目的為自己的工作辯解，正如莎士比亞不必解釋他為何要寫十四行詩而沒有寫食譜，或者凡高為何要畫油畫而沒有畫廣告畫一樣。
在本書中，我將從數學史的角度來探究一小部分最重要的證明和最精巧的邏輯推理，并重點闡述這些定理為什么意義深遠，以及數學家們是如何徹底地解決了這些迫切的邏輯問題的。本書的每一章都包含三個基本組成部分。
第一部分是歷史背景。本書中的“偉大定理”跨越了2300多年的人類歷史。在討論某個定理之前，我都將先介紹歷史背景，介紹當時的數學狀況乃至整個世界的總體狀況。像其他任何事物一樣，數學也是在一定的歷史環境中產生的。因此，指明卡爾達諾三次方程的解法出現在哥白尼日心說公布后兩年和英格蘭國王亨利八世死前兩年是有意義的，強調青年學者艾薩克·牛頓1661年進入劍橋大學學習時，王政復辟對劍橋大學的影響也是有意義的。
第二部分是人物傳記。數學是有血有肉的實實在在的人的造物，而數學家的生平則可能給人以靈感、示人以悲劇或令人驚呼怪誕。本書所涉及的定理體現了許多數學家的勤奮努力，從交游廣闊的萊昂哈德·歐拉到生性好斗的約翰·伯努利，以及最世俗的文藝復興時期的人物杰羅拉莫·卡爾達諾，不一而足。了解這些數學家的不同經歷，有助于我們更好地理解他們的工作成果。
第三部分，即本書的重點，是在這些“數學杰作”中所表現出的創造性。不讀名著，無從理解；不觀名畫，無從體味。同樣，如果不去認真地、一步一步地鉆研這些證明方法，也不可能真正掌握這些偉大的數學定理。而要理解這些定理，就必須全神貫注，加倍努力。本書各章僅僅為理解這些定理梳理線索。
這些數學的里程碑還具有一種永世不滅的恒久性。在其他學科，今天流行的時尚，往往明天就被人遺忘。一百多年前，沃爾特·司各特爵士還是當時英國文學界中最受尊重的作家之一，而今天，人們對他已淡忘。20世紀，超級明星們匆匆來去，轉瞬即成歷史，而那些旨在改變世界的觀念，最終卻常常變成思想垃圾。
的確，數學的口味時常也會改變。但是，嚴格遵循邏輯的限定條件而得到完美證明的數學定理則是永恒的。公元前300年歐幾里得對畢達哥拉斯定理的證明，絲毫未因時光的流逝而喪失它的美與活力。相比之下，古希臘時期的天文學理論或醫術卻早已變成陳舊而有點可笑的原始科學了。19世紀的數學家赫爾曼·漢克爾說得好：
就大多數學科而言，一代人摧毀的正是另一代人所建造的，而他們所建立的也必將為另一代人所破壞。只有數學不同，每一代人都是在舊的建筑物上加進新的一層。
從這一點來看，當我們探討偉大數學家歷久彌新的成果時，就能夠逐漸體會奧利弗·亥維賽精辟的論說：“邏輯能夠很有耐性，因為它是永恒的。”
在選擇最能體現數學精髓的這些定理時，我考慮了許多方面的因素。如前所述，我首要考慮的是找到具有深刻見解或獨創性的論題。當然，這里有一個個人好惡的問題，我承認，不同的作者肯定會選取不同的定理。除此之外，能夠直接看到數學家通過巧妙的演繹，將看似深奧的問題變得清晰易懂，確實是一種不同尋常的經歷。據說，聰明人能夠戰勝困難，而天才則能夠戰勝不可能。顯而易見，本書將呈現許多天才。這里有真正的經典——數學界的《蒙娜麗莎》或《哈姆雷特》。
當然，選擇這些定理也有其他方面的考慮。首先，我希望本書能夠包含歷史上主要數學家的定理。例如，歐幾里得、阿基米德、牛頓和歐拉必不可少。忽略這些數學人物，猶如研究美術史而不提倫勃朗或塞尚的作品一樣。
其次，為求豐富多彩，我兼顧了數學的各個分支。書中的命題來自平面幾何、代數、數論、分析學和集合論等各個領域。各種分支，以及它們之間的偶然聯系和相互影響，為本書增添了一些新鮮的氣息。
我還希望能在本書中展示重要的數學定理，而不僅僅是一些小巧的智力題。實際上，本書的大部分定理或者解決了長期存在的數學問題，或者提出了意義深遠的問題留待未來解決，或者二者兼而有之。每一章的結尾處都有后記，一般都會論證一個由該偉大定理提出的問題，同時會介紹其在數學史上的影響。
