本書系一經(jīng)典性名著。
本書系統(tǒng)地提供了為解決各種重要物理問題所需的基本數(shù)學(xué)方法。全書分三卷出版，卷II的內(nèi)容基本上與卷I無(wú)關(guān)，是從數(shù)學(xué)物理的觀點(diǎn)來(lái)處理偏微分方程理論的，其中包括：一階偏微分方程的一般理論、高階偏微分方程、勢(shì)論及橢圓型微分方程、兩個(gè)自變量的雙曲型微分方程和多于兩個(gè)自變量的雙曲型微分方程。
本書內(nèi)容十分豐富，可供數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)等方面的研究工作者、教師和學(xué)生參考。
英文版原序摘譯
第1章 引論
1.1 關(guān)于各種解的一般知識(shí)
1.1.1 例
1.1.2 已給函數(shù)族的微分方程
1.2 微分方程組
1.2.1 微分方程組和單個(gè)的微分方程等價(jià)的問題
1.2.2 常系數(shù)線性方程組的消去法
1.2.3 適定的、超定的、欠定的方程組
1.3 特殊微分方程的求積法
1.3.1 分離變量法
1.3.2 用疊加法構(gòu)造更多的解.傳熱方程的基本解.Poisson積分
1.4 兩個(gè)自變量的一階偏微分方程的幾何解釋.完全積分
1.4.1 一階偏微分方程的幾何解釋
1.4.2 完全積分
1.4.3 奇異積分
1.4.4 例
1.5 一階線性和擬線性微分方程的理論
1.5.1 線性微分方程
1.5.2 擬線性微分方程
1.6 Legendre變換
1.6.1 對(duì)于二元函數(shù)的Legendre變換
1.6.2 對(duì)于n元函數(shù)的Legendre變換
1.6.3 Legendre變換在偏微分方程上的應(yīng)用
1.7 Cauchy和Kowalewsky存在定理
1.7.1 引言和例
1.7.2 化為擬線性微分方程組
1.7.3 初始流形上的導(dǎo)數(shù)的確定法
1.7.4 解析微分方程的解的存在性的證明
1.7.5 關(guān)于線性微分方程的一件注意事項(xiàng)
1.7.6 關(guān)于非解析微分方程的一個(gè)附注
1.7.7 關(guān)于臨界初始數(shù)據(jù)的幾點(diǎn)注記.特征
第1章附錄I 關(guān)于極小曲面的支持函數(shù)的Laplace微分方程
第1章附錄II 一階微分方程組和高階微分方程組
1".1 啟發(fā)性的話
1".2 兩個(gè)一階偏微分方程所成的組和一個(gè)二階微分方程等價(jià)的條件
第2章 一階偏微分方程的一般理論
2.1 兩個(gè)自變量的擬線性微分方程的幾何理論
2.1.1 特征曲線
2.1.2 初值問題
2.1.3 例
2.2 n個(gè)自變量的擬線性微分方程
2.3 兩個(gè)自變量的一般微分方程
2.3.1 特征曲線和焦線.Monge錐
2.3.2 初值問題的解
2.3.3 特征作為分支元素.補(bǔ)充說明.積分劈錐面.焦散流形
2.4 完全積分
2.5 焦線和Monge方程
2.6 例
2.6.1 直光線的微分方程.(grad u)2=1
2.6.2 方程F(ux;uy)=0
2.6.3 Clairaut微分方程
2.6.4 管狀曲面的微分方程
2.6.5 齊性關(guān)系式
2.7 n個(gè)自變量的一般微分方程
2.8 完全積分及Hamilton-Jacobi理論
2.8.1 包絡(luò)和特征曲線的造法
2.8.2 特征微分方程的典范形式
2.8.3 Hamilton-Jacobi理論
2.8.4 例.二體問題
2.8.5 例.橢球面上的短程線
2.9 Hamilton-Jacobi理論及變分法
2.9.1 典范形式的Euler微分方程
