最優化技術是科學與工程領域中的重要數學工具。本書首先介紹非線性方程組的解析與數值解法，然后介紹各個分支的最優化問題建模與求解方法，包括無約束最優化、凸優化(如線性規劃、二次型規劃與幾何規劃等)、非線性規劃、混合整數規劃、多目標規劃與動態規劃等，最后簡要介紹智能優化方法，并與常規方法進行對比研究。與傳統的最優化技術方面的教材不同，本書側重于利用MATLAB語言直接描述與求解最優化問題。本書可作為一般讀者學習和掌握最優化技術的教材或教輔讀物，還可以作為高等學校理工科各專業的本科生和研究生學習計算機數學語言的教材，并適合作為相關人員查詢最優化計算方法的工具書。
薛定宇教授經典著作
- MATLAB/Simulink實用教程編程、計算與仿真
- 分數階微積分學：數值算法與實現
- 薛定宇教授大講堂（卷Ⅰ）：MATLAB程序設計
- 薛定宇教授大講堂（卷Ⅱ）：MATLAB微積分運算
- 薛定宇教授大講堂（卷Ⅲ）：MATLAB線性代數運算
- 薛定宇教授大講堂（卷Ⅳ）：MATLAB最優化計算
- 薛定宇教授大講堂（卷Ⅴ）：MATLAB微分方程求解
- 薛定宇教授大講堂（卷Ⅵ）：Simulink建模與仿真
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視頻公開課程愛課程或中國大學MOOC（慕課）現代科學運算MATLAB語言與應用（非嚴格配套本書視頻，僅供讀者參考）。
科學運算問題是每個理工科學生和科技工作者在課程學習、科學研究與工程實踐中常常會遇到的問題，不容回避。對于非純數學專業的學生和研究者而言，從底層全面學習相關數學問題的求解方法并非一件簡單的事情，也不易得出復雜問題的解，所以，利用當前最先進的計算機工具，高效、準確、創造性地求解科學運算問題是一種行之有效的方法，尤其能夠滿足理工科人士的需求。
作者曾試圖在同一部著作中敘述各個數學分支典型問題的直接求解方法，通過清華大學出版社出版了《高等應用數學問題的MATLAB 求解》。該書從2004 年出版之后多次重印再版，并于2023 年出版了第5 版，還配套發布了全新的MOOC 課程，一直受到廣泛的關注與歡迎。首次MOOC 開課的選課人數接近14000 人，教材內容也被數萬篇期刊文章和學位論文引用。
從作者首次使用MATLAB 語言算起，已經有30 余年的時間了，期間作者通過相關領域的研究、思考與一線教學實踐，積累了大量的實踐經驗資料。這些不可能在一部著作中全部介紹，所以作者與清華大學出版社策劃并出版了薛定宇教授大講堂系列圖書，系統深入地介紹基于MATLAB 語言與工具的科學運算問題的求解方法。該系列圖書不是原來版本的簡單改版，而是作者通過十余年的經驗和資料積累，全面貫穿再認識的思想寫作而成的，深度融合科學運算數學知識與基于MATLAB 的直接求解方法與技巧，力圖更好地詮釋計算機工具在每個數學分支的作用，幫助讀者以不同的思維與視角了解工程數學問題的求解方法，創造性地得出科學運算問題的解。
原系列圖書出版已經有幾年的時間了。在這幾年間，MATLAB 編程與Simulink建模技術發生了很大的變化，MATLAB 求解科學運算問題的工具也越來越完備， 因此有必要更新這些著作，融入新的內容，使其能發揮更大的作用，所以將陸續開始寫作新的版本。本書是利用MATLAB 求解最優化問題的著作。本書系統地介紹兩大主題－－非線性代數方程求解與最優化技術，主要解決這兩個領域的數值計算問題。本書首先介紹各種非線性代數方程的解析解方法與數值解方法，并介紹多解方程的求解問題。后續各章將介紹無約束最優化、線性規劃與二次型規劃等凸優化、非線性規劃、混合整數規劃、多目標規劃與動態規劃的基本概念與求解方法，側重于求取最優化問題全局最優解的探討與實踐。本書還將介紹一些常用的智能優化方法，并通過一些具體的例子，對智能優化方法的效果做必要的對比研究，得出有益的結論。
特別感謝團隊的同事潘峰博士在相關課程建設、教材建設與教學團隊建設中的出色貢獻和所做的具體工作。感謝美國加利福尼亞大學Merced 分校的陳陽泉教授近30 年來的真誠合作及對諸多問題的有意義的探討。幾十年來我與同事、學生、同行，甚至網友有益交流，其中有些內容已經形成了系列著作的重要素材，在此一并表示感謝。本書的出版還得到了美國MathWorks 公司圖書計劃的支持，在此表示謝意。
值此書付梓之際，衷心感謝相濡以沫的妻子楊軍教授，她數十年如一日的無私關懷是我堅持研究、教學與寫作工作的巨大動力。感謝女兒薛楊在文稿寫作、排版與視頻轉換中給出的建議和具體幫助。
薛定宇
2023年10月
