本書涉及有關自然數的本體論和認識論的基本問題。十九世紀后半葉，多位數學思考者、哲學思考者圍繞自然數這一概念展開過一系列探索。其結果各有所長、各有千秋，但都不盡如人意。原因在于人們只注意到自然數的有限基數特點而疏忽了自然的實在的剛性的序特點。我國古代充滿智慧的先人們則早已駕輕就熟地應用這種序結構來表達思想。 本書試圖從自然界的序現象出發，結合我國古代先人應用序的智慧，闡明這種幾乎無處不在的序結構如同到處可見的幾何結構一樣，是人類一種來自生活經驗的認識之源，有關自然數及其運算律的認識也和有關幾何知識的認識一樣源于對客觀世界的感知。本書試圖以嚴格的數學方式來論證自然數這一概念從其依賴的本源到抽象獨立出來，成為柏拉圖所說的永恒之物的自然和典型的思維路徑，以及從自然數到實數的根本發展途徑的典型性，從而對有關數概念的一些認識論問題提出具有說服力的見解。
本書是數學哲學方面的一本論著，涉及有關自然數的本體論和認識論的基本問題。十九世紀后半葉，多位數學思考者、哲學思考者圍繞自然數這一概念展開過一系列探索。其結果各有所長、各有千秋，但都不盡如人意。原因在于人們只注意到自然數的有限基數特點而疏忽了自然的實在的剛性的序特點。我國古代智慧的先人們則早已駕輕就熟地應用這種序結構來表達思想。
本書試圖從自然界的序現象出發，結合我國古代先人應用序的智慧，闡明這種幾乎無處不在的序結構如同到處可見的幾何結構一樣，是人類一種來自生活經驗的認識之源，有關自然數及其運算律的認識也和有關幾何知識的認識一樣來源于對客觀世界的感知。本書試圖以嚴格的數學方式來論證自然數這一概念從其依賴的本源到抽象獨立出來，成為柏拉圖所說的永恒之物的自然和典型的思維路徑，以及從自然數到實數的根本發展途徑的典型性，從而對有關數這一概念的一些認識論問題提出具有說服力的見解。
Humanity always arithmetizes.
人類總是算術化。
戴德金，《何為數，何當為數？》
幾乎每一個人自幼開始就學著數數、認數�？梢哉f從小開始，自然數就是大家日常打交道的對象之一。到上小學的時候，我們不僅更為熟練地數數、認數，更是花不少時間學習如何計算各種各樣的數值等式和大小比較的不等式，學習算術加法和乘法的交換律、結合律、分配律，等等�？墒�，何為數？何當為數？這里的問題不僅涉及有關數的本體論和認識論的問題，涉及關于數的語義解釋以及真假判定問題，還涉及數學的基礎問題。這不僅是戴德金問過的問題，事實上也是一個自古希臘開始無數思想者都問過的問題。他們不僅發問，而且也都各抒己見，從不同的角度對這樣的問題給出自己的解答。很明顯，這樣的問題也和其他哲學問題一樣是開放型問題，是那種很難有完全令人信服的終極答案的問題�？v觀迄今為止的所有具有代表性的解答，許多涉及根本的解答的確各有不盡如人意之處。尤其是，自然數這一概念究竟來自何處？到底是先驗的，還是后驗的？算術律的真性到底是由什么確定的？依據是什么？這些問題似乎依舊還有值得進一步深究的地方。
在這里，本書試圖以自然界中自然產生的序現象為本，從我國古代先人們智慧地應用序的事例出發，將自然數解釋為自然離散線性序序結構在序同構分類下的序型，將自然數之間的大小比較還原成自然離散線性序之間的嵌入比較關系，將自然數加法還原成具體的自然離散線性序序結構之間的線性序聚合，將自然數乘法還原成具體的自然離散線性序序結構之間的雙線性序整合。而這種序的聚合與整合早已被我國古代先賢們駕輕就熟地使用。當本書將這些事實系統性地、嚴格地展現出來的時候，前面提到的一些問題的一種典型答案似乎應當明顯地躍然紙上。
在這個基礎上，本書沿著數概念延展的歷史軌跡，試圖說明在數學中像數這樣的基本概念是如何因為解決現實世界實際問題的需要，而沿著一條（無論是從邏輯的角度看還是從現實發展的角度看）典型的路徑被不斷延拓，以及這種數概念的典型延拓又怎樣內在地激勵著數學自身向前發展。在這里的解釋中隱含著的是一些數學中典型的思維方法。對此，我們不想過多言說，因為真正的美更多的是盡在不言。
