陳恭亮主編的這本《信息安全數學基礎（第2版 ）》用統一的數學語言和符號系統地介紹了網絡與信 息安全所涉及的數學理論和方法，特別是與三大難解 數學問題相關的數論、代數和橢圓曲線理論等，并對 一些重要算法作了詳盡的推理和闡述。此外，還介紹 了網絡與信息安全研究和應用中所產生的新的數學成 果。
本書可作為網絡與信息安全專業、通信安全、計 算機安全和保密專業等的本科生和研究生的教學用書 ，也可以作為網絡與信息安全的專業人員和從業人員 的參考用書。
引言
信息安全學科是一門新興的學科 ,它涉及通信學、計算機科學、信息學和數學等多個學科,其中公鑰密碼學所基于的三個難解數學問題是:
(1)
大因數分解問題
(2)離散對數問題
(3)橢圓曲線離散對數問題.
這些問題涉及數論、代數和橢圓曲線論等 ,但應用于信息安全的數學理論和知識只是這些數學理論中的一小部分 ,而有關數論、代數和橢圓曲線論等方面的書籍多半是針對數學專業的學生的 .此外 ,在信息安全研究和應用中所產生的一些新的數學成果也沒有在數論、代數和橢圓曲線論等教科書中體現.
作者自 2000年以來 ,在武漢大學數學系和計算機學院信息系以及上海交通大學信息安全工程學院給本科生和研究生相繼開設了“數論與密碼”、“橢圓曲線論”和“信息安全數學基礎”等課程 ,深知學生在學習與信息安全相關的數學知識 ,特別是關于數論、代數和橢圓曲線論等數學知識的過程中所遇到的困難 .因此 ,希望將這些應用于信息安全的數學理論作一次較系統的介紹 ,以方便信息安全專業、數學系、計算機學院、通信工程系等學生以及信息安全方面的工作者學習.
本書在編寫過程中得到了上海交通大學信息安全工程學院及武漢大學數學系和計算機學院信息系許多教師以及本科生和研究生的支持和幫助 ,在此向他們表示衷心的感謝 .此外 ,特別感謝姚家燕、周超勇和沈麗敏的許多具體幫助 .另外 ,特別感謝國家自然科學基金青年基金 (項目編號: 19501032)和國家教委優秀青年教師基金的支持.
陳恭亮 2004年 2月
第 2版引言
本書自 2004年 6月出版后，在上海交通大學、武漢大學、西安電子科技大學、北京電子技術學院、杭州電子科技大學等幾十所高校使用 .許多教師和學生提出了很多寶貴建議 .作者根據這些建議，面向傳統教學和遠程教學、視頻課程教學、 MOOC課程教學和“翻轉式”課堂教學等，以及信息安全專業學生、網絡和信息安全從業人員對網絡和信息安全的數學理論和方法的需求，結合網絡與信息安全技術的最新進展，以及“信息安全數學基礎”課程教學經驗的積累，特別是“發現、學習、尋求、解決、提升”的教學理念，對本書作了一些修訂 .
(1)基礎性
:對網絡和信息安全所涉及的數學理論和方法及重要算法給出了詳細的推理和說明.
(2)系統性
:用統一的數學語言和符號來將三大數學難題、網絡和信息安全所涉及的散落在數論、代數、橢圓曲線三方面的數學知識形成系統的知識體系 .
(3)前沿性:密切跟蹤國際上的信息安全和密碼算法標準，并給出詳細闡述 .
(4)重構性
:對定理及例題作了更有序的編號 ,使得一些知識可以構成獨立的知識體系 ,以滿足網絡和信息安全專業人員和非專業人員對相關知識的學習和掌握.
(5)專業性
:對一些數學符號和語言作了更系統的表述 ,以滿足網絡和信息安全專業人員和非專業人員對相關知識的進一步學習和掌握.
(6)工程性
:對一些重要定理及應用作了更詳細的闡述 ,以滿足網絡和信息安全專業人員和非專業人員對相關工程實現和創新應用的需求.
發現 :就是要發現信息化推進中不斷提出的網絡和信息安全問題 (如國際密碼標準 P1363，密碼技術、 RSA、Di.e-Hellman密鑰協商、 ECC、AES、物聯網安全、輕量級密碼技術、身份認證鑒別、認證加密和身份管理等 )以及國內外相關信息通信技術的新進展.