薛定宇 ：分別在沈陽工業大學、東北大學和英國Sussex大學獲得學士（1985年）、碩士（1988年）和博士學位（1992年），1997年起任東北大學信息學院教授。深耕于計算機在數學與自動控制學科的應用，主持了國家精品課程建設，并于1996年在清華大學出版社出版《控制系統計算機輔助設計MATLAB與應用》，該教材被評為國家級精品教材，被認為是國內MATLAB應用領域具有深遠影響的一部圖書，為MATLAB在國內高校教學與科研中的普及起到了巨大的作用。先后被評為遼寧省教學名師、遼寧省優秀教師，獲得國家級教學成果二等獎、中國自動化學會教育教學成果一等獎、遼寧省教學成果一等獎等獎勵。其主講的控制系統仿真與CAD課程被評為國家級精品課程、國家級精品資源共享課程；主講的現代科學運算MATLAB語言與應用課程被評為首批國家級一流本科課程，配套錄制的全新慕課課程均上線于愛課程與中國大學MOOC（慕課）網站。
第 1章方程求解與最優化技術 1
1.1方程與方程求解 1
1.2最優化問題的起源與發展 3
1.3本書框架 4
本章習題 5
第 2章代數方程的求解 6
2.1多項式方程的求解 7
2.1.1一次方程與二次方程 8
2.1.2三次方程的解析解 9
2.1.3四次方程的解析解 10
2.1.4高次代數方程與 AbelRu.ini定理 12
2.2非線性方程的圖解法 12
2.2.1光滑隱函數曲線的繪制 12
2.2.2一元方程的圖解法 14
2.2.3二元方程的圖解法 15
2.2.4方程的孤立解 17
2.3代數方程的數值求解 18
2.3.1 NewtonRaphson迭代方法 18
2.3.2方程求解的二分法 23
2.3.3 MATLAB的直接求解函數 24
2.3.4求解精度的設置 26
2.3.5方程的結構體描述 28
2.3.6方程的復域求解 29
2.3.7基于問題的方程描述與求解 30
2.4聯立方程組的精確求解 31
2.4.1低階多項式方程的解析求解 32
2.4.2多項式型方程的準解析解 35
2.4.3高次多項式矩陣方程的準解析解 36
2.4.4準解析解的提取 39
2.4.5非線性代數方程的準解析解 40
2.5多解矩陣方程的求解 40
2.5.1方程求解思路與一般求解函數 41
2.5.2偽多項式方程的求解 45
2.5.3高精度求解函數 47
2.6欠定方程的求解 48本章習題
第 3章無約束最優化 53
3.1無約束最優化問題簡介 54
3.1.1無約束最優化問題的數學模型 54
3.1.2無約束最優化問題的解析解方法 54
3.1.3無約束最優化問題的圖解法 55
3.1.4局部最優解與全局最優解 56
3.1.5數值求解算法的 MATLAB實現 57
3.2無約束最優化問題的 MATLAB直接求解
3.2.1直接求解方法 60
3.2.2最優化控制選項 62
3.2.3最優搜索中間過程的圖形顯示 65
3.2.4附加參數的傳遞 68
3.2.5最優化問題的結構體描述
3.2.6梯度信息與求解精度 71
3.2.7基于問題的描述方法 76
3.2.8離散點最優化問題的求解 78
3.2.9最優化問題的并行求解 79
3.3全局最優解的嘗試
3.3.1全局最優問題演示 80
3.3.2全局最優思路與實現 82
3.4帶有決策變量邊界的最優化問題 84
3.4.1單變量最優化問題 84
3.4.2多變量最優化問題 86
3.4.3基于問題的描述與求解 88
3.4.4邊界問題全局最優解的嘗試 88
3.5最優化問題應用舉例 89
3.5.1線性回歸問題的求解 89
3.5.2曲線的最小二乘擬合
3.5.3邊值微分方程的打靶求解 93
3.5.4方程求解問題轉換為最優化問題 96
本章習題 98
第 4章凸優化 103
4.1線性規劃問題簡介 105
4.1.1線性規劃問題的數學模型 106
4.1.2二元線性規劃的圖解法 106
4.1.3單純形法簡介 108
4.2線性規劃問題的直接求解 111
4.2.1線性規劃問題的求解函數 111
4.2.2多決策變量向量的線性規劃問題 117
4.2.3雙下標的線性規劃問題 118
4.2.4線性規劃的應用舉例運輸問題 119
4.3基于問題的線性規劃描述與求解 122
4.3.1線性規劃的 MPS文件描述 122
4.3.2基于問題的線性規劃描述 124
4.3.3線性規劃問題的轉換 128
4.4二次型規劃問題的求解 130
4.4.1二次型規劃的數學模型 130
4.4.2二次型規劃的直接求解 131
4.4.3基于問題的二次型規劃描述 132
4.4.4雙下標二次型規劃 136
4.4.5帶有二次型約束的最優化問題 137
4.5線性矩陣不等式問題 138
4.5.1線性矩陣不等式的一般描述 138
4.5.2 Lyapunov不等式 139
4.5.3線性矩陣不等式問題分類 141
4.5.4線性矩陣不等式問題的 MATLAB求解 142
4.5.5基于 YALMIP工具箱的最優化求解方法 144
4.5.6非凸最優化問題求解的嘗試 146
4.5.7帶有二次型約束條件問題的求解 147
4.6其他常用的凸優化問題 149
