高等代數(shù)教程除了第0 章“整數(shù), 數(shù)域與多項式”外, 將“線性代數(shù)” 內(nèi)容分為上下兩篇, 上篇以較為具體的“線性方程組的一般理論問題”的提出、分析、抽象、解決和引申為線索組織“線性空間理論”, 并在問題的討論中充分使用它; 下篇以“實二次型的主軸問題”的提出、分析、抽象、解決和引申為線索組織“線性變換理論”, 并在問題的討論中充分使用它, 這是宏觀框架, 詳見目錄. 其微觀處理, 則以“線性相關(guān)性” 這一“線性代數(shù)” 的核心概念貫穿始終, 且使用了許多獨特的處理方法和技巧. 每章后的習(xí)題之外, 貫穿于各章節(jié)中的諸多“注” 提供了若干思考問題. 另外, 高等代數(shù)教程在“現(xiàn)代化處理上” 實現(xiàn)了內(nèi)容上的諸多“更新”(語言上的, 開發(fā)路線上的, 證明方法上的, …), 也給出了內(nèi)容上的適當(dāng)?shù)摹霸鲂隆?(諸如引進(jìn)了出現(xiàn)于28 年前的“關(guān)于多項式的FermAt 大定理的初等證明”).
第 0章整數(shù),數(shù)域與多項式 1
0.1集合,映射與運算 1
0.2整數(shù) 6
0.3數(shù)域 11
0.4多項式與多項式函數(shù) 12
0.5帶余除法,余數(shù)定理和零點 —因子定理 17
0.6最大公因式與最小公倍式 18
0.7因式分解與重因式 24
0.8 C, R和 Q上的多項式 31
0.9關(guān)于多項式的 FermAt大定理的一個初等證明 36
習(xí)題 0 40
上篇線性方程組的一般理論問題
引言線性方程組, 5元解法及其在增廣矩陣上的實現(xiàn) 49
習(xí)題 56
第 1章矩陣代數(shù) 58
1.1矩陣代數(shù) 58
1.2分塊矩陣 64
1.3矩陣的初等變換與等價標(biāo)準(zhǔn)形 71
習(xí)題 1 74
第 2章一類特殊線性方程組的行列式法則 (CrAmer法則) 78
2.1 n階 (方陣的)行列式 78
2.2行列式的基本性質(zhì) (特別地,方陣代數(shù)與行列式)及其應(yīng)用 81
2.3線性方程組的 CrAmer法則 90
2.4行列式的展開式 95
2.5行列式的 (一種)公理化定義 97
習(xí)題 2 99
第 3章線性方程組的一般理論 105
3.1 n元向量的線性相關(guān)性與方程組的求解問題 105
3.2矩陣的秩與方程組的求解問題 110
3.3線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 117
習(xí)題 3 127
第 4章線性空間與線性方程組 133
4.1線性空間與其子空間 133
4.2維數(shù),基底,坐標(biāo)與 CrAmer法則 137
4.3坐標(biāo)變換與 CrAmer法則 143
4.4線性空間的同構(gòu)與線性方程組理論的一個應(yīng)用 148
4.5線性方程組解集的幾何結(jié)構(gòu) 151
習(xí)題 4 153
第 5章對稱雙線性度量空間與線性方程組 158
5.1線性空間上的線性和雙線性函數(shù) 158
5.2對稱雙線性度量空間與線性方程組可解的幾何解釋 163
5.3 Euclid空間 166
5.4向量到子空間的距離與線性方程組的最小二乘法 174
習(xí)題 5 179
下篇實二次型的主軸問題
引言二次型主軸問題的幾何原型 185
1二次型的一般問題 186
2從二次曲線講起——實二次型主軸問題的幾何原型 187
習(xí)題 193
第 6章線性空間上的線性變換 194
6.1線性變換及其合成和矩陣表示 194
6.2不變子空間,特征根與特征向量 204
6.3特征多項式與最小多項式 208
6.4 CAyley-HAmilton定理的傳統(tǒng)證明 221
習(xí)題 6 222
第 7章線性空間關(guān)于線性變換的一類直和分解 230
7.1線性映射 (特別地,線性變換)的像與核 230
7.2線性空間關(guān)于線性變換的一類直和分解 236
習(xí)題 7 241
第 8章 Euclid空間上的兩類線性變換與二次型主軸問題 242
8.1正變變換與對稱變換 242
8.2二次型的主軸問題 246
8.3一個應(yīng)用 (將一對實二次型同時化簡為平方和) 253
8.4二次型的一般問題 259
習(xí)題 8 276
第 9章引申 --------一般矩陣的 (相似)標(biāo)準(zhǔn)形 280
9.1 λ矩陣及其等價標(biāo)準(zhǔn)形 280
9.2 λ矩陣的行列式因子,不變因子和初等因子 285
9.3矩陣的相似與其特征矩陣的等價 289
9.4矩陣的不變因子與 Frobenius (有理)標(biāo)準(zhǔn)形 292
9.5矩陣的初等因子與 JAcobson標(biāo)準(zhǔn)形 (特例為 JordAn標(biāo)準(zhǔn)形) 295
9.6 JordAn標(biāo)準(zhǔn)形的幾何解釋 302
習(xí)題 9 304
參考文獻(xiàn) 308
索引 309
第 0章整數(shù),數(shù)域與多項式
線性代數(shù) (或稱一次代數(shù))的討論必然要使用多項式的一些基本概念,這是本書要介紹一點多項式的基本概念的直接緣由.另外,多項式作為代數(shù)學(xué)中最基本的對象之一,在代數(shù)學(xué)的各個分支以及其他數(shù)學(xué)學(xué)科中,或者構(gòu)成其基本內(nèi)容,或者多多少少要被涉及,所以本書作為一本基礎(chǔ)教程對它作一點起碼的介紹,也有更廣泛的意義.
