本書主要介紹粗糙微分方程及其動力學方面的若干研究成果.全書分為七章. 第1章介紹相關背景材料;第2章為全書的基礎,給出粗糙路徑、高斯粗糙路徑、受控粗糙路徑的定義及相關性質;第3章介紹粗糙積分和粗糙微分方程的解理論;第4章介紹隨機動力系統基本理論;第5章介紹有限維粗糙微分方程所生成隨機動力系統的相關動力學——中心流形、隨機吸引子以及隨機動力系統的逼近;第6章介紹幾類粗糙偏微分方程的基本解理論,內容涵蓋特征線方法、Feynman-Kac表示、半群方法、變分方法;第7章介紹隨機粗糙偏微分方程生成的無窮維隨機動力系統的局部穩定性、局部不穩定流形以及粗糙噪聲輸運驅動的三維Navier-Stokes方程生成隨機動力系統.
承擔國自然科學基金5項，參與國家973項目；發表論文100余篇，其中SCI檢索論文98篇
目錄
“非線性發展方程動力系統叢書” 序
前言
第1章 緒論 1
1.1 粗糙路徑的理論發展簡介 1
1.2 粗糙路徑在隨機動力系統中的應用 4
第2章 粗糙路徑空間 6
2.1 動機 6
2.2 基本定義 9
2.3 幾何粗糙路徑空間 15
2.4 隨機粗糙路徑 20
2.4.1 粗糙路徑的 Kolmogorov 準則 20
2.4.2 布朗粗糙路徑 23
2.4.3 高斯粗糙路徑 35
2.5 受控粗糙路徑空間 48
第3章 粗糙微分方程 54
3.1 粗糙積分理論 54
3.1.1 Young 積分 54
3.1.2 粗糙積分 56
3.1.3 隨機 Sewing 引理 66
3.2 隨機積分和It.公式 68
3.2.1 It.積分 68
3.2.2 Stratonovich 積分 70
3.2.3 It.公式和 F.llmer 公式 71
3.3 測度集中 77
3.3.1 Cameron-Martin 空間 77
3.3.2 Borell 不等式 81
3.3.3 高斯粗糙路徑的 Fernique 定理 83
3.3.4 粗糙積分的可積性 83
3.4 粗糙微分方程的解 86
3.4.1 全局解 86
3.4.2 解的穩定性 91
第4章 隨機動力系統理論 94
4.1 可測動力系統 94
4.2 隨機動力系統 97
第5章 粗糙微分方程的動力學 103
5.1 粗糙微分方程動力系統的逼近 103
5.2 粗糙微分方程的中心流形 117
5.2.1 截斷技術 123
5.2.2 粗糙微分方程的局部中心流形 132
5.2.3 中心流形的光滑性 147
5.3 粗糙微分方程的吸引子 149
5.3.1 方程及其假設 149
5.3.2 變差空間中的粗糙路徑與積分 152
5.3.3 粗糙微分方程 153
5.3.4 隨機吸引子 160
第6章 粗糙偏微分方程 164
6.1 一階粗糙偏微分方程 164
6.1.1 粗糙輸運方程 164
6.1.2 連續性方程與解析弱解 168
6.2 二階粗糙偏微分方程 170
6.2.1 線性理論: Feynman-Kac 公式 170
6.2.2 自治型的半線性發展方程 173
6.2.3 非自治型粗糙半線性偏微分方程 187
6.2.4 半線性粗糙發展方程的全局解 212
6.3 一類線性粗糙偏微分方程的能量方法 223
6.3.1 預備知識 225
6.3.2 粗糙偏微分方程的分析 232
6.3.3 張量化 247
6.3.4 唯一性 255
6.3.5 存在性和穩定性 266
6.3.6 輔助性結論 269
6.4 半線性粗糙偏微分方程的能量方法 276
6.4.1 符號和定義 278
6.4.2 線性微分方程的適定性 281
6.4.3 能量估計 286
6.4.4 粗糙路徑的穩定性 289
6.4.5 半線性擾動 291
第7章 粗糙隨機偏微分方程的動力學 294
7.1 粗糙發展方程的局部穩定性 294
7.1.1 隨機動力系統 294
7.1.2 局部零穩定性 295
7.2 粗糙偏微分方程的不穩定流形 305
7.2.1 粗糙發展方程 306
7.2.2 隨機動力系統 322
7.2.3 粗糙發展方程的局部不穩定流形 324
7.3 粗糙輸運噪聲驅動的 Navier-Stokes 方程的隨機動力系統 341
7.3.1 符號和定義 342
7.3.2 弱解 346
7.3.3 選取半流 348
7.3.4 隨機動力系統 358
7.3.5 先驗估計和緊性 359
參考文獻 361
索引 373
“非線性發展方程動力系統叢書” 已出版書目 375
新書資訊