現在再跟大家說一說難度深淺的問題。顯然，數學有許多偉大的里程碑，其深度和難度只有專家可以理解，而所有其他人都會感到莫測高深。在一本針對一般讀者的書中引入這些定理是十分愚蠢的。只要具備高中代數和幾何知識即可理解本書所論述的定理。但有兩處例外，一是第9章在討論歐拉的工作成果時應用了三角學中的正弦曲線，二是第7章在討論牛頓的工作成果時應用了初等微積分。許多讀者可能已經掌握了這些知識，而對于那些尚未掌握這些知識的讀者，本書做了一些解釋，以幫助他們克服閱讀中的困難。
必須強調，本書不是一本學術著作。一些重大的數學問題或微妙的歷史問題當然不可能在這種書中一一述及。雖然我盡力避免編入一些錯誤的或歷史上不準確的材料，但這里也不是對所有問題的所有方面刨根問底的時間和場合。畢竟，本書是一本大眾讀物，不是科學著作或新聞報道。
就此，我必須對定理證明的真實性說幾句。在準備寫這本書的時候，我發現，為了讓現代讀者能夠理解這些數學資料，我不得不對定理創始人最初使用的符號、術語和邏輯戰略做一些變通。完全照搬原作會使一些定理非常難于理解，但嚴重偏離原作又與我的歷史目標相沖突。總之，我盡力保留了定理原作的全部要旨和大量細節。我所作的修改并不嚴重，在我看來，不過就像是用現代樂器演奏莫扎特的樂曲一樣。
因此，我們即將開始兩千年的數學里程之旅。這些定理雖然古老，但在歷經許多個世紀之后，卻依舊保持著一種新鮮感，依舊能展現古人的精湛技藝。我希望讀者能夠理解這些證明，并能夠領會這些定理的偉大之處。對于達到這一境界的讀者，我希望他們不僅會對他人的偉大之處肅然起敬，還會因為能夠理解大師著作而增加成就感。
致謝
我在編寫本書時，曾得到過許多機構和個人的幫助，謹在此表示感謝。首先，我要感謝私人企業和公共部門提供的寶貴贈款：利利捐贈基金有限公司提供的1983年夏季津貼，以及美國國家人文基金會為1988年題為“歷史上的數學經典定理”夏季研討會提供的資金。利利捐贈基金有限公司和美國國家人文基金會的支持，使我得以歸納以往對數學史的散亂興趣，從而形成在漢諾威學院和俄亥俄州立大學教授的系統課程。
我衷心感謝俄亥俄州立大學，特別是數學系，在我作為客座教員編寫本書時所給予我的熱情支持。數學系主任約瑟夫·費拉爾以及瓊·萊澤爾和吉姆·萊澤爾，在我任客座教員的兩年期間，一直給予我有力的幫助和支持，對此，我永志不忘。
許多個人也為本書提供了幫助。感謝圖書館管理員魯思·埃文斯在我1980年休假期間為我提供了1900年以前的數學資料匯編；感謝美國國家人文基金會的史蒂文·泰格納和邁克爾·霍爾對本書之前夏季研討會提出的良好建議；感謝卡羅爾·鄧納姆的熱情和鼓勵；感謝俄亥俄州立大學的艾米·愛德華茲和吉爾·鮑默–皮納為我介紹麥金托什文字處理系統的細節；感謝威利公司編輯凱瑟琳·肖沃爾特、勞拉·盧因和史蒂夫·羅斯對一個初出茅廬的作者的寬容；感謝全美最有權威的發言人之一，鮑靈格林州立大學的V.弗雷德里克·里基提出的觀點，即數學也像其他學科一樣具有不容忽視的歷史；感謝巴里·A.西普拉和韋斯特蒙特學院的拉塞爾·豪厄爾對本書手稿所作的大有裨益的仔細審查；感謝漢諾威學院的喬納森·史密斯在出版前的最后階段提出的編輯意見。
我應特別感謝彭尼·鄧納姆，她為本書繪制了插圖，并就書的內容提出了許多寶貴建議。彭尼是一位非凡的數學教師，在共同主辦美國國家人文基金會贊助的研討會期間，她是一位不可替代的同仁，同時，她也是我的支持者、顧問、夫人和可以想象到的最好朋友。
最后，我要特別感謝布倫丹和香農兩位大師。
威廉·鄧納姆
俄亥俄州哥倫布市