雖然本書討論的是數學哲學的問題，但我可能不習慣對關于這些問題的其他說法發表自己的看法。理由是在數學中，在自然科學中，思想者普遍奉行的是立字當頭，破在其中；有道理，把道理講清楚了，其他的就留給愿意對比或評判的讀者。我大約也希望就算涉及的是哲學問題，我也只是努力把我能夠說清楚的講明白就好，對于任何其他說法，我都尊重，不必多言。唯一例外的是關于現代結構論者的一段宣言我會謹慎地提出自己的不同見解（詳見第1章結尾段落）。
本書將在緒論中扼要地呈現弗雷格（1884年）、赫爾姆霍茲（1887年）、克羅內克（1887年）、戴德金（1888年）以及皮亞諾（1889年）關于自然數的論述，以展開本書的話題；在這一章的后半部分，本書將試圖明確必要的假設，并希望以此來明確本書的立足點和基本想法以及本書試圖說明的主要觀點。
第2章引進一系列來自生活中的實例，并借助它們引進本書所需要的基本數學概念：等價關系、關聯準線性序、商線性序以及自然離散線性序；進而試圖對自然離散線性序給出一種來自生活的規范性的表示。
第3章引進序同構與序嵌入，從而定義自然離散線性序的序型并揭示它們的剛性；結合我國先人們的智慧，本書會討論如何將算術運算還原到序型的聚合與整合問題中，從而討論序型算術律及其真性問題，等等。
第4章討論正分數的典型性來歷，試圖將正分數數值等式以及正分數算術律的真性與實際應用中的解釋有效性關聯起來。
第5章沿著從幾何量到正無理數以及實數軸發展的歷史軌跡，重現數概念演變延拓的典型路徑。
第6章解釋為了滿足什么樣的需要，實數概念又怎樣被延展到向量概念以及矩陣概念；同時，本章還將展示如何將物理上的實際操作用數學上的運算（函數）恰當地表示出來。本章試圖說明的是：之所以數學會在自然科學中有如此功能性的廣泛應用，就在于數學中的典型對象（函數）原本就來自對實際操作的恰到好處的抽象。
第7章解釋康托的集合論與超限序數，以及在集合論中如何規范地解釋自然數以及實數這些概念。本書也希望明確康托的超限序數與有限序數之間的自然關聯，從而提示數學中新概念產生的一條典型思路。這一章中，本書也大致地展示了現代數學的一種基礎理論------集合論------的主要內容。我們需要這樣做，因為這是對數概念規范的終極解釋。除了集合論公理化內容之外，本章的重點是康托在1883年引進超限序數的論文的主要內容以及他對于實數的定義。
最后，第8章引進了實數算術理論以及自然數算術理論的非標準模型。這樣做的目的是試圖解釋數這樣的概念實際上具有很大的可伸縮性，并非如早先的那些先驗論者所想象的那樣一層不變。這些嚴格定義出來的非標準模型會展示牛頓--萊布尼茨早年想象的無窮大量與無窮小量可以是數學意義上的真實存在對象，它們也是數。
實話實說，我原本不會對有關數的哲學問題感興趣，因為在我看來，集合論對自然數的解釋已經至臻完善，可謂終究極致。然而，生活中的機緣常常會將人帶到意想不到的境地。我首先應當感謝復旦大學的郝兆寬教授，一位難得的相識多年的年輕朋友。差不多十年前，是他送給我一本由他和楊睿之合作翻譯的美國學者斯圖爾特·夏皮羅所著《數學哲學：對數學的思考》（Thinking about Mathematics---The Philosophy of Mathematics）。從這本書中我第一次接觸到數學哲學思考者所關注的有關數的那些問題，帶著這些問題去讀《數學哲學》，自然會有一些不怎么明白的地方，也就難免胡思亂想。如果就此打住，也便沒有什么。誠如前此我在《邏輯與發現》的序言中說過的，機緣有時也會展現出難得的連貫性。去年，非常意外也十分榮幸地接受清華大學哲學系劉奮榮教授的邀請，到清華大學---阿姆斯特丹大學邏輯學聯合研究中心訪問。恰逢清華大學人文學院剛啟動的日新書院需要為書院中選拔出來的哲學學堂班開設哲學經典與專題研討班，其中有一門四十八學時的邏輯學交叉科學專題。劉奮榮教授建議我來主講，并把我引薦給了負責學堂班工作的夏瑩教授。這便成了義不容辭的工作任務。為了給這些優秀的學生們準備一份拿得出手的講義課件，我便將有關數的那些雜亂的想法整理出來，以期與學堂班的同學們一道從認識論的角度來審視數概念的形成與演變。自然，我完全假設了這樣做是合適的。于是，呈現給讀者的這本小冊子的梗概便出自那些講義。我也有意在這本小冊子中保留了那些講義課件的一些痕跡，因為在我看來曾經給這些優秀的學生講過這樣的內容是一份非常值得的記憶。因此，請允許我借此機會表達對劉奮榮教授、夏瑩教授以及復旦大學的郝兆寬教授、楊睿之教授的衷心感謝，也非常感謝清華大學人文學院以及哲學系對我的訪問所提供的便利和支持。
