本書論述了反饋線性化、無源控制理論和自抗擾技術及其在電能質量控制、新能源、電能變換器中的應用。本書分為4章；第1章介紹數學預備知識；第2章闡述狀態反饋線性化、輸入/輸出反饋線性化、零動態設計及其在電能質量控制、新能源中的應用；第3章首先介紹無源控制理論的基本概念，隨后介紹歐拉-拉格朗日、哈密頓系統的方程及無源控制器設計方法，最后給出無源控制理論在電能質量控制、新能源及電能變換器中的應用；第4章論述自抗擾技術及其在電能變換器和電能質量控制中的應用。
本書可供高等院校自動化及相關專業的研究生、教師參考，亦可供從事非線性控制理論、電力電子及電力傳動的科研和工程技術人員參考。
本書論述了反饋線性化、無源控制理論和自抗擾技術及其在電能質量控制、新能源、電能變換器中的應用。
第1章 預備知識
1.1 穩定性理論
1.1.1 Lyapunov穩定性理論
1.1.2 LaSalle不變集定理
1.2 Lq函數空間
1.2.1 Lq空間及其擴展
1.2.2 Lq穩定性和Lq增益
1.3 微分幾何
1.3.1 非線性坐標變換與微分同胚
1.3.2 李導數
1.3.3 李括號
1.3.4 向量場集合的對合性
1.3.5 相對階
第2章 反饋線性化控制理論及其應用
2.1 狀態反饋線性化控制理論
2.1.1 單輸入/單輸出非線性系統狀態反饋線性化
2.1.2 多輸入/多輸出非線性系統狀態反饋線性化
2.2 輸入/輸出反饋線性化控制理論
2.2.1 單輸入/單輸出反饋線性化控制理論
2.2.2 多輸入/多輸出反饋線性化控制理論
2.3 非線性系統的零動態設計方法
2.3.1 零動態設計方法Ⅰ
2.3.2 零動態設計方法Ⅱ
2.4 反饋線性化控制理論在電能質量控制中的應用
2.4.1 反饋線性化控制理論在有源濾波器中的應用
2.4.2 反饋線性化控制理論在同步補償器中的應用
2.5 反饋線性化控制理論在新能源中的應用
2.5.1 反饋線性化控制理論在光伏逆變器中的應用
2.5.2 反饋線性化控制理論在風力發電中的應用
第3章 無源控制理論及其應用
3.1 系統的耗散性和無源性
3.1.1 物理系統的基本性能
3.1.2 系統的耗散性和無源性定義
3.1.3 耗散性、無源性與穩定性
3.1.4 耗散性與L2增益
3.1.5 復聯系統的無源性
3.2 系統無源性的判斷
3.2.1 系統的零狀態可檢測性
3.2.2 KYP定理
3.2.3 相對階與無源性
3.3 基于歐拉-拉格朗日方程的系統無源性設計
3.3.1 系統的歐拉-拉格朗日方程
3.3.2 考慮外部作用時系統的歐拉-拉格朗日方程
3.3.3 系統的歐拉-拉格朗日誤差方程
3.3.4 基于歐拉-拉格朗日方程的系統無源控制器設計
3.4 基于哈密頓方程的系統無源性設計
3.4.1 哈密頓方程及其系統
3.4.2 端口受控哈密頓系統的基本性能
3.4.3 端口受控的耗散哈密頓系統
3.4.4 端口受控的耗散哈密頓系統標準反饋互聯控制
3.4.5 基于循環無源性的端口受控的耗散哈密頓系統互聯控制
3.4.6 基于無源性的端口受控的耗散哈密頓系統控制
3.5 無源控制理論在電能質量控制中的應用
3.5.1 無源控制理論在電力補償器中的應用
3.5.2 無源控制理論在電力濾波器中的應用
3.6 無源控制理論在新能源中的應用
3.6.1 無源控制理論在太陽能發電中的應用
3.6.2 無源控制理論在風力發電中的應用
3.7 無源控制理論在電能變換器中的應用
3.7.1 無源控制理論在矩陣變換器中的應用
3.7.2 無源控制理論在三電平三相NPC電壓型整流器中的應用