2.9.2 短程距離或短時(shí)距及其導(dǎo)數(shù).Hamilton-Jacobi偏微分方程
2.9.3 齊次被積函數(shù)
2.9.4 極值曲線場(chǎng).Hamilton-Jacobi微分方程
2.9.5 射線錐面.Huygens構(gòu)造法
2.9.6 短時(shí)距的表示式的Hilbert不變積分
2.9.7 Hamilton-Jacobi定理
2.10 典范變換和應(yīng)用
2.10.1 典范變換
2.10.2 Hamilton-Jacobi定理的新證明
2.10.3 常數(shù)的變易(典范擾動(dòng)理論)
第2章附錄I
2'.1 特征流形的進(jìn)一步討論
2'.1.1 關(guān)于在n維空間中求導(dǎo)的一些注釋
2'.1.2 初值問題.特征流形
2'.2 具有相同主要部分的擬線性微分方程組.理論的新推演
2'.3 Haar的唯一性的證明
第2章附錄II 守恒定理的理論
第3章 高階微分方程
3.1 兩個(gè)自變量的二階線性和擬線性微分算子的標(biāo)準(zhǔn)形式
3.1.1 橢圓型、雙曲型和拋物型的標(biāo)準(zhǔn)形式.混合型
3.1.2 例
3.1.3 兩個(gè)自變量的二階擬線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式
3.1.4 例.極小曲面
3.1.5 兩個(gè)一階微分方程的方程組
3.2 一般的分類和特征
3.2.1 記號(hào)
3.2.2 兩個(gè)自變量的一階方程組.特征
3.2.3 n個(gè)自變量的一階方程組
3.2.4 高階微分方程.雙曲性
3.2.5 補(bǔ)注
3.2.6 例.Maxwell方程和Dirac方程
3.3 常系數(shù)線性微分方 程
3.3.1 二階方程的分類和標(biāo)準(zhǔn)形
3.3.2 二階方程的基本解
3.3.3 平面波
3.3.4 平面波(續(xù)).前進(jìn)波.彌散
3.3.5 例.電報(bào)方程.電纜中的無(wú)畸變波
3.3.6 柱面波和球面波
3.4 初值問題.波動(dòng)方程的輻射問題
3.4.1 熱傳導(dǎo)的初值問題.θ函數(shù)的變換
3.4.2 波動(dòng)方程的初值問題
3.4.3 Duhamel原理.非齊次方程.推遲勢(shì)
3.4.3' 一階方程組的Duhamel原理
3.4.4 二維空間里的波動(dòng)方程的初值問題.降維法
3.4.5 輻射問題
3.4.6 傳播現(xiàn)象和Huygens原理
3.5 用Fourier積分解初值問題
3.5.1 Fourier積分的Cauchy方法
3.5.2 例
3.5.3 Cauchy方法的證明
3.6 數(shù)學(xué)物理微分方程的曲型問題
3.6.1 引言
3.6.2 基本原理
3.6.3 關(guān)于“不適定的”問題的注記
3.6.4 關(guān)于線性問題的一般注記
第3章附錄I
3'.1 Sobolev引理
3'.2 伴隨算子
3'.2.1 矩陣算子
3'.2.2 伴隨微分算子
第3章附錄II Holmgren的唯一性定理
第4章 勢(shì)論及橢圓型微分方程
4.1 基本概念
4.1.1 Laplace方程.Poisson方程及有關(guān)方程
4.1.2 質(zhì)量分布的勢(shì)
4.1.3 Green公式和應(yīng)用
4.1.4 質(zhì)量分布的勢(shì)的導(dǎo)數(shù)
4.2 Poisson積分及其應(yīng)用
4.2.1 邊值問題及Green函數(shù)
4.2.2 對(duì)于圓和球的Green函數(shù).對(duì)于球和半空間的Poisson積分
4.2.3 Poisson公式的一些推論
