本書從計算機科學家和工程師等應用科學家的角度介紹了線性代數的主要概念和一些重要應用，同時不失數學嚴謹性。計算科學家和工程師在研究和工作實踐中都需要理解數學的理論概念，以便能夠提出研究進展和創新解決方案，基于這一理念，本書對每一個概念都做了全面介紹，并通過一些例子補充解釋。此外，書中大多數定理都是先給出嚴格證明，然后通過數值例子在實踐中加以證明。在適當的情況下，主題也通過偽代碼的方式呈現，從而突出代數理論的計算機實現。
適讀人群 ：工程以及計算機專業的學生
線性代數是一門基礎學科，也是一門注重應用的學科。本書從計算科學家和工程師等應用科學家的角度介紹了線性代數的主要概念和一些重要應用，同時不失數學嚴謹性。計算科學家和工程師在研究和工作實踐中都需要理解數學理論概念，以便能夠做進一步研究和提出創新解決方案。基于這一理念，本書對每一個概念都做了全面介紹，并通過一些例子做補充解釋。此外，書中大多數定理都是先給出嚴格證明，然后通過數值例子在實踐中加以驗證。在適當的情況下，主題也通過偽代碼的方式呈現，從而突出代數理論的計算機實現。
本書可讀性強，從第一次學習代數的學生到需要了解代數理論的應用科學研究人員和研究生，都可以在學習本書的過程中建立數學思想。
第2版前言
本書的第1版已經在教學中試用了三個學期。因此，我有機會反思自己的溝通技巧和教學技能。
除了糾正一些筆誤和小錯誤，我決定改寫很多證明，使得解釋更清晰也更易讀。本書的每一處改動都認真考慮了學生的反應和他們在學習中的反饋。本書的很多章節都被重新組織，一些章節甚至重新編寫，并使用了更好的記號。第2版包括了超過150頁的新材料，包括貫穿全書的定理、圖示、偽代碼和例子，全書加起來超過了500頁。
在有關矩陣、向量和線性映射的章中加入了新的主題。此外，全書增加了大量內容。有關歐氏空間的內容現在從向量空間的章中移除，并將其放置在一個關于內積空間的獨立章中介紹。最后，在書的末尾給出了每章習題的答案。
在本版中，本書仍分為兩部分：第Ⅰ部分闡述了線性代數基礎，第Ⅱ部分介紹了線性代數高級主題。
第Ⅰ部分由前六章組成。第1章介紹代數及集合論中的基本記號、概念和定義。第2章描述有關矩陣的定理和應用。第3章著重分析線性方程組的解析理論和數值方法。第4章介紹三維空間中的向量。第5章討論復數和多項式以及代數基本定理。第6章從代數和矩陣理論的角度介紹二次曲線。
第Ⅱ部分由后七章組成。第7章介紹代數結構，并介紹群論和環論。第8章分析向量空間。第9章介紹內積空間，并特別強調歐氏空間。第10章討論線性映射。第11章介紹復雜度和算法定理。第12章介紹圖論，并從線性代數的角度進行闡述。最后，第13章給出了一個例子，說明如何將前幾章學習的所有代數知識應用于電氣工程實踐中。
在附錄A中，布爾代數是非線性代數的一個例子。附錄B給出了本書中一些定理的證明，因為這些定理的證明需要一些微積分和數學分析知識，超出了本書的范疇，所以在正文中證明被省略。
我認為按照目前的形式，本書是第1版的一個實質性的改進版。雖然整體結構和風格大體上保持不變，但使用了新的方式呈現和說明這些概念，這就使得本書能夠被更多讀者接受，并引導他們向線性代數的更高水平邁進。
補充一點，本書第2版的目的是讓任何對數學感興趣，并想在數學上下功夫的人都能理解代數。
Ferrante Neri
英國，諾丁漢
2019年4月
第1版前言
理論和實踐常常被認為是獨立存在的，代表知識的兩個不同方面。事實上，一方面，應用科學是建立在理論進步的基礎上的。另一方面，理論研究往往著眼于世界和有待發展的現實需要。本書基于這樣的理念：理論和實踐不是相互脫節的，知識之間是互相聯系的。特別地，本書從計算機科學家、工程師和任何需要深入理解這門學科以使應用科學得以進步的人的視角來介紹線性代數的主要概念，同時不失數學嚴謹性。本書是面向應用科學領域的研究人員和研究生的，但也可以作為數學專業的教材。
代數書要么非常正式，對計算機科學家和工程師來說不夠直觀，要么是普通的本科生教材，證明和定義沒有足夠的數學嚴謹性。本書旨在在嚴謹性與直觀性之間保持平衡，針對每一個引入的概念，試圖都給出其示例、解釋和實際意義，并證明每一個命題。在適當的地方，主題也會被表示為算法并輔以偽代碼。另外，本書不使用邏輯跳轉或直觀解釋來代替證明。
本書的“敘述”以（部分）數學思想為引線。經歷了一個又一個世紀，這些數學思想影響著人們的觀點并帶來了近代科技的發現。數學思想被認為起源于石器時代，當時的穴居人必須估計他觀察到的物體的數量。概念化過程發生在古代的某個時刻，這便是數學的開端，也是邏輯學、理性思維和技術的開端。
本書分為兩個部分，共有十三章。第Ⅰ部分介紹代數中的基本主題，適用于大學代數課程入門，而第Ⅱ部分給出的更為高級的主題適用于更為高級的課程。此外，本書可作為應用科學領域的研究者的手冊，讀者可根據本書內容主題的劃分，按自身的興趣選擇特定的主題。
