本書(shū)主要介紹粗糙微分方程及其動(dòng)力學(xué)方面的若干研究成果.全書(shū)分為七章. 第1章介紹相關(guān)背景材料;第2章為全書(shū)的基礎(chǔ),給出粗糙路徑、高斯粗糙路徑、受控粗糙路徑的定義及相關(guān)性質(zhì);第3章介紹粗糙積分和粗糙微分方程的解理論;第4章介紹隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)基本理論;第5章介紹有限維粗糙微分方程所生成隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)動(dòng)力學(xué)——中心流形、隨機(jī)吸引子以及隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的逼近;第6章介紹幾類粗糙偏微分方程的基本解理論,內(nèi)容涵蓋特征線方法、Feynman-Kac表示、半群方法、變分方法;第7章介紹隨機(jī)粗糙偏微分方程生成的無(wú)窮維隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性、局部不穩(wěn)定流形以及粗糙噪聲輸運(yùn)驅(qū)動(dòng)的三維Navier-Stokes方程生成隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).
承擔(dān)國(guó)自然科學(xué)基金5項(xiàng)，參與國(guó)家973項(xiàng)目；發(fā)表論文100余篇，其中SCI檢索論文98篇
目錄
“非線性發(fā)展方程動(dòng)力系統(tǒng)叢書(shū)” 序
前言
第1章 緒論 1
1.1 粗糙路徑的理論發(fā)展簡(jiǎn)介 1
1.2 粗糙路徑在隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中的應(yīng)用 4
第2章 粗糙路徑空間 6
2.1 動(dòng)機(jī) 6
2.2 基本定義 9
2.3 幾何粗糙路徑空間 15
2.4 隨機(jī)粗糙路徑 20
2.4.1 粗糙路徑的 Kolmogorov 準(zhǔn)則 20
2.4.2 布朗粗糙路徑 23
2.4.3 高斯粗糙路徑 35
2.5 受控粗糙路徑空間 48
第3章 粗糙微分方程 54
3.1 粗糙積分理論 54
3.1.1 Young 積分 54
3.1.2 粗糙積分 56
3.1.3 隨機(jī) Sewing 引理 66
3.2 隨機(jī)積分和It.公式 68
3.2.1 It.積分 68
3.2.2 Stratonovich 積分 70
3.2.3 It.公式和 F.llmer 公式 71
3.3 測(cè)度集中 77
3.3.1 Cameron-Martin 空間 77
3.3.2 Borell 不等式 81
3.3.3 高斯粗糙路徑的 Fernique 定理 83
3.3.4 粗糙積分的可積性 83
3.4 粗糙微分方程的解 86
3.4.1 全局解 86
3.4.2 解的穩(wěn)定性 91
第4章 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)理論 94
4.1 可測(cè)動(dòng)力系統(tǒng) 94
4.2 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng) 97
第5章 粗糙微分方程的動(dòng)力學(xué) 103
5.1 粗糙微分方程動(dòng)力系統(tǒng)的逼近 103
5.2 粗糙微分方程的中心流形 117
5.2.1 截?cái)嗉夹g(shù) 123
5.2.2 粗糙微分方程的局部中心流形 132
5.2.3 中心流形的光滑性 147
5.3 粗糙微分方程的吸引子 149
5.3.1 方程及其假設(shè) 149
5.3.2 變差空間中的粗糙路徑與積分 152
5.3.3 粗糙微分方程 153
5.3.4 隨機(jī)吸引子 160
第6章 粗糙偏微分方程 164
6.1 一階粗糙偏微分方程 164
6.1.1 粗糙輸運(yùn)方程 164
6.1.2 連續(xù)性方程與解析弱解 168
6.2 二階粗糙偏微分方程 170
6.2.1 線性理論: Feynman-Kac 公式 170
6.2.2 自治型的半線性發(fā)展方程 173
6.2.3 非自治型粗糙半線性偏微分方程 187
6.2.4 半線性粗糙發(fā)展方程的全局解 212
6.3 一類線性粗糙偏微分方程的能量方法 223
6.3.1 預(yù)備知識(shí) 225
6.3.2 粗糙偏微分方程的分析 232
6.3.3 張量化 247
6.3.4 唯一性 255
6.3.5 存在性和穩(wěn)定性 266
6.3.6 輔助性結(jié)論 269
6.4 半線性粗糙偏微分方程的能量方法 276
6.4.1 符號(hào)和定義 278
6.4.2 線性微分方程的適定性 281
6.4.3 能量估計(jì) 286
6.4.4 粗糙路徑的穩(wěn)定性 289
6.4.5 半線性擾動(dòng) 291
第7章 粗糙隨機(jī)偏微分方程的動(dòng)力學(xué) 294
7.1 粗糙發(fā)展方程的局部穩(wěn)定性 294
7.1.1 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng) 294
7.1.2 局部零穩(wěn)定性 295
7.2 粗糙偏微分方程的不穩(wěn)定流形 305
7.2.1 粗糙發(fā)展方程 306
7.2.2 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng) 322
7.2.3 粗糙發(fā)展方程的局部不穩(wěn)定流形 324
7.3 粗糙輸運(yùn)噪聲驅(qū)動(dòng)的 Navier-Stokes 方程的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng) 341
7.3.1 符號(hào)和定義 342
7.3.2 弱解 346
7.3.3 選取半流 348
7.3.4 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng) 358
7.3.5 先驗(yàn)估計(jì)和緊性 359
參考文獻(xiàn) 361
索引 373
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