本書介紹了偏微分方程數值解的兩類主要方法：有限差分方法和有限元方法．其內容包括有限差分方法的基本概念；雙曲型方程、拋物型方程及橢圓型方程的有限差分方法；數學物理方程的變分原理；有限元離散方法以及其他一些相關的課題等．在介紹每種具體方法的同時，還給出了相應的理論分析．各章附有習題．
本書可作為高等學校理工科專業研究生教材，有關本科專業也可作教材使用，此外也可供從事科學與工程計算的科技人員參考．
三輪修改、調整，使講授內容與教學實際密切配合。
本書第2版自出版以來，被不少工科院校研究生用作教材，使用中發現了一些錯誤和不妥，在重印中我們曾作了一些勘誤. 這次修訂除了改正一些已發現的不妥和錯誤外，對非線性問題的內容作了刪減和調整. 第3章增加了第7節，其內容部分取自原版第6章的第1～2節，第4章增加了3.7節以及第6節，其內容部分取自原版第6章第6節. 原版第6章除上述已保留外全部刪除.此外，還刪去了介紹混合有限元方法的內容.此次再版是在清華大學出版社劉穎博士提議、推動和支持下完成的. 我們深表感謝.
第1章引論、準備知識1
1引論1
2關于偏微分方程的一些基本概念2
2.1幾個典型方程2
2.2定解問題5
2.3二階方程5
2.4一階方程組8
3Fourier變換和復數矩陣10
3.1Fourier變換10
3.2復數矩陣12
第2章有限差分方法的基本概念13
1有限差分格式13
1.1網格剖分13
1.2用Taylor級數展開方法建立差分格式14
1.3積分方法17
1.4隱式差分格式18
2有限差分格式的相容性、收斂性及穩定性19
2.1有限差分格式的截斷誤差19
2.2有限差分格式的相容性22
2.3有限差分格式的收斂性23
2.4有限差分格式的穩定性25
2.5Lax等價定理Lax等價定理27
3研究有限差分格式穩定性的Fourier方法Fourier方法28
3.1Fourier方法28
3.2判別準則31
3.3例子34
4研究有限差分格式穩定性的其他方法37
4.1Hirt啟示性方法37
4.2直接方法38
4.3能量不等式方法能量不等式方法42
習題43
第3章雙曲型方程的有限差分方法45
1一階線性常系數雙曲型方程45
1.1迎風格式迎風格式45
1.2LaxFriedrichs格式46
1.3LaxWendroff格式48
1.4CourantFriedrichsLewy條件CourantFriedrichsLewy條件49
1.5利用偏微分方程的特征線來構造有限差分格式50
1.6蛙跳格式蛙跳格式52
1.7數值例子53
2一階線性常系數方程組54
2.1LaxFriedrichs格式54
2.2LaxWendroff格式55
2.3迎風格式55
3變系數方程變系數方程及方程組56
3.1變系數方程56
3.2變系數方程組59
4二階雙曲型方程60
4.1波動方程的初值問題60
4.2波動方程的顯式格式61
4.3波動的方程差分格式的C.F.L條件63
4.4等價方程組的差分格式65
5雙曲型方程及方程組的初邊值問題65
5.1二階雙曲型方程的邊界處理66
5.2一階雙曲型方程及方程組的邊界條件68
5.3一階雙曲型方程及方程組的數值邊界處理數值邊界處理69
6二維問題73
6.1一階雙曲型方程73
6.2一階雙曲型方程組76
6.3隱式格式和ADI格式ADI格式77
7非線性方程80
7.1守恒律的初值問題80
7.2LaxFriedrichs差分格式83
7.3守恒型差分格式84
習題86
第4章拋物型方程的有限差分方法89
1常系數擴散方程89
1.1向前差分格式，向后差分格式89
1.2加權隱式格式加權隱式格式90
1.3三層顯式格式三層顯式格式91
1.4三層隱式格式三層隱式格式94
1.5跳點格式跳點格式95
2初邊值問題97
2.1第一類邊界條件97
2.2第三類邊界條件97
2.3數值例子98
2.4關于穩定性分析的附注101
2.5Saulev算法101
2.6分組顯式方法103
3對流擴散方程103
3.1中心顯式格式104
3.2修正中心顯式格式105
3.3迎風差分格式106
3.4Samarskii格式107
3.5指數型差分格式指數型差分格式109
3.6隱式格式111
3.7特征差分格式112
4變系數方程變系數方程114