學習 :就是要學習該課程所涉及的基本數學理論和方法 ,如學習與三大難解數學問題 (大整數分解問題、離散對數問題、橢圓曲線離散對數問題 )相關的整數理論、同余理論、代數理論、橢圓曲線理論等 .
尋求 :就是要尋求關于網絡和信息安全問題的應用技術 ,如廣義歐幾里得除法、中國剩余定理、歐拉定理、大素數生成、有限域的構造、 Galois域等.解決 :就是要運用基本理論和方法，以及應用技術解決信息安全的工程問題 ,如公鑰加密/解密、密鑰協商等 .提升 :就是要在發現、學習、尋求、解決的過程中提升科學素養，進而發現更深層的信息安全問題并提高學習和創新能力.
陳恭亮 2014年 2月于巴黎
第1章 整數的可除性
1.1 整除的概念、歐幾里得除法
1.1.1 整除的概念
1.1.2 Eratoshenes篩法
1.1.3 歐幾里得除法 ——最小非負余數
1.1.4 素數的平凡判別
1.1.5 歐幾里得除法 ——一般余數
1.2 整數的表示
1.2.1 b進制
1.2.2 計算復雜性
1.3 最大公因數與廣義歐幾里得除法
1.3.1 最大公因數
1.3.2 廣義歐幾里得除法及計算最大公因數
1.3.3 B′ezout等式
1.3.4 B′ezout等式的證明
1.3.5 最大公因數的進一步性質
1.3.6 多個整數的最大公因數及計算
1.3.7 形為 2a1的整數及其最大公因數
1.4 整除的進一步性質及最小公倍數
1.4.1 整除的進一步性質
1.4.2 最小公倍數
1.4.3 最小公倍數與最大公因數
1.4.4 多個整數的最小公倍數
1.5 整數分解
1.6 素數的算術基本定理
1.6.1 算術基本定理
1.6.2 算術基本定理的應用
1.7 素數定理
1.8 習題
第2章 同余
2.1 同余的概念及基本性質
2.1.1 同余的概念
2.1.2 同余的判斷
2.1.3 同余的性質
2.2 剩余類及完全剩余系
2.2.1 剩余類與剩余
2.2.2 完全剩余系
2.2.3 兩個模的完全剩余系
2.2.4 多個模的完全剩余系
2.3 簡化剩余系與歐拉函數
2.3.1 歐拉函數
2.3.2 簡化剩余類與簡化剩余系
2.3.3 兩個模的簡化剩余系
2.3.4 歐拉函數的性質
2.4 歐拉定理、費馬小定理和 Wilson定理
2.4.1 歐拉定理
2.4.2 費馬小定理
2.4.3 Wilson定理
2.5 模重復平方計算法
2.6 習題
第3章 同余式
3.1 基本概念及一次同余式
3.1.1 同余式的基本概念
3.1.2 一次同余式
3.2 中國剩余定理
3.2.1 中國剩余定理：“物不知數”與韓信點兵
3.2.2 兩個方程的中國剩余定理
3.2.3 中國剩余定理之構造證明
3.2.4 中國剩余定理之遞歸證明
3.2.5 中國剩余定理之應用 ——算法優化
3.3 高次同余式的解數及解法
3.3.1 高次同余式的解數
3.3.2 高次同余式的提升
3.3.3 高次同余式的提升 ——具體應用
3.4 素數模的同余式
3.4.1 素數模的多項式歐幾里得除法
3.4.2 素數模的同余式的簡化
3.4.3 素數模的同余式的因式分解
3.4.4 素數模的同余式的解數估計
3.5 習題
第4章 二次同余式與平方剩余
4.1 一般二次同余式
4.2 模為奇素數的平方剩余與平方非剩余
4.3 勒讓得符號
4.3.1 勒讓得符號之運算性質
4.3.2 高斯引理
4.4 二次互反律
4.5 雅可比符號
4.6 模平方根
4.6.1 模 p平方根
4.6.2 模 p平方根
4.6.3 模 m平方根
4.7 x2
4.8 習題
第5章 原根與指標
5.1 指數及其基本性質
5.1.1 指數
5.1.2 指數的基本性質
5.1.3 大指數的構造
5.2 原根
5.2.1 模 p原根
5.2.2 模 pα原根
5.2.3 模 2α指數
5.2.4 模 m原根
5.3 指標及 n次同余式
5.3.1 指標
5.3.2 n次同余式
5.4 習題
第6章 素性檢驗
6.1 偽素數
