引 言
所有文化都是由許多共同的因素所塑造的。這些因素可以是它們自身的信仰和儀式、生活哲學、社會組織形式、語言、文學、烹飪、藝術風格、貿易體系、技術、考古學，當然還有數學。
數學是人類文化的產物，大學或研究中心的工作人員每天都會用到它。但是，在沒那么“高端”的地方也有屬于自己的數學。無論這類數學知識專業或是不甚專業，它們都在學術傳統的邊緣地帶不斷發展。
我們大多數人所了解的數學歷史只是西方數學的歷史，但數學基礎的建立卻遠在我們的學術團體甚至文化形成之前。人類學的研究很少將注意力放在數學上。總體來說，人類學所做的不過是將各類數字和計數系統當作奇聞逸事進行記錄罷了。西方殖民者也從沒有關注過當地的本土數學思想，因此這些思想大都不為人知，并且被認為只是通過手工藝品制作和其他手藝人參與的文化性質的活動而得到發展。
我們在本書里談及的并不是簡單的日常數學，而是那種獨立發展并致力于解決實際問題的數學。所有文化都有以高質量、嚴謹、精確的方式行事的需求，都要計數、測量、辨向和設計。民族數學（Ethnomathematics）是在滿足各民族和文化的特定需求中不斷發展的本土數學。各個地方的人都通過日復一日的勞作和生活抓住了數學的根基，所以人們在各個地方都能看到民族數學的身影。顯然，我們不能奢望在學術環境中找到這種數學。我們期望的應當是這樣一種自然狀態的數學：以學術視角來看它未經潤飾或雕琢、更多地基于經驗和實踐而不是理論推導證明，同時又是基于理性共通的邏輯的數學。
總體而言，民族數學的研究目的是展示各個民族和各種文化的本土數學，評估其應用，并把它納入正規數學體系，使其能夠得到進一步發展，同時也能成為一種教育資源。那么，我們在哪里能找到民族數學，能以什么方式找到它，又應該怎樣對待它呢？
本書可以說是一場跨越時間和文化的環球數學之旅。我們將會看到，許多文化發展了它們自身的數字系統和本土計算方法，其中結出的兩個勞動果實就是計算器的“祖先”—印加人的結繩文字和中國人的算盤。
受空間限制的、二維或三維的構造是建筑和裝飾物的基礎。對于創作兼具造型性和重復性的圖案來說，這種構造中的數學特征尤為關鍵，以至于一個民族或一種文化可以通過一項幾何設計被輕易認出。擴展到全人類而言，從史前到現代，環顧全球各地，對稱是一種被廣泛使用的文化表達形式。
不論是引導我們去接受、了解組成游戲的規則，還是監督這些規則的執行，游戲本身都發揮了重要的作用。而且在游戲中還蘊含著自洽的邏輯，以及判定結果和局勢的基本準則。正是在游戲中，一種文化表達了其理解概率的方式。
并不是所有文化都將數學與文化的其他方面分隔開來。比如儀式或典禮上的某些習俗，對其不了解的人會認為那些行為遵照了戲劇、舞蹈、音樂或者幾何學的規則，但是對于身處其中的人來說，它們并沒有什么不同。而這些同與不同并不是我們的研究目標。我們并不會討論原住民是否相信他們在實踐自己特有的數學知識，但是我們會從自身的視角用他們的數學方法來審視我們自己。
最后，我們會在民族數學知識中找到上述問題的答案— 人類是一種天生有數學思維的物種。
要在數學的起源和發展區域尋找它的蹤跡，顯然不能拋開實踐數學知識的人群。因此，我在此鄭重地向伊布·克圖特（Ibu Ketut）表示感謝，許多關于印度尼西亞巴厘島的材料都是通過與她合作積累的。我還要特別感謝來自印度泰米爾納德邦金奈市的卡米尼·丹達帕尼（Kamini Dandapani），他的照片展示和解釋了在印度吉祥圖案古拉姆斯（Kolams）之下隱藏的數學觀念。在關于玻璃制造與數學的聯系這個章節中，西班牙薩瓦德爾市L’art ORL Vitrall 公司的多洛斯·吉薩（Dolors Guixà）和霍安·塞拉（Joan Serra）發揮了關鍵的作用。同時， 我也非常感謝上述所有人在闡明常常被隱藏在表象之下的數學觀點和數學活動中所給予的幫助。