第4章 自抗擾控制技術及其應用
4.1 自抗擾控制技術簡介
4.1.1 PID控制的優缺點
4.1.2 自抗擾控制技術的特點
4.2 非線性跟蹤-微分器
4.2.1 跟蹤-微分器的性能
4.2.2 典型的跟蹤-微分器
4.2.3 跟蹤-微分器的離散形式
4.3 擴張狀態觀測器
4.3.1 擴張狀態觀測器的原理
4.3.2 擴張狀態觀測器的參數整定方法
4.4 自抗擾控制器
4.4.1 非線性PID控制器
4.4.2 自抗擾控制器的原理
4.4.3 自抗擾動態解耦原理
4.5 自抗擾技術在電能變換器中的應用
4.5.1 自抗擾控制技術在雙級矩陣變換器控制中的應用
4.5.2 自抗擾控制技術在電網不平衡時PWM整流器控制中的應用
4.6 自抗擾技術在電能質量控制中的應用
4.6.1 自抗擾技術在有源濾波器控制中的應用
4.6.2 自抗擾技術在同步補償器控制中的應用
參考文獻
本章主要介紹本書所需的數學基礎知識 ，如穩定性的理論 （Lyapunov穩定理論 、LaSalle 不變集定理） 、函數空間及微分幾何 。 關于書中涉及的其他基礎知識或術語請讀者參考有關文獻 。
1.1 穩定性理論
1.1.1 Lyapunov 穩定性理論
研究由微分方程
x? = f （x ，t） （1.1.1）
描述的非線性系統 。
式（1.1.1）中 ，x ∈ Rn 為狀態變量 ，t ∈ R 為表示時間的參量 。
1 ．幾個概念
設 U 炒 Rn 是原點 x0 = 0 的一個鄰域 ，J = ［t0 ，∞ ） ，t0 ≥ 0 是初始時刻 ，則
有以下定義 。
定義 1.1.1 如果函數 W ：U → R 滿足
W （x） ＞ 0 ， 橙 x ≠ 0 （1.1.2）
且 W （0） = 0 ，則稱 W （x）是正定的 。
定義 1.1.2 如果對函數 H ：U × J → R ，存在一個正定函數 W （x）使得
H（x ，t） ≥ W （x） ， 橙 （x ，t） ∈ U × J （1.1.3）
成立 ，且 H（0 ，T） ≡ 0 ，則稱 H（x ，t） 是正定的 。 如果有
H（x ，t） ≥ 0 ， 橙 （x ，t） ∈ U × J （1.1.4）
且 H（0 ，t） ≡ 0 ，則稱 H（x ，t） 是半正定的 。
類似地可定義負定 、負半正定函數 。
定義 1.1.3（Lyapunov 函數） 設 H （x ，t）（ H ：U × J → R）是連續可微的
正定函數 ，若 H（x ，t）沿微分方程（1.1.1）解的軌跡對 t 求導 ，其導數為
H? （x ，t） = 抄 H
抄 t + 抄 H
抄 x f （x ，t） （1.1.5）
半負定且連續 ，則稱 H （x ，t）是方程（1.1.1）關于平衡點 x0 = 0 的 Lyapunov
函數 ，其中
抄 H
抄 x 為
抄 H
抄 x = 抄 H
抄 x1
抄 H
抄 x2
. 抄 H
抄 xn
2 ．穩定定理
1） Lyapunov 穩定定理
對于系統（1.1.1） ，若存在 Lyapunov 函數 H （x ，t） ：U × J → R ，則 x0 = 0
是該系統穩定的平衡點 。
2） Lyapunov 漸近穩定定理
對于給定的正數 r ，令 U = x x ∈ Rn ， x ≤ r ，并記 J = ［0 ，∞ ） 。 對
于系統（1.1.1） ，若存在 Lyapunov 函數 H（x ，t） ：U × J → R 和負定函數 W ：U →
R ，使得沿系統（1.1.1）的任意解的軌跡為
H?
