第一篇 力學
第一章 質點力學
中國于2011年9月29日成功發射首個目標飛行器“天宮一號”，11月1日，成功發射
“神舟八號”飛船，11月3日凌晨，“天宮一號”和“神舟八號”成功進行首次交會對接，11月
14日20時，在北京航天飛行控制中心的精確控制下，“天宮一號”和“神舟八號”第二次交會
對接圓滿成功，中國由此成為繼美國、俄羅斯之后，世界上第三個獨立掌握空間交會對接技
術的國家。
空間交會與對接技術是指兩個航天器在空間軌道上會合并在結構上連成一個整體的技
術。航天器之間交會，即相互接近，也就是在太空飛行中，兩個或兩個以上的航天器通過軌道
參數的協調，在同一時間到達空間同一位置的過程。兩個航天器在太空進行對接時，要求兩
者保持對接機構的同軸接近方式和確定的縱向速度，以及在其他線坐標和角坐標上的相對
速度為零，但兩個航天器之間的實際相對運動參數總是有偏差。一般情況下，兩個航天器之
間的相對位置及其平動速度通常是靠主動航天器運動控制系統和兩個航天器的定向與穩定
系統來維持，前者適用于控制質心的平動，后者適用于控制繞質心的轉動。
第一節 質點運動學
質點運動學研究物體運動過程中位置隨時間變化的規律，它是從幾何觀點來研究和描
述物體的機械運動。實際的物體結構復雜，大小各異，為了從簡單情況入手研究，引入了質點
模型，即具有質量而大小為幾何點的物體。本節首先介紹經典時空的概念和參考系，然后介
紹位置矢量、速度矢量及加速度矢量，并給出在直角坐標系和自然坐標系下質點運動的
描述。
一、空間和時間 參考系和坐標系
（一）空間 時間
描述物體的運動，要用到時間和空間這兩個概念。空間表征物質的廣延。在物理事件的
相互關系中，空間反映了事件發生的位置上的秩序。空間是三維的，經過空間一點，能夠作出
也只能作出三條互相正交的直線。描寫點的空間位置，需要三個獨立的參數。
時間表征物質運動過程的持續性。在物理時間的相互關系中，時間反映了物理事件發生
的先后次序。時間是一維的連續變量。
將運動物體在空間的位置按物體到達的遲早排成一個序列，并將這個序列與數字聯系
起來，令較早的位置對應較小的數字，較遲的位置對應較大的數字，這樣的數字稱為時刻。運
動物體的空間位置隨時間t的改變而改變，這里的時間t既具有時刻的含義，又具有與某起
始位置的零時刻之間的時間間隔的含義。
牛頓認為：空間和時間都是脫離運動物體而客觀存在的，它們是處處均勻的。
（二）參考系 坐標系
宇宙中所有的物體都在不停地運動著，絕對靜止的物體是沒有的，這就是運動的絕對
性；同時，運動還具有相對性。要確定一個質點的位置，或要描述一個質點的運動，都必須選
取一個或幾個彼此沒有相對運動的物體作為參考，這些被選出來作為參考的物體稱為參
考系。
在運動學中，參考系的選擇原則上可以是任意的，主要依據問題的特點和研究的方便而
定。例如，研究地面上物體的運動，一般是以地面和相對于地面靜止的物體作參考系較方便；
在描述太陽系中行星的運動時，則選太陽作參考系較方便。同一個物體的運動，選取的參考
系不同，物體的運動形式也不相同，這就是運動描述的相對性。
在動力學中，參考系一般是不能任意選取的。對此，將在下一節作進一步說明。
確定了參考系之后，為了定量地說明一個質點相對于此參考系的空間位置，就要在此參
考的空間位置上建立固定的坐標系。常用的坐標系有：直角坐標系、球坐標系、柱坐標系和
自然坐標系。在大學物理中，最常用的是直角坐標系；在平面問題中，也常采用極坐標系；
當質點運動的軌跡已知時，如火車沿鐵軌的運動、空中纜車沿索道的運動等，一般采用自
然坐標系。
二、位矢和位移 速度和加速度
（一）位矢
為了描述質點在t時刻空間的位置，我們引入位置矢量的概念（簡稱位矢）。在如圖1-1
圖1-1
所示的直角坐標系中，從坐標系原點O到t時刻質點位置P