第五章
日常生活中的民族數學
常見的邏輯
達雅人（馬來西亞婆羅洲）
阿爾弗雷德·拉塞爾·華萊士是一位英國博物學家，曾于19 世紀下半葉周游馬來群島。作為一個與達爾文同時代的人， 他曾研究過巽他群島的植物和動物群落，并獨立提出了一種與達爾文進化論極為相似的理論。他所撰寫的《馬來群島》（The Malay Archipelago）既是研究報告，也是記述當地部落和民族的生活與習俗的人類學文獻。他記述了與當地居民往來的情況，從中我們可以看出這些人的某些思考方式。
華萊士描述了他與居住于婆羅洲內陸地區的達雅部落成員的交往。在那個年代的東南亞，部落之間互相獵頭還是一件常見的事，但這并不妨礙部落中的人友善地對待華萊士。即使在今天的東南亞，尤其是在馬來西亞、泰國和印度尼西亞，當地人對自己不知道的事做出肯定的回答仍是一種常見現象。華萊士察覺到從達雅人那里獲得準確的信息或者個人觀點是件很困
難的事。根據達雅人的說法，如果他們的回答是“不知道”， 他們可能不是真的知道。這個問題的關鍵在于回答的人是否知道自己知道或者不知道某些事情：
如何精確地統計人數（印度尼西亞）
華萊士用了整整一章篇幅來介紹統治龍目島（位于巽他群島）的酋長如何進行人口普查。從數學的角度來看，人口普查其實就是在一個區域或地區內的居民和自然數之間建立一一對應的關系。也就是說，以人為對象計數。在實踐中，做到這一點并不容易。酋長想知道在他的統治之下究竟有多少臣民。此外， 他不想通過統計方法得到這一數字，而想一個個地把人給數出來。人數的精確性很重要，因為稅收是基于人頭來征繳的，沒有人能得到豁免，因此酋長需要知道準確的人數，以便征稅。
酋長的解決方案既需要人們自己去計數，又需要確保這種統計真正做到詳盡而又沒有遺漏。為了達到這一目的，他利用了文化的影響，而且這也成為最終解決方案的基本特征。通過強迫的方式讓每個家庭的成員提供答案是不可行的。人口普查必須做到沒有人覺察到它是一項普查，更沒有人會想到為什么它要開展。唯有通過這種方式才有可能確保信息的可靠性。
酋長會把所有的部落首領、祭司和貴族召集在一起，告訴他們昨晚自己夢到了火山大神。于是首領、祭司和貴族命令手下人開辟了一條通往山頂的道路，以便酋長爬上去聽聽大神想要跟他說什么。之后酋長會登上山頂，當地的其他顯要人物都在山下列隊等著歸來他。三天后，酋長會再次把部落首領和祭司們召集起來，告訴他們大神所說的話。
根據大神的說法，恐怖的瘟疫和疾病即將威脅到島上所有人，只有遵從神的指示才能幸免。大神命令島民需要制造12 把神圣的克力士劍（一種劍身呈蛇形的短劍，在東南亞很常見）。同時所有地區的每個社區都要上交成束的銀針，一根銀針代表這塊地域內的一個人。當瘟疫或疾病襲擊某個社區的時候，12 把克力士劍中的一把就會被送到那里，如果社區內的每棟房屋都上交了正確數量的銀針，瘟疫或疾病就會立即消失。但是，如果人數和針數對不上，神圣的克力士劍就不會起作用。也就是說，當不幸的事件發生在某個社區時，一把克力士劍就會遵循大神的命令被送到以消除災禍。如果威脅過去了，它就應歸功于神圣的短劍。如果災難仍在發生，那是因為銀針的數目不對。
毫無疑問，如果最終的計數做到了詳盡的話，那么酋長計謀的實質就是用間接威脅的手段去操縱無知而迷信的民眾，并最終將發生災禍的罪責歸于無辜的人。如果事態好轉，這是神的功勞；如果形勢惡化，那是因為人的過失，也就是犯了瞞報人口的錯誤。
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