4.1Taylor級數展開方法114
4.2Keller盒式格式Keller盒式格式115
4.3有限體積法有限體積法116
4.4間斷系數問題間斷系數問題118
4.5隱式方程的解法119
5多維問題120
5.1一維格式的直接推廣121
5.2交替方向隱式格式122
5.3局部一維格式局部一維格式124
5.4預測校正格式125
5.5跳點格式126
5.6三維問題127
6非線性方程129
6.1Richtmyer線性化方法Richtmyer線性化方法130
6.2擬線性擴散方程的隱式格式131
6.3三層格式133
6.4預估校正方法134
習題136
第5章橢圓型方程的差分方法138
1Poisson方程138
1.1五點差分格式五點差分格式138
1.2九點差分格式九點差分格式140
1.3極坐標下的差分格式141
2差分格式的性質143
2.1存在惟一性問題143
2.2差分方程解的收斂性144
3邊界條件的處理146
3.1矩形區域146
3.2一般區域147
4變系數方程149
4.1直接差分方法150
4.2有限體積法150
5雙調和方程雙調和方程151
6特征值問題152
習題153
第6章數學物理方程的變分原理155
1變分問題變分問題介紹155
1.1古典變分問題155
1.2變分問題解的必要條件157
1.3Rn中的變分問題160
2一維數學物理問題的變分問題162
2.1兩點邊值問題的變分形式163
2.2非齊次約束邊界條件的處理166
2.3第二、三類邊界條件167
3高維數學物理問題的變分問題167
3.1第一類邊值問題的變分問題168
3.2其他邊值問題170
3.3間斷系數問題有內邊界的情形171
3.4重調和方程邊值問題的變分問題173
4變分問題的近似計算174
4.1Ritz方法174
4.2Galerkin方法176
4.3古典變分方法的數值例子176
5權余量方法及其他方法178
習題181
第7章有限元離散方法185
1一維問題的有限元方法、線性元185
1.1單元剖分及試探函數空間的構造186
1.2有限元方程的形成187
1.3數值例子193
2二維問題、三角形線性元195
2.1單元剖分及試探函數空間的構造196
2.2有限元方程的形成200
2.3例子207
3高次插值211
3.1一維問題的高次插值211
3.1.1Lagrange插值Lagrange插值211
3.1.2Hermite插值Hermite插值214
3.2二維問題三角形元的高次插值216
3.2.1線性插值和面積坐標217
3.2.2二次插值219
3.2.3三次插值220
3.3二維問題的矩形元221
3.3.1雙線性插值雙線性插值221
3.3.2雙二次插值雙二次插值222
3.3.3Hermite插值223
3.4等參數單元223
3.4.1任意四邊形單元224
3.4.2等參數單元的概念和例226
習題227
第8章其他一些課題230
1基于變分原理的差分格式230
1.1一維問題230
1.2二維問題233
2拋物型方程的有限元方法236
3一些非線性問題239
3.1非線性問題的一個例子239
3.2變分不等方程簡介241
3.2.1Rn中光滑函數的最小問題241
3.2.2障礙問題障礙問題242
3.2.3水壩的滲流問題243
4特征值問題的變分形式及有限元方法245
4.1特征值問題245
4.2特征值問題的Galerkin變分形式248
4.3特征值問題的極小形式248
4.4特征值問題的有限元方法250
4.5例子253
5邊界元方法255
5.1基本的邊界積分關系式256
5.2邊界元近似258
5.3數值例子261
6多重網格方法264
6.1模型問題，迭代法的分析264
6.1.1一維和二維的模型例子264
6.1.2網格方程迭代法的分析265
6.1.3兩層網格方程組的聯系268
6.2二重網格方法269
6.2.1粗、細網上函數值的轉移269
6.2.2二重網格上的一個循環270
6.3多重網格方法271
6.3.1多重網格的一個V循環271
6.3.2完全的多重網格方法272
習題273
索引275
參考文獻278
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