William Dunham，俄亥俄州立大學碩士和博士畢業，現為美國穆倫堡學院教授，世界知名的數學史專家。他分別于1992年、1997年、2006年獲得美國數學協會頒發的George Polya獎、Trevor Evans 獎和Lester R. Ford獎。Dunham教授著述頗豐，除本書外，還著有《The Mathematical Universe： An Alphabetical Journey Through the Great Proofs， Problems， and Personalities》（數學那些事兒：思想、發現、人物和歷史）等廣受好評的科普著作。
譯者序
前言
第1章 希波克拉底的月牙面積定理（約公元前440年）
論證數學的誕生
有關求面積問題的一些評論
偉大的定理：月牙面積
后記
第2章 歐幾里得對畢達哥拉斯定理的證明（約公元前300年）
歐幾里得的《幾何原本》
第一卷：準備工作
第一卷：早期命題
第一卷：平行線及有關命題
偉大的定理：畢達哥拉斯定理
后記
第3章 歐幾里得與素數的無窮性（約公元前300年）
《幾何原本》第二至六卷
《幾何原本》中的數論
偉大的定理：素數的無窮性
《幾何原本》的最后幾卷
后記
第4章 阿基米德的求圓面積定理（約公元前225年）
阿基米德的生平
偉大的定理：求圓面積
阿基米德名作：《論球和圓柱》
后記
第5章 海倫的三角形面積公式（約公元75年）
阿基米德之后的古典數學
偉大的定理：海倫的三角形面積公式
后記
第6章 卡爾達諾與三次方程解（1545年）
霍拉肖代數的故事
偉大的定理：三次方程的解
有關解方程的其他問題
后記
第7章 艾薩克？牛頓的珍寶（17世紀60年代后期）
英雄世紀的數學
解放了的頭腦
牛頓二項式定理
偉大的定理：牛頓的π近似值
后記
第8章 伯努利兄弟與調和級數（1689年）
萊布尼茨的貢獻
伯努利兄弟
偉大的定理：調和級數的發散性
最速降線的挑戰
后記
第9章 萊昂哈德？歐拉非凡的求和公式（1734年）
通曉數學的大師
偉大的定理：計算1+14+19+116+125+…+1k2+…的值
后記
第10章 歐拉數論集錦（1736年）
費馬的遺產
偉大的定理：歐拉對費馬猜想的反駁
后記
第11章 連續統的不可數性（1874年）
19世紀的數學
康托爾與無窮的挑戰
偉大的定理：連續統的不可數性
后記
第12章 康托爾與超限王國（1891年）
無限基數的性質
偉大的定理：康托爾定理
后記
結束語
參考文獻
第1章 希波克拉底的月牙面積定理（約公元前440年）
論證數學的誕生
我們對人類最早期數學發展的認識在很大程度上依靠推測，是根據零星的考古資料、建筑遺跡和學者的猜測拼湊而成的。顯然，隨著公元前15000到公元前10000年之間農業的出現，人類不得不（至少是以簡陋的方式）應付兩個最基本的數學概念：量和空間。量的概念，或“數”的概念，是在人們數羊或分配糧食時產生的，經過歷代學者幾百年的推敲和發展，量的概念逐漸形成了算術，后來又發展成為代數。同樣，最初的農夫也需要認識空間關系，特別是與田地和牧場的面積有關的問題，隨著歷史的發展，這種對空間的認識就逐漸形成了幾何學。自從人類文明之初，數學的這兩大分支（算術和幾何）就以一種原始的形式共存。
這種共存并非永遠和諧。數學史上一個不變的特征就是在算術與幾何之間始終存在著緊張關系。有時，一方超過了另一方；有時，另一方又比這一方在邏輯上更占優勢，讓人感覺更可信。而一個新發現，一種新觀點，都可能會扭轉局面。也許，有人會感到十分驚訝，數學竟然像美術、音樂或文學一樣，在其漫長而輝煌的歷史進程中，存在著激烈的競爭。
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