（x ，t） ≤ W （x） ＜ 0 ， 橙 t ≥ t0 ， x ∈ U - 0 （1.1.6）
且 H（x ，t）具有定常正定解 ，則 x0 = 0 是該系統漸近穩定的平衡點 。
3） Lyapunov 指數穩定定理
對于系統（1.1.1） ，若 H（x ，t） ：U × J → R 是系統的 Lyapunov 函數 ，且滿
足
r1 x 2 ≤ H（x ，t） ≤ r2 x 2 ， 橙 （x ，t） ∈ U × J
dH （x ，t）
dt ≤ - μ x 2 ， 橙 （x ，t） ∈ U × J
式中 ，r1 ＞ 0 ，r2 ＞ 0 ，μ ＞ 0 為給定常數 ，則零解 x0 = 0 是指數穩定的 。
4） Lyapunov 逆定理［1］
設 x0 = 0 是非線性時變系統 x? = f （x ，t）的平衡點 ，且 f （x ，t） ：U × J →
Rn 連續可微 ，雅可比矩陣
抄 f （x ，t）
抄 x 在 U × J 上有界 。 如果系統 x? = f （x ，t）的
零解 x0 = 0 是指數穩定的 ，即存在常數 α ＞ 0 ，β ＞ 0 使得不等式
x（t） ≤ α x（t0 ） e-β（t- t0 ） ， 橙 （x0 ，t0 ） ∈ U × J （1.1.7）
成立 ，則一定存在 Lyapunov 函數 H （x ，t） ：U × J → R 和常數 r1 ＞ 0 ，r2 ＞ 0 ，
μ ＞ 0 ，λ ＞ 0 使得下述不等式成立 ：
r1 ‖ x ‖ 2 ≤ H（x ，t） ≤ r2 ‖ x ‖ 2 ， 橙 （x ，t） ∈ U × J
dH（x ，t）
dt ≤ - μ ‖ x ‖ 2 ， 橙 （x ，t） ∈ U × J
抄 H
抄 x ≤ λ ‖ x ‖ ， 橙 （x ，t） ∈ U × J
（1.1.8）
1.1.2 LaSalle 不變集定理
為判斷系統的漸近穩定性 ，必須驗證 Lyapunov 函數 H （x ，t）沿系統狀
態軌跡的嚴格負定性 。 在實際系統中 ，構造出來的 Lyapunov 函數往往只滿
足 H?
（x ，t） ≤ 0 。對此 ，可用 LaSalle 不變集定理研究系統的漸近穩定性 。 下
面只給出一些結論 ，有關證明可以參看文獻［1］ 。
1 ．不變集定義
LaSalle 不變集定理主要依據適當的 Lyapunov 函數刻畫系統運動的極
限集位置 ，從而利用極限集的不變性考察系統運動的漸近特性 。
考察非線性系統
x? = f（x） （1.1.9）
式中 ，f ：U → Rn 為連續矢量函數且滿足局部 Lipschitz 條件（若存在常數 K ，
使得對定義域 D 的任意兩個不同的實數 x1 ，x2 均有 ‖ f（x1 ） - f（x2 ） ‖ ＜
K ‖ x1 - x2 ‖ 成立 ，則稱 f（x）在 D 上滿足 Lipschitz 條件） ，U 為 Rn 中含原
點的一個區域 ，f（0） = 0 。
定義 1.1.4 設系統 （1.1.9）的解是 x（t） ，若存在時間序列 tn ，lni→m∞ tn =