4.3 平均值定理及其應(yīng)用
4.3.1 齊次的及非齊次的平均值方程
4.3.2 平均值定理的逆定理
4.3.3 對(duì)于空間分布的勢(shì)的Poisson方程
4.3.4 其他橢圓型微分方程的平均值定理
4.4 邊值問題
4.4.1 準(zhǔn)備知識(shí).對(duì)邊界值和區(qū)域的連續(xù)依賴性
4.4.2 用Schwarz交替法求邊值問題的解
4.4.3 對(duì)于具有充分光滑邊界的平面域的積分方程法
4.4.4 關(guān)于邊界值的注記
4.4.4' 容量和邊界值的取得
4.4.5 Perron的下調(diào)和函數(shù)法
4.5 約化的波動(dòng)方程.散射
4.5.1 背景
4.5.2 Sommerfeld的輻射條件
4.5.3 散射
4.6 更一般的橢圓型微分方程的邊值問題.解的唯一性
4.6.1 線性微分方程
4.6.2 非線性方程
4.6.3 關(guān)于Monge-Ampère微分方程的Rellich定理
4.6.4 極大值原理及應(yīng)用
4.7 Schauder的先驗(yàn)估計(jì)及其應(yīng)用
4.7.1 Schauder的估計(jì)
4.7.2 邊值問題的解
4.7.3 強(qiáng)閘函數(shù)及其應(yīng)用
4.7.4 L[u]=f的解的某些性質(zhì)
4.7.5 關(guān)于橢圓型方程的進(jìn)一步的結(jié)果.在邊界上的性態(tài)
4.8 Beltrami方程的解
4.9 關(guān)于一個(gè)特殊擬線性方程的邊值問題.Leray和Schauder的不動(dòng)點(diǎn)法
4.10 用積分方程法解橢圓型微分方程
4.10.1 特解的構(gòu)造.基本解.參助函數(shù)
4.10.2 附注
第4章附錄I 非線性方程
4'.1 擾動(dòng)理論
4'.2 方程Δu=f(x;u)
第4章附錄II 橢圓型偏微分方程理論的函數(shù)論觀
4".1 準(zhǔn)解析函數(shù)的定義
4".2 一個(gè)積分方程
4".3 相似性原理
4".4 相似性原理的應(yīng)用
4".5 形式冪
4".6 準(zhǔn)解析函數(shù)的微分與積分
4".7 例.混合型方程
4".8 準(zhǔn)解析函數(shù)的一般定義
4".9 擬共形性和一個(gè)一般表示定理
4".10 一個(gè)非線性邊值問題
4".11 Riemann映射定理的一個(gè)推廣
4".12 關(guān)于極小曲面的兩個(gè)定理
4".13 具有解析系數(shù)的方程
4".14 Privaloff的定理的證明
4".15 Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的證明
第5章 兩個(gè)自變量的雙曲型微分方程
5.0 引言
5.1 關(guān)于主要是二階的微分方程的特征
5.1.1 基本概念.擬線性方程
5.1.2 積分曲面上的特征
5.1.3 特征線是間斷性的曲線.波前.間斷性的傳播
5.1.4 一般的二階微分方程
5.1.5 高階微分方程
5.1.6 特征在點(diǎn)變換下的不變性
5.1.7 化為一階擬線性方程組
5.2 一階雙曲型方程組的特征標(biāo)準(zhǔn)形式
5.2.1 線性、半線性及擬線性方程組
5.2.2 k=2的情形.用速矢端線變換法達(dá)到線性化
5.3 在可壓縮流體動(dòng)力學(xué)上的應(yīng)用
5.3.1 一維等熵流
5.3.2 球面對(duì)稱流
5.3.3 定常無(wú)旋流
5.3.4 關(guān)于非等熵流的三個(gè)方程的組
5.3.5 線性化的方程
5.4 唯一性.依賴區(qū)域