4.6.1凸優化工具箱簡介 149
4.6.2錐規劃問題 152
4.6.3幾何規劃問題 154
4.6.4半定規劃 156本章習題 156
第 5章非線性規劃 163
5.1非線性規劃簡介 164
5.1.1一般非線性規劃問題的數學模型 164
5.1.2可行解區域與圖解法 165
5.1.3數值求解方法舉例 167
5.2非線性規劃問題的直接求解 169
5.2.1 MATLAB的直接求解函數 169
5.2.2基于問題的描述方法 174
5.2.3搜索過程提前結束的處理 175
5.2.4梯度信息的利用 176
5.2.5多決策變量問題的求解 177
5.2.6復雜非線性規劃問題 179
5.3非線性規劃的全局最優解探討 181
5.3.1全局最優解的嘗試 182
5.3.2非凸二次型規劃問題的全局尋優 184
5.3.3凹費用運輸問題的全局尋優 187
5.3.4全局最優化求解程序的測試 188
5.3.5最優化模型的可視化編輯 190
5.3.6分段目標函數的處理 191
5.4雙層規劃問題 193
5.4.1雙層線性規劃問題的求解 193
5.4.2雙層二次型規劃問題 194
5.4.3基于 YALMIP工具箱的雙層規劃問題直接求解 195
5.5非線性規劃應用舉例 197
5.5.1圓內最大面積的多邊形 197
5.5.2半無限規劃問題 200
5.5.3混合池最優化問題 205
5.5.4熱交換網絡的優化計算 208
5.5.5基于最優化技術的非線性方程求解 211
本章習題 213
第 6章混合整數規劃 221
6.1整數規劃簡介 222
6.1.1整數規劃與混合整數規劃 222
6.1.2整數規劃問題的計算復雜度 222
6.2窮舉方法 223
6.2.1整數規劃的窮舉方法 224
6.2.2離散規劃問題 227
6.2.3 0.1規劃的窮舉方法 228
6.2.4混合整數規劃的嘗試 230
6.3混合整數規劃問題的求解 232
6.3.1混合整數線性規劃 232
6.3.2整數規劃問題的 LMI求解方法 235
6.3.3混合整數非線性規劃 235
6.3.4一類離散規劃問題的求解 238
6.3.5一般離散規劃問題的求解 239
6.4 0.1混合整數規劃的求解 241
6.4.1 0.1線性規劃問題的求解 241
6.4.2 0.1非線性規劃問題的求解 246
6.5混合整數規劃應用 248
6.5.1最優用料問題 248
6.5.2指派問題 249
6.5.3旅行商問題 251
6.5.4背包問題 255
6.5.5數獨的填寫 256
本章習題 260
第 7章多目標規劃 265
7.1多目標規劃簡介 266
7.1.1多目標規劃的背景介紹 266
7.1.2多目標規劃的數學模型 267
7.1.3多目標規劃問題的圖解舉例 268
7.2多目標規劃轉換成單目標規劃問題 270
7.2.1無約束多目標函數的最小二乘求解 270
7.2.2線性加權變換及求解 272
7.2.3線性規劃問題的最佳妥協解 273
7.2.4線性規劃問題的最小二乘解 275
7.2.5基于問題的描述與求解 276
7.3 Pareto最優解 276
7.3.1多目標規劃解的不唯一性 276
7.3.2解的占優性與 Pareto解集 277
7.3.3 Pareto解集的計算 278
7.4極小極大問題求解 281
本章習題 287
第 8章動態規劃與最優路徑 289
8.1動態規劃簡介 290
8.1.1動態規劃的基本概念與數學模型 290
8.1.2線性規劃問題的動態規劃求解演示 291
8.2有向圖的路徑尋優 292
8.2.1有向圖應用舉例 292
8.2.2有向圖最短路徑問題的手工求解 293
8.2.3逆序遞推問題的動態規劃表示 294
8.2.4圖的矩陣表示方法 295
8.2.5有向圖搜索及圖示 295
8.2.6新版本 MATLAB的圖表示 299
8.2.7 Dijkstra最短路徑算法及實現 301
8.3無向圖的路徑最優搜索 303
8.3.1無向圖的矩陣描述 303
8.3.2絕對坐標節點的最優路徑規劃算法與應用 304
本章習題 305
第 9章智能優化方法 308
9.1智能優化算法簡介 309
9.1.1遺傳算法簡介 309
9.1.2粒子群優化算法 310
9.2 MATLAB全局優化工具箱 310
9.3最優化問題求解舉例與對比研究 313
9.3.1無約束最優化問題 313
9.3.2有約束最優化問題 316
9.3.3混合整數規劃問題求解 322
9.3.4基于遺傳算法的離散規劃問題 324
本章習題 326
參考文獻 327
MATLAB函數名索引 331
術語索引 335
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