0 ，使得lni→m∞ x（tn ） = p ，則 p是 x（t） 的一個正向極限點 。
定義 1.1.5 設 M 炒 Rn ，若對任意初始條件 x（0） = x0 ∈ M ，系統
（1.1.9）的解是 x（t） = φ（t ，x0 ） 滿足
x（t） ∈ M ， 橙 t ≥ 0 （1.1.10）
則稱 M 是關于系統（1.1.9）的正向不變集 。
顯然 ，對于系統（1.1.9） ，平衡點 x = 0 是一個不變集 。 對一般的系統 ，
不變集可以包含一個或幾個平衡點 ，也可以是狀態空間的一個子集合 。
定義 1.1.6 若對于任意 ε ＞ 0 ，存在 T ＞ 0 使得
pin∈ Mf p - x（t） ＜ ε ， 橙 t ＞ T （1.1.11）
則稱 x（t） 隨時間 t 趨向于集合 M ，記作 x（t） → M 。
設系統（1.1.9）的解 x（t） 對 t ≥ 0 是有界的 ，則對任意給定的初始條件
x0 = x（0） ，存在時間序列 tn → ∞ （n → ∞ ） ，使得
lni→m∞ x（tn ） = x′0 （1.1.12）
即存在正向極限點 x′0 與之對應 。
令 L+ 表示系統（1.1.9）所有正向極限點組成的集合 （稱正向極限集） ，
可以證明 L+ 是有界閉集 。
引理 1.1.1 若系統（1.1.9）的解 x（t）對 t ≥ 0 是有界的 ，那么正向極限
集 L+ 是系統（1.1.9）的正向不變集［1］ ，且
x（t） → L+ （1.1.13）
2 ．LaSalle 不變集定理
定理 1.1.1 設 Ω 炒 U 是系統（1.1.9）的有界正向不變集 。 若存在定義
在 U 上的連續可微函數 H ：U → R ，滿足
H?
≤ 0 ， 橙 x ∈ Ω （1.1.14）
那么 ，該系統對應于任意初始狀態 x0 ∈ Ω 的解 x（t） 隨時間 t 趨向于 M ，即
lt i→m∞ x（t） = lt i→m∞ φ（t ，x0 ） ∈ M （1.1.15）
式中 ，M 是集合 E = x H?
（x） = 0 所包含的最大不變集 。
LaSalle 不變集定理的幾何解釋如圖 1.1.1 所示 。 由 H（x） 的單調性容
易理解 x（t）將趨近于 H?
= 0 的集合 E 。 該定理的意義就在于能夠得出 x（t）
不僅趨近于 E ，而且最終會進入 E ，并進一步趨近于不變集 M（準確地講 ，趨
近于 L+ ） 。 因此 ，如果能夠判斷系統在 E 中的不變集只包含原點 ，那么 ，即
使無法驗證 H?
（x） 的嚴格負定性 ，也同樣能夠得出平衡點 x = 0 是漸近穩定
的結論 。
圖 1.1.1 LaSalle 不變集定理
考察時變非線性系統
x? = f（x ，t） （1.1.16）
式中 ， f ：U × ［0 ，∞ ） → R（U 炒 Rn ）是關于 t的連續向量函數 ，且對 x滿足局
部 Lipschitz 條件 ，f（0 ，t） = 0 。
定理 1.1.2 對時變系統 （1.1.16 ） ，若存在連續可微的函數 H ：U ×
R+ → Rn 滿足
γ1 （ x ） ≤ H（x ，t） ≤ γ2 （ x ） ，
H?