5.4.1 依賴區(qū)域、影響區(qū)域及決定區(qū)域
5.4.2 對(duì)于二階線性微分方程解的唯一性的證明
5.4.3 對(duì)于一階線性組的一般唯一性定理
5.4.4 關(guān)于擬線性組的唯一性
5.4.5 能量不等式
5.5 解的Riemann表示
5.5.1 初值問題
5.5.2 Riemann函數(shù)
5.5.3 Riemann函數(shù)的對(duì)稱性
5.5.4 Riemann函數(shù)及由一點(diǎn)發(fā)出的輻射.向高階問題的推廣
5.5.5 例
5.6 用迭代法解線性和半線性雙曲型的初值問題
5.6.1 二階方程的解的構(gòu)造
5.6.2 對(duì)于一階線性及半線性組的記號(hào)和結(jié)果
5.6.3 解的構(gòu)造
5.6.4 附注.解對(duì)參數(shù)的依賴性
5.6.5 混合初值及邊值問題
5.7 關(guān)于擬線性組的Cauchy問題
5.8 對(duì)于單個(gè)的高階雙曲型微分方程的Cauchy問題
5.8.1 化為一階特征組
5.8.2 L[u]的特征表示
5.8.3 Gauchy問題的解
5.8.4 其他解法.P.Ungar給出的一個(gè)定理
5.8.5 附注
5.9 解的間斷性.激波
5.9.1 廣義解.弱解
5.9.2 表現(xiàn)守恒定律的擬線性組的間斷性.激波
第5章附錄I 特征作為坐標(biāo)的應(yīng)用
5'.1 關(guān)于一般二階非線性方程的附注
5'.1.1 擬線性微分方程
5'.1.2 一般的非線性方程
5'.2 Monge-Ampèere方程的特殊性質(zhì)
5'.3 利用復(fù)數(shù)域由橢圓型轉(zhuǎn)變?yōu)殡p曲型的情形
5'.4 在橢圓型情形中解的解析性
5'.4.1 函數(shù)論的注記
5'.4.2 Δu=f(x;y;u;p;q)的解的解析性
5'.4.3 關(guān)于一般微分方程F(x;y;u;p;q;r;s;t)=0的注記
5'.5 對(duì)于解的延拓使用復(fù)數(shù)量
第5章附錄II 瞬態(tài)問題與Heaviside運(yùn)算微積
5".1 用積分表示解瞬態(tài)問題
5".1.1 顯例.波動(dòng)方程
5".1.2 問題的一般性提法
5".1.3 Duhamel積分
5".1.4 實(shí)驗(yàn)解疊加法
5".2 Heaviside算子法
5".2.1 最簡(jiǎn)單的算子
5".2.2 算子實(shí)例及應(yīng)用
5".2.3 應(yīng)用于傳熱問題
5".2.4 波動(dòng)方程
5".2.5 運(yùn)算微積的理論根據(jù).其他一些算子的解釋
5".3 瞬態(tài)問題的一般理論
5".3.1 Laplace變換
5".3.2 用Laplace變換解瞬態(tài)問題
5".3.3 舉例.波動(dòng)方程與電報(bào)方程
第6章 多于兩個(gè)自變量的雙曲型微分方程
6.0 引言
第一部分 解的唯一性、構(gòu)造、幾何性質(zhì)
6.1 二階微分方程.特征的幾何性質(zhì)
6.1.1 二階擬線性微分方程
6.1.2 線性微分方程
6.1.3 射線或雙特征
6.1.4 特征曲面作為波前
6.1.5 特征的不變性
6.1.6 射線錐面.法錐面.射線劈錐面
6.1.7 與Riemann尺度的聯(lián)系
6.1.8 對(duì)射變換
6.1.9 Huygens的波前構(gòu)圖法
6.1.10 類空間曲面.類時(shí)間方向
6.2 二階方程.特征的作用
6.2.1 二階間斷性
6.2.2 沿特征曲面的微分方程
6.2.3 間斷性沿射線的傳播
6.2.4 例證.三維空間里波動(dòng)方程Cauchy問題的解