第Ⅰ部分從第1章開始，介紹代數學和集合論中的基本概念和定義。第1章中的定義和記號將用于后面各章。第2章研究矩陣代數，介紹定義和定理。第3章繼續討論矩陣代數，解釋線性代數方程組的理論原理，并舉例說明解方程組的一些精確方法和近似方法。第4章先是以直觀方式將向量視為幾何對象進行介紹，然后逐步抽象和推廣這一概念，從而得到了代數向量的概念，其本質是要在矩陣理論的基礎上求解線性方程組。有關向量的敘述引出了第5章。第5章討論了復數和多項式，并通過對代數基本定理的陳述和解釋，對代數結構進行了簡單的介紹。前5章所得到的大部分知識在第6章中將再次被提出，第6章介紹并解釋圓錐曲線，證明圓錐曲線除了幾何意義外，還有代數解釋，因而等價于矩陣。
按照對稱的原則，第Ⅱ部分從第7章開始，通過演示基本代數結構開始介紹高級代數知識。第8章介紹群和環的理論以及域的概念——它們構成了這一章的基礎，同時介紹向量空間。向量空間的理論是從理論的角度進行介紹的，同時也參考了它們的物理意義和幾何意義。這些思想將在第10章中用于處理線性映射
Ferrante Neri于2002年和2007年在意大利巴里大學分別獲得電器工程碩士和博士學位。2019年，Ferrante Neri加入英國諾丁漢大學計算機科學學院。Ferrante Neri主要為計算機學院講授數學。他在講授線性代數和抽象代數方面有著長期特殊的經驗。他的研究興趣包括算法、混合啟發式精確優化、優化的可擴展性和大規模問題。
目 錄
譯者序
序
第2版前言
第1版前言
第Ⅰ部分 線性代數基礎
第1章 基本數學思維2
1.1 概述2
1.2 公理體系2
1.3 集合論中的基本概念3
1.4 函數7
1.5 數集8
1.6 代數結構入門10
習題11
第2章 矩陣13
2.1 數值向量13
2.2 矩陣的基本定義14
2.3 矩陣運算15
2.4 矩陣的行列式20
2.4.1 矩陣行向量、列向量的
線性相關性22
2.4.2 行列式的性質25
2.4.3 子矩陣、代數余子式和
伴隨矩陣28
2.4.4 行列式的拉普拉斯定理30
2.5 可逆矩陣32
2.6 正交矩陣38
2.7 矩陣的秩40
習題50
第3章 線性方程組53
3.1 線性方程組的解53
3.2 齊次線性方程組60
3.3 直接法62
3.3.1 高斯消元法65
3.3.2 主元策略和計算量72
3.3.3 LU分解73
3.3.4 高斯消元法和LU分解的
等價性78
3.4 迭代法80
3.4.1 雅可比法81
3.4.2 高斯-賽德爾法86
3.4.3 超松弛法89
3.4.4 各種方法的數值比較與
收斂條件93
習題97
第4章 幾何向量99
4.1 基本概念99
4.2 線性相關性和線性無關性102
4.3 向量矩陣110
4.4 向量的基114
4.5 向量的乘積118
習題123
第5章 復數及多項式124
5.1 復數124
5.2 復向量、矩陣和線性方程組129
5.3 復多項式134
5.3.1 多項式運算134
5.3.2 多項式的根137
5.4 部分分式144
習題148
第6章 幾何代數學與二次曲線149
6.1 基本概念：平面上的直線149
6.1.1 直線方程149
6.1.2 相交直線151
6.1.3 直線族153
6.2 二次曲線的直觀介紹154
6.3 二次曲線的解析表示156
6.4 二次曲線的簡化表示156
6.4.1 退化二次曲線的簡化表示156
6.4.2 非退化二次曲線的
簡化表示157
6.5 二次曲線的矩陣表示164
6.5.1 二次曲線與直線相交164
6.5.2 二次曲線的切線165
6.5.3 退化和非退化二次曲線:
作為矩陣的二次曲線166
6.5.4 二次曲線的分類：二次曲線的
漸近方向167
6.5.5 二次曲線的直徑、中心、
漸近線和軸172
6.5.6 二次曲線的標準形式179
習題181
第Ⅱ部分 線性代數高級主題
第7章 代數結構概述184
7.1 基本概念184
7.2 半群和幺半群184
7.3 群與子群188
7.3.1 陪集189
7.3.2 等價關系和同余關系190
7.3.3 拉格朗日定理193
7.4 環195
7.4.1 環的消去律198
7.4.2 域199
7.5 同態和同構200
習題202
第8章 向量空間203
8.1 基本概念203
8.2 向量子空間203
8.3 n個向量的線性相關210
8.4 線性生成空間213
8.5 向量空間的基和維數219
8.6 行空間和列空間230
習題232
第9章 內積空間入門：歐氏空間234
9.1 內積的概念234
9.2 歐氏空間235
9.3 二維歐氏空間237
9.4 格拉姆-施密特正交化240
習題243
第10章 線性映射244
10.1 介紹性概念244
10.2 線性映射和向量空間247
10.3 自同態與核249
10.4 線性映射的秩和零度254
10.4.1 線性映射的矩陣表示259
10.4.2 作為矩陣的線性映射：
小結264
10.4.3 可逆映射265
10.4.4 相似矩陣266
10.4.5 幾何映射271
10.5 特征值、特征向量和特征空間273
10.6 矩陣的對角化283
10.7 冪方法296
習題298
第11章 計算復雜度導論300
11.1 算法復雜度和大O表示法300
11.2
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