6.1.1 偽素數 Fermat素性檢驗
6.1.2 無窮多偽素數
6.1.3 平方因子的判別
6.1.4 Carmicheal數
6.2 Euler偽素數
6.2.1 Euler偽素數、Solovay-Stassen素性檢驗
6.2.2 無窮多 Euler偽素數
6.3 強偽素數
6.3.1 強偽素數、Miller-Rabin素性檢驗
6.3.2 無窮多強偽素數
6.4 習題
第7章 連分數
7.1 簡單連分數
7.1.1 簡單連分數構造
7.1.2 簡單連分數的漸近分數
7.1.3 重要常數e,π,γ的簡單連分數
7.2 連分數
7.2.1 基本概念及性質
7.2.2 連分數的漸近分數
7.3 簡單連分數的進一步性質
7.4 最佳逼近
7.5 循環連分數
7.6 √ n與因數分解
7.7 習題
第8章 群
8.1 群
8.1.1 基本定義
8.1.2 子群
8.2 正規子群和商群
8.2.1 陪集的拉格朗日定理
8.2.2 陪集的進一步性質
8.2.3 正規子群和商群
8.3 同態和同構
8.3.1 基本概念
8.3.2 同態分解定理
8.3.3 同態分解定理的進一步性質
8.4 習題
第9章 群的結構
9.1 循環群
9.1.1 循環群
9.1.2 循環子群的構造
9.2 有限生成交換群
9.3 置換群
9.4 習題
第10章 環與理想
10.1 環
10.1.1 基本定義
10.1.2 零因子環
10.1.3 整環及域
10.1.4 交換環上的整除
10.2 同態
10.3 特征及素域
10.4 分式域
10.5 理想和商環
10.5.1 理想
10.5.2 商環
10.5.3 環同態分解定理
10.6 素理想
10.7 習題
第11章 多項式環
11.1 多項式整環
11.2 多項式整除與不可約多項式
11.3 多項式歐幾里得除法
11.4 多項式同余
11.5 本原多項式
11.6 多項式理想
11.7 多項式結式與判別式
11.8 習題
第12章 域和 Galois理論
12.1 域的擴張
12.1.1 域的有限擴張
12.1.2 域的代數擴張
12.2 Galois基本定理
12.2.1 K-同構
12.2.2 Galois基本定理概述
12.2.3 基本定理之證明
12.3 可分域、代數閉包
12.3.1 可分域
12.3.2 代數閉包
12.4 習題
第13章 域的結構
13.1 超越基
13.2 有限域的構造
13.3 有限域的 Galois群
13.3.1 有限域的 Frobenius映射
13.3.2 有限域的 Galois群概述
13.4 正規基
13.5 習題
第14章 橢圓曲線
14.1 橢圓曲線基本概念
14.2 加法原理
14.2.1 實數域 R上橢圓曲線
14.2.2 素域 Fp (p> 3)上的橢圓曲線 E
14.2.3 域 F2n (n》1)上的橢圓曲線 E, j(E)=0
14.3 有限域上的橢圓曲線的階
14.4 重復倍加算法
14.5 習題
第15章 AKS素性檢驗
附錄A 三個數學難題
附錄B 周期序列
附錄C 前1280個素數及其原根表
附錄D F359
D.1 域F359中生成元g=7的冪指表：由k得到h=gk
D.2 域F359中生成元g=7的指數表：由h得到gk=h
附錄E F28=F2[x]/(x8+x4+x3+x2+1)
E.1 域中生成元g=x的冪指表：由k得到h=gk
E.2 域中生成元g=x的指數表：由h得到gk=h
E.3 域中生成元g=x的冪的函數u2+u表：由k得到h=g2k+gk
E.4 域中生成元g=x的廣義指數表：由h得到g2k+gk=h
附錄F F28=F2[x]/(x8+x4+x3+x+1)
F.1 域中生成元g=x+1的冪指表：由k得到h=gk
F.2 域中生成元g=x+1的指數表：由h得到gk=h
F.3 域中生成元g=x+1的冪的函數u2+u表：由k得到h=g2k+gk
F.4 域中生成元g=x+1的廣義指數表：由h得到g2k+gk=h
索引
參考文獻
新書資訊