第2版前言
高等數學（微積分）是學習如何解決問題的一門課程.盡管有些人可能在工作之后再也用不到微積分，但是他們仍然可以從微積分的學習中受益，因為學習微積分的好處不僅體現在專業上，而且還體現在智力上.我們編寫本書的目的正是期望讀者能夠更順利地完成微積分的學習.本書延續了第1版邏輯簡約，語言科學、平易的優點，取國內外眾多優秀教材之長，秉承透徹研究、簡單呈現的原則，對微積分的內容及敘述方式做了進一步的梳理. 本次修訂的最大變化是增加了網絡支持功能，這是傳統教材與現代化教育手段有機結合的一次嘗試.網絡（手機）視頻、音頻或文本支持重點知識講解、圖形演示、習題答案或提示、擴展閱讀、討論等，實現移動學習的功能，并將不斷升級、擴展和完善.本次修訂得到了眾多支持與幫助.感謝吳斌副校長、郭福處長.感謝黃秋梅、邢秀俠、韓敏、彭娟、張真寧、楊蓉老師及大數數學教育教學研究中心的所有同事.北京服裝學院謝偉獻、董慶華、劉蓉、侯志萍老師提出了習題分級及其他有益的建議，并完成了習題分級工作，在此表示感謝. 對關心并支持我們的朋友和出版社的朋友們一并表示感謝！
由于編者水平所限，對書中不妥之處，敬請廣大讀者批評指正.編者2016年春于北京工業大學高等數學教程上冊第2版前言第1版前言高等數學（微積分）是大學各工科專業最重要的公共基礎課程，具有周期長、課時多、內容多、難點多等特點.一套好的教材應該用科學、平易的語言闡明微積分的主要內容，并且應該易教易學.為了實現這一目標，我們長期致力于高等數學教材的建設工作，先后有范周田、張漢林、平艷茹、楊曉華、丁津、唐兢、王術、田鑫、張方、李貴斌、胡京興、徐大川等十余位教師參與其中.在教材的寫作過程中，我們有幸得到了林群院士的指導.林群院士指出：“擒賊先擒王，無窮小就是微積分的王.抓住了無窮小就可以學會微積分.”同時，我們學習了張景中院士的教育數學理論，即要“通過對數學本身的研究來化解數學的難點”，知識的結構與表達要做到“邏輯結構盡可能簡單，概念引入要平易直觀，要建立有力而通用的解題工具”.《高等數學教程》的寫作充分借鑒了這些思想和理論.《高等數學教程》具有以下特點：
1化解障礙，平易銜接.極限理論是微積分理論的重要基礎，也是微積分入門的主要障礙.我們首先從自變量的變化趨勢出發，直觀地介紹了三個基本的無窮小，然后用極限的εδ定義證明了無窮小的比較定理.以此為基礎，我們從正面詮釋極限理論，避開了極限定義中“顛倒因果關系”造成的學習困難.這樣既能表達極限εδ語言的意境和作用，又和初學者已有的知識水平和思維習慣相適應，在一定程度上降低了極限理論的學習難度.2重點突出，難點分散.例如，中值定理是導數應用的理論基礎，也是一元微積分教學的重點和難點，我們從便于學習者加深理解并掌握的角度對其進行了重新設計.每一節都只有一個重點或難點，從定理證明、思想方法、應用等多側面由易到難進行介紹.3對重點概念或定理的表述更加科學，更加平易直觀.例如，函數、不定積分和曲率等概念的表述，以及復合函數的導數公式、積分換元法、牛頓萊布尼茲公式的證明等.4突出數學的思想方法，用數學思想解決實際問題.例如，教材中借助求解常微分方程過程中經常使用的變量替換的思想，簡化了二階常系數線性微分方程的求解過程.又如，對坐標的曲面積分是為解決物理中的場論問題產生的，我們從物理問題出發建立對坐標的曲面積分的概念，并從概念中產生了計算方法.《高等數學教程》整套教材的寫作得到了韓云瑞教授、李心燦教授、郭鏡明教授等多位專家的熱心支持與無私幫助，其中韓云瑞教授認真審閱了本書的全部書稿，李心燦教授審閱了部分書稿，并提出了許多寶貴意見.專家們廣博深厚的知識、嚴謹治學的風范以及樂于助人的美德深刻地影響了我們.正是在他們的幫助和鼓勵下本書才得以順利完成，在此向他們表示崇高的敬意！
在《高等數學教程》成書之際，誠摯感謝林群院士和張景中院士！
感謝我校蔣毅堅副校長、教務處及數理學院的相關領導們長期以來對我們的關心和支持！
對我們的同事，關心并支持我們的朋友和出版社的朋友們一并表示感謝！
由于編者水平和時間所限，書中難免有不妥之處，敬請廣大讀者批評指正.編者
序本書是北京工業大學數理學院的范周田、張漢林等教師經過數年總結探索，結合自身教學實踐而編寫出來的公共數學教材，在概念和方法上都很有創新.高等數學幾乎是所有大學生的必上之課，恐怕也是最重要的一門基礎課了.現在的高等數學教材種類繁多，內容大同小異，那么選什么教材就變得尤為關鍵，而本書確實是一本內容翔實，易教易學的高等數學教材.本書從無到有，由淺入深，抓住了微積分的牛鼻子，從無窮小入手，進而引入極限的一般概念，循序漸進地將學生引入微積分的殿堂.書中有很多評注和要點總結，這是學生最希望看到的.值得一提的是，在第2章中引入無窮小時，書中話語通俗易懂、平易直觀，擺脫了以往教材生硬、古板、上來就是εδ語言的講法，而是一語中的，抓住了“無窮小”的本質.生動之后又將其數學化，老師易教，學生也易學.將復雜的內容，抓住實質講得明白，使學生覺得自然親切，真正是以一個例子說清了最不易說清楚而又不得不說的無窮小問題.微積分的教學改革既舉足輕重，又頗具難度.本書對微積分的教學改革是一個很大的推動.應該說，微積分的教學改革是一場攻堅戰，我們仍需努力，將它進行到底！