這里要介紹的多項式的一些最基本的事項與整數(shù)的許多基本事項是平行的,兩相對照十分有趣,這又是要先講一點整數(shù)的原因.
數(shù)量領(lǐng)域內(nèi)的代數(shù)學(xué),問題的討論常常需要事先明確解決問題的數(shù)量范圍.數(shù)量的加、減、乘、除等合成的性質(zhì)通常稱為數(shù)量的代數(shù)性質(zhì),而數(shù)量的代數(shù)學(xué)所研究的問題基本上涉及的就是數(shù)量的代數(shù)性質(zhì),它們是有理數(shù)全體、實數(shù)全體和復(fù)數(shù)全體所共有的,為此,我們要引入數(shù)域這一基本概念,作為我們討論數(shù)量領(lǐng)域內(nèi)代數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ).
本章乃至全書的討論要使用一些集合論的語言,因此,我們的 0.1節(jié)先用于回顧集合及其相關(guān)概念,井盡量將它們精確化.
0.1集合,映射與運算
集合是數(shù)學(xué)中少數(shù)不加定義的概念 (稱為元概念)之一,它被界定為具備某種性質(zhì)的對象的全體.關(guān)于整數(shù),依我們的經(jīng)驗,它們是
0, ±1, ±2, , ±n, .
而整數(shù)的全體 Z就是一個集合,稱 Z為整數(shù)集.構(gòu)成一個集合 A的每一個對象稱為這一集
合的一個元素,這一關(guān)系,記為 x ∈A,稱為 “x屬于A”;否則記為 x/∈A,稱為 “x不屬于A”.例如, .2 ∈Z, 12
∈/Z.
不含任何元素的集合稱為空集,記為 所謂一個集合是己知的,指的是構(gòu)成 A的全體對象是己知的.因此,刻畫一個集合,就是闡述這個集合是由哪些元素構(gòu)成的.要闡述這一點,一個直截了當(dāng)?shù)姆椒ň褪菍⑦@個集合的全部對象羅列出來,這對于由有限個元素組成的集合 (稱為有限集,否則稱為無限集,通常用 |A|表示集合 A含元素的個數(shù)),都是行得通的,例如,由 1, 2, 3組成的集合 A,我們就可以用這一羅列法將 A表示為
A = {1, 2, 3}; (0.1)
這一方法對于某些無限集也可以使用,例如,整數(shù)集 Z可表示為
但是,更一般的闡述方法是使用定義這一集合的性質(zhì).于是,如果集合 A是由具有性質(zhì) P的所有對象構(gòu)成的,那么我們就可以表示 A為
A = {x | x具有性質(zhì) P }.
例如,平面上落在雙曲線 x2 . y2 =1上的點 (x, y)的全體 M,就可寫為
M = {(x, y) | x 2 . y 2 =1};
又如, Z可以寫為 Z = {x | x是整數(shù)}.
前面的羅列法也可歸為后面的這一闡述方法,例如,式 (0.1)中的 A可以寫為 A = {x | x =1, 2, 3},
此時,所使用的性質(zhì) P是 P =“x是 1,或者 2,或者 3”.任給兩個集合 A, B,我們可以使用下述各種合成的方法構(gòu)造一些新的集合: C1 = {x | x ∈ A,或 x ∈ B}, C2 = {x | x ∈ A,且 x ∈ B}, C3 = {x | x ∈ A,且 x/∈ B}, C4 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B},
分別記它們?yōu)?nbsp;
C1 = A ∪ B, C2 = A ∩ B, C3 = A . B, C4 = A × B,
且分別稱 C1,C2,C3和 C4為集合 A與 B的井,交,差和 DescArtes積.
