本書系統地介紹了信息安全理論與技術所涉及的數論、代數、橢圓曲線等數學理論基礎。全書共分為9章：第1章是預備知識，介紹了現代密碼學涉及的數學基礎；第2章至第5章是數論基礎，包括整除、同余、次數與原根、二次剩余和素數檢驗以及整數分解等內容；第6章至第8章是代數基礎，包括群、環、域的概念及其應用等內容；第9章是橢圓曲線，包括仿射空間和射影空間、橢圓曲線的基本性質、橢圓曲線上的離散對數等內容。書中每章末都配有適量習題，以供學生學習和復習鞏固書中所學內容。
前言計算機和網絡技術的飛速發展和廣泛應用，極大地促進了社會的發展，也徹底改變了人們的生活和工作方式．與此同時，網絡與信息安全問題也更多地受到關注，網絡空間安全理論與技術已經成為當前最為重要的研究領域之一，網絡空間安全專門人才的培養受到了社會空前的重視．信息安全數學基礎是信息安全本科專業的基礎課之一，對網絡空間安全理論與技術（特別是網絡空間安全的核心技術密碼技術）的深入學習具有重要的意義．本書是在南開大學信息安全專業信息安全數學基礎課程授課講義的基礎上整理而成的．全書分為4部分，共包括9章內容：
第一部分：預備知識（第1章），介紹書中后續章節所涉及的基本概念和基礎知識，包括集合、關系、函數、映射與勢以及拓撲空間等．第二部分：數論基礎（第2至5章），介紹數論的基本內容，包括整除（整數的因子分解）、同余、原根與指數、二次剩余以及數論的應用等內容．第三部分：抽象代數基礎（第6至8章），分別介紹群、環、域的概念和知識，以及初等伽羅瓦理論和有限域理論．第四部分：橢圓曲線（第9章），介紹橢圓曲線的算術理論，包括仿射空間和射影空間、Weierstrass方程與橢圓曲線、橢圓曲線上的群結構、有限域上的橢圓曲線和橢圓曲線上的離散對數等內容．書中每節末都配有適量的習題，供學生在復習和鞏固書中所學內容時使用．習題包括A、B兩組：A組主要用于鞏固學生在課堂上所學的內容和知識，B組主要用于拓展學生的知識和技能．本書依據《高等學校信息安全專業指導性專業規范》（清華大學出版社，2014）中關于信息安全數學基礎的相關教學要求選取內容，并將編者多年積累的實際教學經驗融入其中，力求知識系統化，能較好地覆蓋網絡空間安全領域所涉及的數學基礎知識．書中所涉及的基礎知識都進行了介紹，其中的數學結論都給出了詳細的證明；書中所配的習題著力于幫助學生鞏固所學的內容和拓展能力．本書適合高等學校信息安全、計算機科學技術和通信工程等專業本科生和研究生使用，也可供相關領域的科研人員和技術人員參考．本書由賈春福、鐘安鳴和楊駿編寫．高敏芬老師、李瑞琪、梁爽、呂童童、田美琦、程曉陽和鄭萬通等參與了書稿的閱讀和校對．由于時間倉促，書中難免有疏漏和不當之處，敬請讀者批評指正．編者2016年10月于南開園
南開大學計算機與控制工程學院教授，自2003年南開大學信息安全專業創建以來，一致負責本專業的建設工作，并承擔了信息安全專業本科生《信息安全概論》和《信息安全數學基礎》課程的教學工作。2010年以來，編寫教材1部；承擔完成教改項目5項，此外，還參與了教育部《信息安全類專業指導性專業規范》的編寫工作。
目錄
前言
教學建議
第1章 預備知識1
1.1 集合1
1.2 關系8
1.3 函數17
1.4 映射和勢22
1.5 拓撲空間25
第2章 整除31
2.1 整除與帶余除法31
2.2 最大公因子與輾轉相除法35
2.3 算術基本定理43
*2.4 完全數、梅森素數和費馬素數47
第3章 同余51
3.1 同余的概念和性質51
3.2 剩余類和剩余系55
3.3 歐拉定理和費馬小定理59
3.4 擴展歐幾里得算法和威爾遜定理64
3.5 線性同余方程68
3.6 中國剩余定理與同余方程組71
*3.7 高次同余方程81
第4章 原根與指數88
4.1 次數88
4.2 原根94
4.3 指數與高次剩余103
第5章 二次剩余109
5.1 二次剩余的概念和性質109
5.2 勒讓德符號與二次互反律113
5.3 雅可比符號124
第6章 群129
6.1 群129
6.2 子群133
6.3 循環群136
6.4 置換群140
6.5 陪集與商群145
6.6 同態和同構150
第7章 環156
7.1 環156
7.2 理想和商環162
7.3 幾類重要的環168
7.4 素理想和極大理想174
第8章 域178
8.1 域上的多項式178
8.2 域的代數擴張183
8.3 分裂域與自同構188
8.4 伽羅瓦理論初步194
8.5 有限域198
第9章 橢圓曲線203
9.1 仿射空間與射影空間203
*9.2 代數曲線210
9.3 Weierstrass方程與橢圓曲線214
9.4 橢圓曲線上的群結構221
9.5 有限域上的橢圓曲線227
9.6 橢圓曲線上的離散對數232
索引234
參考文獻239
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