（x ，t） = 抄 H
抄 t + 抄 H
抄 x f （x ，t） ≤ - W （x） ，
橙 （x ，t） ∈ U × R+
（1.1.17）
式中 ，γ1 （ x ） 和 γ2 （ x ） 是單調增加且 γ（0） = 0 ，lai→m∞ γ（a） = ∞ 的函數 ，
W （x） 是半正定連續函數 。 則系統（1.1.16）的解 x（t） 有界且滿足
lt i→m∞ W （x（t）） = 0 （1.1.18）
若 W （?） 是正定函數 ，則系統（1.1.16）的平衡點 x0 = 0 是漸近穩定的 。
1.2 L q 函數空間
1.2.1 Lq 空間及其擴展［2 ~ 4］
定義 1.2.1 對任意正整數 q ，如果滿足∫∞
0 f （t） q dt ＜ ∞ ，則稱可測
函數 f （t） ： R+ → R 屬 于 集 合 Lq ［0 ，∞ ） = Lq ， 記 為 f ∈ Lq 。 若 有
sup t ∈ R+ f （t） ＜ ∞ ，則稱可測函數 f （t） ：R+ → R屬于集合 L ∞ ［0 ，∞ ） = L ∞ ，記
為 f ∈ L ∞ 。
定義 1.2.2 稱向量函數 f（t） ：R+ → Rn ，f = ［ f1 f2 . fn ］T 屬于
集合 Lq ，若其每個分量 f i ∈ Lq ，i = 1 ，2 ，. ，n ，并定義
f q = ∫∞
0 f（t） q dt
1
q
， q = 1 ，2 ，. ，∞ （1.2.1）
定義 1.2.3 對任意函數 f（t） ：R+ → Rn ，給定任意正數 τ ，若
fτ （t） =
f（t） ， t ≤ τ ，t ∈ R+
0 ， t ＞ τ
（1.2.2）
則稱 fτ （t） 為 f（t）在［0 ，τ ］處的截斷函數 。 任意給定 q = 1 ，2 ，. ，∞ ，對于
一切可測函數 f（t） ：R+ → Rn ，當 fτ （t） ∈ Lq 對于所有滿足 0 ≤ τ ＜ ∞ 的 τ
成立時 ，則 f 屬于 L qe 。 Lqe 稱為 Lq 的擴展或擴展 L q 空間 。
定義 1.2.4 稱算子 G ：Lqe Lqe 為因果的 ，若
（Gu）τ = （Guτ ）τ ， 橙 τ ≥ 0 （1.2.3）
因果性是指 t 時刻在算子作用下系統的輸出與 t 時刻以后的輸入無關 ，
只取決于 t 時刻當前和以前的輸入 。
1.2.2 Lq 穩定性和 Lq 增益
定義 1.2.5 設算子 G ：Lqe Lqe ，若 u ∈ Lq 癡 Gu ∈ Lq ，則稱 G 為 L q 穩
定的 。
定義 1.2.6 設算子 G ：Lqe Lqe ，則稱 G 具有不超過 γq 的有限 L q 增益 ，
若存在常數 bq 使得
（Gu）τ q ≤ γq uτ q + bq ， 橙 u ∈ Lqe ，橙 τ ≥ 0 （1.2.4）
成立 。
引理 1.2.1 設算子 G ：Lqe Lqe ，則 G 具有不超過 γq 的有限 L q 增益的
充分必要條件是存在常數 bq 使得
Gu q ≤ γq u q + bq ， 橙 u ∈ Lq （1.2.5）
成立 。
證明 必要性 。 令式（1.2.4）中 τ → ∞ 即知結論成立 。
充分性 。 對任意常數 橙 τ ≥ 0 ，由 u ∈ Lqe 即知 uτ ∈ Lq 。根據式（1.2.5）
有
Gu q ≤ γq u q + bq （1.2.6）
由因果算子定義可知 （Guτ ）τ = （Gu）τ ，根據式（1.2.6）有
（Gu）τ q = （Guτ ）τ q ≤ Guτ q ≤ γq uτ q + bq （1.2.7）
從而結論成立 。
顯然 ，如果系統具有 Lq 增益 ，則它必然是 Lq 穩定的 ，反之亦然 。
定理 1.2.1 設算子 G ：L2e L2e 有 L2 增益 γ（G） ，則
γ（G） = inf γ u ∈ L2e ，橙 τ ≥ 0 ，愁 b（γ） ， Guτ
2 ≤ γ2 uτ
2 + b（γ）
（1.2.8）
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