6.3 高階算子的特征流形的幾何性質(zhì)
6.3.1 記號(hào)
6.3.2 特征曲面.特征形.特征矩陣
6.3.3 特征條件在時(shí)空中的解釋.法錐面與法曲面.特征零化矢量與本征值
6.3.4 特征曲面——波前的構(gòu)造.射線、射線錐面、射線劈錐面
6.3.5 波前與Huygens的構(gòu)圖法.射線曲面與法曲面
6.3.6 不變性
6.3.7 雙曲性.類空間流形、類時(shí)間方向
6.3.8 對(duì)稱雙曲型算子
6.3.9 高階對(duì)稱雙曲型方程
6.3.10 多重特征曲面葉和可約化性
6.3.11 關(guān)于雙特征方向的引理
6.3' 例.流體動(dòng)力學(xué)、晶體光學(xué)、磁流體動(dòng)力學(xué)
6.3'.1 引言
6.3'.2 流體動(dòng)力學(xué)微分方程組
6.3'.3 晶體光學(xué)
6.3'.4 法曲面和射線曲面的形狀
6.3'.5 晶體光學(xué)的Cauchy問題
6.3'.6 磁流體動(dòng)力學(xué)
6.4 間斷性的傳播和Cauchy問題
6.4.1 引言
6.4.2 一階方程組的一階導(dǎo)數(shù)的間斷性.輸動(dòng)方程
6.4.3 初始值的間斷性.理想函數(shù)的引入.前進(jìn)波
6.4.4 一階方程組的間斷性的傳播
6.4.5 重?cái)?shù)不變的特征
6.4.5' 間斷性沿高于一維的流形而傳播的例子.錐形折射
6.4.6 初始間斷的分解和Cauchy問題的解
6.4.6' 特征曲面作為波前
6.4.7 用收斂的波展開式解Cauchy問題
6.4.8 二階和高階的方程組
6.4.9 補(bǔ)注.弱解.激波
6.5 振蕩的初始值.解的漸近展開式.向幾何光學(xué)的過渡
6.5.1 前注.高階前進(jìn)波
6.5.2 漸近解的構(gòu)造
6.5.3 幾何光學(xué)
6.6 初值問題的唯一性定理和依賴區(qū)域的例子
6.6.1 波動(dòng)方程
6.6.2 微分方程utt-Δu+(λ/t)ut=0(Darboux方程)
6.6.3 真空中的Maxwell方程
6.7 雙曲型問題的依賴區(qū)域
6.7.1 引言
6.7.2 依賴區(qū)域的描述
6.8 能量積分和一階線性對(duì)稱雙曲型方程組的唯一性定理
6.8.1 能量積分和Cauchy問題的唯一性
6.8.2 一階的和高階的能量積分
6.8.3 混合初邊值問題的能量不等式
6.8.4 對(duì)于單個(gè)二階方程的能量積分
6.9 高階方程的能量估計(jì)
6.9.1 引言
6.9.2 關(guān)于高階雙曲型算子的解的能量恒等式和不等式.Leray與Garding的方法
6.9.3 其他方法
6.10 存在定理
6.10.1 引言
6.10.2 存在定理
6.10.3 關(guān)于初始值性質(zhì)的持久性和關(guān)于相應(yīng)的半群的一些注記.Huygens小原理
6.10.4 聚焦.可微性非持久的例子
6.10.5 關(guān)于擬線性方程組的注記
6.10.6 關(guān)于高階方程或非對(duì)稱方程組的注記
第二部分 解的表示
6.11 引言
6.11.1 概述.記號(hào)
6.11.2 一些積分公式.函數(shù)的平面波分解式
6.12 常系數(shù)二階方程
6.12.1 Cauchy問題
6.12.2 波動(dòng)方程的解的構(gòu)造
6.12.3 降維法
6.12.4 解的進(jìn)一步的討論Huygens原理
6.12.5 非齊次方程.Duhamel積分
6.12.6 一般二階線性方程的Cauchy問題
6.12.7 輻射問題
6.13 球面平均法.波動(dòng)方程與Darboux方程