除了集合之間的上述基本合成 (它們原則上都可以由兩個集合推廣到多個集合)外,集合間還有一種基本關(guān)系,稱為包含 (或包含關(guān)系).
令 A, B為兩個集合.稱 A包含在集合 B中 (或稱 B包含 A,也稱 A為 B的子集),記為 A . B,即如果 x ∈ A意味著 x ∈ B.例如,對于式 (0.1)中的 A,有 A . Z;稱 A與 B相等,記為 A = B,如果 A . B,且 B . A,即 A與 B是同一個集合;稱 A真包含在 B中 (或稱 B真包含 A,也稱 A是 B的真子集),即如果 A . B,但 A 任何集合 A以自身 A
= B.和空集 .為自己的子集,這兩個子集稱為平凡子集.若 A = {1, 2, 3},則 A的所有子集為
., {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},A,
其中前 7個子集是真子集,中間 6個子集是非平凡子集.
B的井,變,差和 DescArtes積.現(xiàn)在,我們可以再介紹集合的另外兩種合成了.
d
x∈ S1} ( d
C5 ={ x | x ∈ S| =表示用右邊定義左邊)
和
d
C6 ={ A | A. S}
的差相聯(lián)系, S1 = S . S1.
下面我們要回顧的是作為函數(shù)推廣的所謂集合間的映射的概念.
A在 f下的象, A為 b在 f下的一個原象.
f : A.→ B A = f(A).
.→ b稱 A(B)為 f的定義域 (值域),記 A = D(f),B = R(f).又令 Imf= { b∈ B | (. A ∈ A) f(A)= b} , f.1(b)= { A∈ A | f(A)= b} ,b∈ B.
例如,若記 2Z = { 2n | n∈ Z} ,
f: Z .→ 2Z .→ 4 | 其中 | n|表示 n∈ Z的絕對值.此時,
Imf = { 4 | n |n∈ Z} = { 0,4,8,12,} .對于任意 m∈ 2Z,
讀考查取 (0.1)與 及 與者可以為式 中的 和 為 來一下 的包含關(guān)系以AABZABA集子集即令 為一合 為它的分別稱.SSSS,,.11 辛旱S()(2);記記與集為 在 中的集和 的集 分別為為 后者也為 兩合PSSSCSCS,,1516定義 0.1.1集映每令 為兩個合 到的一個射是一個法則 使得 中的一A,BABfA.,按唯應(yīng) (),與 此記個元素 照這一法則都一確定 中的一個元素 對時 稱 為Bbbfb=AAA,,們映用面我表示 到的一個射 通常下的方式:ABf象完全原象們分別稱它為 的和 在 下的∈fbBf.讓 應(yīng)于4 們有映則對時 我一射||∈ Znn,()(0.2) | f=nnn,
{ 0} ,
f.1(m)=
m m
,當(dāng) m>0,且 m為 4的倍數(shù)時,
, .
當(dāng) m=0時,
4 4
.,其他情況.
映射 f : A .→ B和 g : A .→ B稱為相等的,如果 (. A ∈ A) f(A)= g(A).稱映射 f : A .→ B是一個單射,或 1 . 1映射 (滿射,或到上的映射),如果 (. b ∈ B) | f.1(b) | : 1(Imf = B),或者說,(. A1,A2 ∈ A) A1 = A2 . f(A1)= f(A2)((. b ∈ B)| f.1(b) | . 1),
即 A中不同的元素在 f下的象也不同 (B中的每一個元素都是 A中的某一個元素在 f下的象),其中 | D |表示集合 D中含元素的個數(shù).稱映射 f : A .→ B是一個雙射,或一一對應(yīng),如果 f既是一個單射,又是一個滿射.式
(0.2)中的映射顯然既不是單射,也不是滿射.下面的映射 f1 : Z .→ Z
n .→ 2n, f2 : Z .→ { 1, 2}
1, 當(dāng) 2 ↑ n時,
n .→f3 : Z .→ 2Z 2,當(dāng) 2 | n時,
n .→ 2n,
顯然 , f1,f2,f3分別是一個單射但非滿射、滿射但非單射、雙射的例子.我們可以借助己知的映射
f : A .→ B, g : B .→ C,
用下面的方法定義一個新的映射
h : A .→ C
A .→ g(f(A)),記 h = g . f,稱為 f與 g的合成.顯然,這一合成是滿足結(jié)合律的,即對于任何映射
f : A .→ B, g : B .→ C, h : C .→ D,
有
h . (g . f)=(h . g) . f.定理 0.1.1映射 f : A .→ B是一個單射 (滿射)當(dāng)且僅當(dāng)存在 g : B .→ A,使得 g . f = iA (f . g = iB),其中 iA為 A到自身的所謂恒等映射,即對于任何 A ∈ A, iA(A)= A.