中國科學院院士林群
序
第2版前言
第1版前言
第7章常微分方程
71常微分方程的基本概念
習題71
72一階微分方程
721可分離變量的微分方程
722齊次微分方程
723一階線性微分方程
*724伯努利方程
習題72
73可降階的高階微分方程
731y（n）=f(x)型的微分方程
732y″=f(x,y′)型的微分方程
733y″=f(y,y′)型的微分方程
習題73
74高階線性微分方程
741函數的線性相關與線性無關
742線性微分方程解的結構
*743線性微分方程解的存在唯一性
習題74
75常系數齊次線性微分方程
751二階常系數齊次線性微分方程
752n階常系數齊次線性微分方程
習題75
76常系數非齊次線性微分方程
761二階常系數非齊次線性微分方程
*762歐拉方程
習題76
綜合習題7
第8章無窮級數
81常數項級數的概念和性質
811常數項級數的概念
812收斂級數的基本性質
習題81
82常數項級數的審斂法
821級數收斂的必要條件
822正項級數及其審斂法
823交錯級數
824絕對收斂與條件收斂
習題82
83冪級數
831函數項級數的概念
832冪級數及其收斂性
833冪級數的性質及冪級數的和函數
習題83
84泰勒級數
841泰勒級數的概念
842函數展開為冪級數
843冪級數的應用
習題84
85傅里葉級數
851三角函數系
852周期為2π的函數的傅里葉級數
853函數在［-π,π］上的傅里葉級數
854函數在［0,π］上的正弦級數或余弦級數
855周期為2l的函數的傅里葉級數
*856傅里葉級數的復數形式
習題85
綜合習題8
第9章空間解析幾何與向量代數
91空間向量及其運算
習題91
92空間平面和直線方程
921空間平面方程
922空間直線方程
習題92
93空間曲面和曲線
習題93
第10章多元函數微分學及其應用
101多元函數的極限與連續
1011n維空間
1012多元函數的極限
1013多元函數的連續性
習題101
102偏導數
1021偏導數的概念及其計算
1022偏導數的幾何意義
1023高階偏導數
習題102
103全微分及其應用
習題103
104多元復合函數的求導法則
習題104
105隱函數及其求導法
習題105
106多元微分在幾何上的應用
1061空間曲線的切線與法平面
1062空間曲面的切平面與法線
習題106
107多元函數的極值
1071無條件極值
1072條件極值拉格朗日乘數法
習題107
108方向導數與梯度
1081方向導數
1082梯度
習題108
綜合習題10
第11章重積分
111二重積分的概念與性質
1111二重積分的概念
1112二重積分的性質
習題111
112二重積分的計算
1121直角坐標系下二重積分的計算
1122極坐標系下二重積分的計算
1123對稱性與二重積分
*1124二重積分的變量替換
習題112
113三重積分
1131三重積分的概念
1132空間直角坐標系下三重積分的計算
*1133利用球坐標系計算三重積分
習題113
114重積分的應用
1141幾何應用
1142物理應用
習題114
綜合習題11
第12章曲線積分與曲面積分
121第一型曲線積分
1211第一型曲線積分的概念和性質
1212第一型曲線積分的計算
習題121
122第二型曲線積分
1221第二型曲線積分的概念與性質
1222第二型曲線積分的計算
1223兩類曲線積分的關系
習題122
123格林公式及其應用
1231格林公式
1232平面上的曲線積分與路徑無關的條件
1233全微分方程
習題123
124第一型曲面積分
1241第一型曲面積分的概念與性質
1242第一型曲面積分的計算
習題124
125第二型曲面積分
1251雙側曲面及其法向量
1252第二型曲面積分的概念
習題125
126高斯公式通量與散度
1261高斯公式
1262通量與散度
習題126
127斯托克斯公式環流量與旋度
1271斯托克斯公式
1272環流量與旋度
習題127
綜合習題12
附錄研究與參考
1關于常微分方程的注記
2關于多元函數極值的充分條件
參考文獻
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