《高等代數》作為數學應用的基礎，一直是數學學科的傳統基礎課程，也是大學數學各個專業的主干基礎課程。其中的線性
代數內容也是數學在其他學科應用的必需基礎知識，是培養高等院校學生數學核心素養的必備課程。《高等代數》主要包括行列式、矩陣和向量
理論、線性方程組、多項式、二次型、線性空間、歐式空間、線性變換及矩陣的標準型等內容。《高等代數》編寫過程中力求做到嚴謹規范、簡
潔易懂，注意到了初等代數與高等代數以及高等代數與其他后續專業課程的銜接。可作為綜合性大學、師范院校數學系各專業的教材，
還可以作為高等學校數學系教師的參考用書。《高等代數》課件可通過網站http://www.tupwk.com.cn/downpage免費下載。
《高等代數》課程是高等學校數學類本科專業核心基礎課程（代數、分析、幾何）之一，它的主要任務是使本科生掌握基本的、系統的代數學知識，抽象的、嚴格的代數學方法以及廣泛的、深刻的代數學思想，要求學生初步掌握行列式、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間（變換）、歐氏空間、多項式等代數學基本理論和數學方法，為數學類專業后續課程的學習打下堅實的基礎。
前言
高等代數課程是高等學校數學類本科專業核心基礎課程（代數、分析、幾何）之一，它的主要任務是使本科生掌握基本的、系統的代數學知識，抽象的、嚴格的代數學方法以及廣泛的、深刻的代數學思想，要求學生初步掌握行列式、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間（變換）、歐氏空間、多項式等代數學基本理論和數學方法，為數學類專業后續課程的學習打下堅實的基礎。吉林師范大學數學學院前身是成立于1958年的四平師專數理科，高等代數作為專業基礎課程從建校起就已經開設。1973年四平師專升格為四平師范學院，高等代數作為師范專業本科課程開設至今。六十年來，負責高等代數課程教學工作的許許多多任課教師，為了教好、建設好這門課程傾注了大量的心血和汗水，所選用過的教材多種多樣，教學參考書更是不計其數。早期北大版《高等代數》一直被作為代數課程教材，但對于省屬師范大學數學專業的學生而言無疑難度較大。1998年，我系與東北師范大學數學系聯合承擔國家教育部本科教改項目，將高等代數與解析幾何課程合并設課，從1998級學生開始使用東北師范大學王仁發牽頭編寫的《代數與解析幾何》教材。同年高等代數被評為吉林省優秀課程，2003年順利通過省教育廳專家組復查驗收，2005年被評為校級建設精品課程，2006年被評為校級網絡課程，2007年被評為校級精品課程和吉林省省級精品課程。在高等代數課程講授過程中，各位專任教師一直在探索出版一本更適合省屬師范大學數學專業本科生學習的代數教材，本授課講義也在這一過程中逐漸醞釀形成，并得到吉林師大首屆精品教材立項資助。高等代數省級精品課程帶頭人張敏教授為此付出了辛勤的汗水，在張敏教授退休之后課程團隊繼續在教學實踐中對講義進行了修改和完善。感謝張力宏、杜奕秋兩位教授對書稿的詳細審讀和所提建設性意見。感謝清華大學出版社王定、邵慧平兩位編輯的辛勤付出。書中編入的一些相關教材內容和習題未能列出出處的，在此一并向作者表示感謝。歡迎高等代數教學戰線的同行對本教材多多批評指正。
徐乃楠劉鵬飛
2017年11月于吉林師范大學數學學院
目錄
第1章行列式1
1.1排列1
1.2n階行列式的定義3
1.3行列式的性質6
1.4行列式按行（列）展開12
1.5克拉默（Cramer）法則19
1.6習題21
第2章矩陣和向量26
2.1矩陣及其運算26
2.2可逆矩陣31
2.3矩陣的秩36
2.4初等矩陣39
2.5分塊矩陣43
2.6n維向量47
2.7習題56
第3章線性方程組60
3.1矩陣消元法60
3.2線性方程組解的結構66
3.3習題70
第4章多項式73
4.1數域73
4.2一元多項式74
4.3多項式的整除性76
4.4最大公因式80
4.5多項式的因式分解85
4.6重因式與重根88
4.7特殊域上的多項式92
4.8習題97
第5章二次型100
5.1二次型及其矩陣100
5.2化二次型為標準型103
5.3二次型的慣性定理108
5.4恒正二次型110
5.5實二次型的分類與應用114
5.6習題118
第6章線性空間120
6.1線性空間的定義與簡單
性質120
6.2基底、坐標與維數123
6.3基變換與坐標變換127
6.4線性空間的子空間130
6.5子空間的交與和132
6.6子空間的直和與線性
空間的同構134
6.7習題136
第7章歐氏空間138
7.1歐氏空間的定義及性質138
7.2歐氏空間的標準正交基142
7.3正交子空間與歐氏空間的
同構146
7.4習題148
第8章線性變換150
8.1線性變換的定義及性質150
8.2線性變換的運算152
8.3線性變換的表示陣155
8.4線性變換的值域與核159
8.5不變子空間、特征根與
特征向量160
8.6歐氏空間的正交變換和
對稱變換167
8.7習題172
第9章矩陣的標準型176
9.1λ矩陣的等價與法式176
9.2行列式因子和不變因子182
9.3初等因子184
9.4矩陣環上的多項式188
9.5矩陣的最小多項式191
9.6若當標準型193
9.7習題197
參考文獻199
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