證明若映射 f : A .→ B是一個單射,則對于任何 b ∈ B, | f.1(b) | : 1.任意取定 A中一元素 A0,當(dāng) | f.1(b) | =0(即 f.1(b)= .)時,讓 A0與 b對應(yīng);當(dāng) | f.1(b) | =1時,令 f.1(b)= { A} ,則讓 A與 b對應(yīng).這一對應(yīng)就確定一映射 g : B .→ A.顯然,對于任意 A ∈ A,
(g . f)(A)= g(f(A)) = A,
即 g . f = iA.反之,若存在 g : B .→ A,使得
g . f = iA,
的 的),有
則對于任意 A, A∈ A,由 f(A)= f(A
A = iA(A)=(g . f)(A)= g(f(A)) = g(f(A的)) = (g . f)(A的)
= iA(A的)= A的.
因此, f是單射.若 f是一個滿射,則 Imf = B,即對于任一 b ∈ B, f.1(b)= 現(xiàn)對于任一 b ∈ B,在 f.1(b)中取一 A,作
g : B .→ A
b .→ A.
于是,對于任意 b ∈ B, (f . g)(b)= f(g(b)) = f(A)= b,
即 f . g = iB.反之,若存在 g : B .→ A,使得
f . g = iB,
則對于任一 b ∈ B, b = iB(b)=(f . g)(b)= f(g(b)) ∈ Imf,
因此 ,Imf = B,即 f是一個滿射.口由定理 0.1.1及其證明 (當(dāng) f既是一個單射又是一個滿射的時候,證明中所作出的兩個
g : B .→ A實際上是同一個),我們有如下推論.推論 0.1.1映射 f : A .→ B是一個雙射當(dāng)且僅當(dāng)存在 g : B .→ A,使得
g . f = iA,f . g = iB.
定義 0.1.2當(dāng)推論 0.1.1的充要條件成立時,稱 f為可逆映射,顯然, g由 f唯一確定,
記 g = f.1 ,稱為 f的逆映射.于是,推論 0.1.1又可陳述為推論 0.1.2映射 f為雙射當(dāng)且僅當(dāng) f為一可逆映射.
在這一節(jié)的最后,我們給出兩類特殊的映射.
一類映射是 f : A .→ A,我們稱此類映射 f為集合 A上的變換,也稱它們?yōu)?A上的一元運算.例如,取 A = {1, 2, 3}, A上的變換可以寫成
. .
1 2 3
f = ,
i1 i2 i3
其中 ij = f(j).而每一 ij都有三種選擇 (1,或 2,或 3),因此, A = {1, 2, 3}上的變換恰有 27
個.
另一類映射是, f : A ×A .→A,我們稱此類映射 f為 A上的二元運算.
例如,通常的加法 “+”就是 Z上的一個二元運算.
+: Z ×Z .→Z
(n, m) .→n + m.
通常的減法 “.”,乘法 “×”也一樣.但通常的除法 “÷”則不是 Z上的一個二元運算,即
(n, m) .→n ÷m, n,m ∈Z
不是 Z ×Z到 Z的一個映射.
0.2整數(shù)
對于整數(shù)
0, ±1, ±2, , ±n,
以及整數(shù)集 Z關(guān)于加、減、乘運算和關(guān)系 “:”的基本事項,我們都使用讀者至今積累起來的經(jīng)驗.在這里我們對整數(shù)的討論就從這些經(jīng)驗和下面的一個公理出發(fā).
良序公理令 S .{n | n ∈Z,n 0}. (0.3)
若 S = .,則 S中有最小元素 (即
. n0 ∈S, .n ∈S, n0 : n).
注 0.1式 (0.3)中的 0可以被任何整數(shù)替代.
應(yīng)用非負(fù)整數(shù)的良序公理,我們可以證明非負(fù)整數(shù)的另一個稱為數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì).我們在此陳述這一性質(zhì)的兩種基本形式,但只證.二個,另一個的證明讀者自行作出.
第一數(shù)學(xué)歸納法令 Pn是以非負(fù)整數(shù) 0, 1, 2, 為下標(biāo)的一列命題.若
(1) P0為真,
(2)對于任意 k 0, “Pk為真”意味著 “Pk+1為真”,則對于任意 n 0, Pn為真.
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