引出的矢量r就稱為質點在該位置的位矢，質點P在某一時
刻位于直角坐標系中的（x，y，z）位置，其位矢r可表示為
r＝xi+yj+zk（1-1）
式中，i，j，k分別是沿坐標軸（x，y，z）正方向的單位矢量，位
矢的大小為
r＝|r|＝x2+y2+z2（1-2）
其方向由方向余弦確定
cosα＝x
r， cosβ＝y
r， cosγ＝z
r（1-3）
式中，α，β，γ分別是r與x軸、y軸、z軸之間的夾角。
（二）位移 路程
設質點沿軌道AB做曲線運動，如圖1-2所示。在t時刻質點在A處的位置矢量為
圖1-2
r（t），t+Δt時刻在B處的位置矢量為r（t+Δt）。在［t，t+Δt］這
段時間內，質點位置的變化量Δr稱為位移，記作
Δr＝r（t+Δt）-r（t）（1-4）
位移是矢量，描述了一段時間內質點運動的凈效果，與參考
點O的選擇無關。它不代表質點在該段時間內的實際路程。因
此，位移和路程是兩個完全不同的概念。用Δs表示在Δt時間內
質點沿軌跡所走過的路程，一般情況下Δs≠｜Δr｜。當一質點經歷
一個閉合路經回到原來的初始位置，｜Δr｜＝0，但Δs≠0。只有在Δt→0的極限條件下，位移
的模與路程滿足關系limΔt→0
｜Δr｜
Δs＝1，即｜Δr｜與Δs是等價無窮小。
圖1-3
（三）速度 速率
在圖1-3中，若質點按運動規律r＝r（t）沿曲線軌道C運
動，Δt時間內完成了位移Δr，為了說明質點位置改變的快慢和
方向，我們把位移Δr與所需時間Δt之比Δr/Δt定義為質點在
時間t到t+Δt內的平均速度，以v-表示，即
v-＝Δr
Δt（1-5）
因位移Δr是矢量，除以標量Δt（恒大于零的正值）后，所得的平
均速度顯然也是矢量：其方向與位移Δr的方向相同，其大小等
于｜Δr｜/Δt。
平均速度只是粗略地反映了在某段時間內質點位置變動的快慢和方向。為了精確地描
述質點的運動快慢和方向，可將時間Δt無限減小，并使之趨近于零，即Δt→0，這樣質點的
平均速度就會趨向于一個確定的極限矢量，這個極限矢量稱為t時刻的瞬時速度，簡稱速
度，用v表示，即
v＝limΔt→0
Δr
Δt＝dr
dt（1-6）
由于矢量導數仍是一個矢量，故速度是矢量，其方向沿著軌道上質點所在點的切線，并
指向質點運動前進的一方，其大小為
|v|＝dr
dt＝|dr|
dt（1-7）
速度v的大小和方向分別表示質點在某時刻的運動快慢和方向。若v是恒矢量，其大小
和方向皆不隨時間t的變化而改變；或者說，質點運動時保持方向不變和快慢均勻，則質點
做勻速直線運動。
質點在任一時刻的位矢和速度，表明了質點在該時刻位于何處，朝著哪個方向離開該處
的快慢。所以，位矢r和速度v是全面描述質點運動狀態的兩個物理量，缺一不可。
速度的大小稱為速率，速率是標量，恒取正值，定義為單位時間內質點所經歷的路程，即
v＝limΔt→0
Δs
Δt＝ds
dt（1-8）
由于瞬時速度的大小為
|v|＝|dr|
dt＝ds
dt＝v（1-9）
所以，瞬時速率就是瞬時速度的大小。
（四）加速度
質點運動時，它的速度大小和方向都可能隨時間變化，加速度就是描述速度大小和方向
變化情況的物理量。
設質點沿曲線LM運動，如圖1-4所示，在時刻t質點位于A，速度為vA；在時刻t+Δt，
質點位于B，速度為vB，則Δt時間間隔內，速度的增量，即速度矢量的變化為
Δv＝vB-vA（1-10）
速度增量Δv和vA，vB之間的關系如圖1-5所示。
質點速度增量Δv與其所經歷的時間Δt之比稱為這一段時間內質點的平均加速度，用
?a表示，即
?a＝vB-vA
Δt＝Δv
Δt（1-11）
平均加速度只是粗略地反映了在某段時間內質點速度變化的快慢和方向。為了精確地