6.13.1 關(guān)于平均值的Darboux微分方程
6.13.2 與波動(dòng)方程的聯(lián)系
6.13.3 波動(dòng)方程的輻射問題
6.13.4 廣義前進(jìn)球面波
6.13' 用球面平均法解彈性波的初值問題
6.14 平面平均值法.對(duì)于一般常系數(shù)雙曲型方程的應(yīng)用
6.14.1 一般方法
6.14.2 在解波動(dòng)方程上的應(yīng)用
6.14' 在晶體光學(xué)方程和其他四階方程上的應(yīng)用
6.14'.1 Cauchy問題的解
6.14'.2 解的進(jìn)一步的討論.依賴區(qū)域.隙窩
6.15 Cauchy問題的解作為數(shù)據(jù)的線性泛函.基本解
6.15.1 說明.記號(hào)
6.15.2 借助于δ函數(shù)的分解來(lái)構(gòu)造輻射函數(shù)
6.15.3 輻射矩陣的正則性
6.15.3' 廣義Huygens原理
6.15.4 例子.特殊的常系數(shù)線性方程組.隙窩定理
6.15.5 例子.波動(dòng)方程
6.15.6 例子.關(guān)于單個(gè)二階方程的Hadamard的理論
6.15.7 進(jìn)一步的例子.兩個(gè)自變量.注記
6.16 超雙曲型微分方程和一般常系數(shù)二階方程
6.16.1 Asgeirsson的一般平均值定理
6.16.2 平均值定理的別證
6.16.3 在波動(dòng)方程上的應(yīng)用
6.16.4 波動(dòng)方程的特征初值問題的解
6.16.5 其他應(yīng)用.關(guān)于共焦橢球族的平均值定理
6.17 對(duì)于非類空間初始流形的初值問題
6.17.1 由中心在一個(gè)平面上的球上的平均值確定的函數(shù)
6.17.2 在初值問題上的應(yīng)用
6.18 關(guān)于前進(jìn)波的注記,信號(hào)的傳播和Huygens原理
6.18.1 無(wú)畸變前進(jìn)波
6.18.2 球面波
6.18.3 輻射與Huygens原理
第6章附錄 廣義函數(shù)——分布
6'.1 基本定義和概念
6'.1.1 引言
6'.1.2 理想元
6'.1.3 記號(hào)和定義
6'.1.4 疊積分
6'.1.5 線性泛函與算子——雙一次型
6'.1.6 泛函的連續(xù)性.試探函數(shù)的支集
6'.1.7 關(guān)于r連續(xù)性的引理
6'.1.8 幾個(gè)輔助函數(shù)
6'.1.9 例
6'.2 廣義函數(shù)
6'.2.1 引言
6'.2.2 用線性微分算子去定義
6'.2.3 用弱極限去定義
6'.2.4 用線性泛函去定義
6'.2.5 等價(jià)性.泛函的表示
6'.2.6 幾個(gè)結(jié)論
6'.2.7 例子.δ函數(shù)
6'.2.8 廣義函數(shù)與通常函數(shù)的等同
6'.2.9 定積分.有限部分
6'.3 廣義函數(shù)的演算
6'.3.1 線性運(yùn)算
6'.3.2 自變量的代換
6'.3.3 例子.δ函數(shù)的變換
6'.3.4 廣義函數(shù)的相乘與褶積
6'.4 補(bǔ)注.理論的修飾
6'.4.1 引言
6'.4.2 試探函數(shù)的它種空間.空間*.Fourier變換
6'.4.3 周期函數(shù)
6'.4.4 廣義函數(shù)與Hilbert空間.負(fù)范數(shù).強(qiáng)定義
6'.4.5 關(guān)于其他種類的廣義函數(shù)的注記
參考文獻(xiàn)
英漢名詞對(duì)照表
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