描述質點速度的變化情況，可將時間Δt無限減小，并使之趨近于零，即Δt→0，這樣，質點的
平均加速度就會趨向于一個確定的極限矢量，這個極限矢量稱為t時刻的瞬時加速度，簡稱
加速度，用a表示，即
a＝limΔt→0
Δv
Δt＝dv
dt＝d2r
dt2（1-12）
即加速度等于速度對時間的一階導數，或位矢對時間的二階導數。
加速度是矢量，其方向就是當Δt→0時，速度增量Δv的極限方向。質點做曲線運動時，
加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一面，與同一時刻速度的方向一般是不同的。
三、直角坐標系中的運動方程、速度和加速度
當質點運動時，位矢r是時間t的函數，可表示為
r＝r（t）＝x（t）i+y（t）j+z（t）k（1-13）
式（1-13）稱為質點的運動方程，其直角坐標分量為
x＝x（t）， y＝y（t）， z＝z（t）
則速度
v＝dr
dt＝dx
dti+dy
dt
j+dz
dtk
用vx，vy，vz分別表示v沿坐標軸x，y，z的投影，則有
v＝vxi++vyj+vzk（1-14）
速度的大小為
v＝v2
x+v2
y+v2z
速度矢量的三個投影式及它的三個方向余弦分別為
vx＝dx
dt， cosαv＝vx
vvy＝dy
dt， cosβv＝vy
vvz＝dz
dt， cosγv＝vz
v加速度
a＝dv
dt＝dvx
dti+dvy
dt
j+dvz
dtk
用ax，ay，az分別表示加速度a沿坐標軸x，y，z的投影，則有
a＝axi+ayj+azk（1-15）
加速度的大小為
a＝a2
x+a2
y+a2
z加速度是速度對時間的一階導數，是位置矢量對時間的二階導數，即
它們的投影式也滿足相應的關系
ax＝dvx
dt＝d2x
dt2， ay＝dvy
dt＝d2y
dt2， az＝dvz
dt＝d2z
dt2
可見，如果已知用直角坐標系表示的質點運動學方程，就可以求出質點在任意時刻速度的大
小和方向；如果已知用直角坐標系表示的質點運動學方程，或已知速度矢量在x，y，z坐標
軸上的三個投影隨時間的變化函數，就可以求出質點在任意時刻加速度的大小和方向。
四、運動學中的兩類問題
質點運動學所研究的問題一般可分為兩類。
（1）已知運動學方程，通過求導可求出質點的速度和加速度。
設r＝r（t）＝x（t）i+y（t）j+z（t）k，則
v＝dr
dt＝dx
dti+dy
dt
j+dz
dtk＝vxi+vyj+vzk
a＝dv
dt＝d2x
dt2i+d2y
dt2j+d2z
dt2k＝dvx
dti+dvy
dt
j+dvz
dtk＝axi+ayj+azk
（2）已知速度v或加速度a及初始條件（t＝0時的初位置和初速度），通過積分可求出
質點的運動學方程。
根據v＝dr
dt，∫r
r0dr＝∫t
t0
vdt可得
r-r0＝∫t
t0
vdt
根據a＝dv
dt，∫v
v0dv＝∫t
t0
adt可得
v-v0＝∫t
t0
adt
下面通過實例來說明以上兩類問題的解法。
例1.1 已知一質點運動方程為：r＝2ti+（2-t2）j，求：（1）t＝1s到t＝2s質點的位
移；（2）t＝2s時的v，a；（3）軌跡方程。
解 （1）由運動方程可得t＝1s和t＝2s時的位矢分別為
r1＝2i+j， r2＝4i-2j
則位移
Δr＝r2-r1＝（4-2）i+（-2-1）j＝2i-3j
（2）v＝dr
dt＝2i-2tj， a＝d2r
dt2＝dv
dt＝-2j
當t＝2s時
v2＝2i-4j， a2＝-2j
（3）x＝2t， y＝2-t2
軌跡方程為
y＝2-x2/4
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