馮琦
2022年9月
馮琦，湖北松滋人，1955年4月出生。哈爾濱工業大學計算機軟件專業本科畢業；美國賓州州立大學數學專業博士畢業。曾任新加坡國立大學數學系講師、高級講師、教授；曾任清華大學數學系教授；曾任中國科學院數學所研究員、數學所副所長，以及中國科學院數學與系統科學研究院研究員；現為清華大學人文學院哲學系訪問學者。專業研究方向為數理邏輯、集合論。著有《數理邏輯導引》(2017)、《線性代數導引》(2018)、《集合論導引》(3卷，2019)、《基本邏輯學》(2020)、以及《邏輯與發現》(預計2022)，均有科學出版社出版。
第 1 章 緒論 1
1.1 十九世紀末葉思想者對自然數觀念的典型解釋 3
1.1.1 弗雷格在《算術基礎》解釋自然數 3
1.1.2 赫爾姆霍茲否定算術知識的先驗性 12
1.1.3 克羅內克定義自然數 18
1.1.4 戴德金論自然數的本質與含義 20
1.1.5 皮亞諾算術公理 27
1.1.6 對前述典型認知的幾點評注 29
1.2 面臨的基本問題及基本假設 32
1.2.1 思維過程涉及三種世界 33
1.2.2 關于抽象與抽象能力 42
1.2.3 關于數的哲學思考 44
第 2 章 比較與排序 49
2.1 生活中的比較問題 49
2.2 等同 58
2.2.1 相同關系 58
2.2.2 等價類與商集 62
2.3 關聯準線性序與自然離散線性序 66
2.3.1 關聯準線性序關系 66
2.3.2 線性序 68
2.3.3 關聯準線性序之群體效應 69
2.3.4 關聯準線性序之提升 70
2.3.5 一階邏輯之量詞 78
2.3.6 量詞所轄變元之變化范圍問題 79
2.3.7 關于抽象：從具體到一般 80
2.3.8 序結構比較問題 81
2.3.9 特殊字符串表及其字典序 85
2.3.10 居民擴展名之等價類中名字的字典序 86
2.3.11 商集 M/ 中的元素與商集 H0/中元素之比較 88
2.3.12 竹簡書卷長短比較 89
2.4 正字字符串 92
2.4.1 從實物標識到正字字符串表示 92
2.4.2 正字字符串之有界部分團 95
第 3 章 序型算術與自然數 98
3.1 序同構與序型比較 98
3.1.1 等勢 98
3.1.2 保序對應 101
3.1.3 序同構法則 102
3.1.4 自然離散線性序之剛性 102
3.1.5 序型表示問題 106
3.1.6 有限性與自然數 107
3.1.7 自然數之內涵 108
3.2 算術問題 108
3.2.1 合并操作與整合操作 108
3.2.2 無重合序合并與序型加法 109
3.2.3 序型加法 111
3.2.4 序型加法保持序型比較關系 112
3.2.5 整合操作與干支乘積 123
3.2.6 整合操作的基本性質 125
3.3 序型算術的實現 126
3.3.1 加法運算與乘法運算 126
3.3.2 運算保序規律 131
3.3.3 自然數數值內涵 134
第 4 章 正分數 139
4.1 平面直線線段長短比較問題 139
4.1.1 平面直線線段長短比較 139
4.1.2 平面長度度量假設 144
4.2 平面整齊矩形面積量 146
4.2.1 整齊矩形面積度量 146
4.2.2 長度量之乘法以及面積量 148
4.2.3 等分直線段與正分數 149
4.3 正分數算術律 151
4.3.1 發現正分數算術律 151
4.3.2 長度量均分假設 155
4.3.3 發現正真分數大小比較律 155
第 5 章 幾何量 158
5.1 發現非分數幾何量 158
5.1.1 單位正方形主對角線長度問題 158
5.1.2 發現雙倍面積定理 159
5.1.3 發現勾股弦面積定理 162
5.2 幾何原理 168
5.2.1 默認假設追問 168
5.2.2 歐幾里得幾何 169
5.2.3 劉徽計算中的幾何直觀假設 171
5.2.4 發現圓周率 172
5.2.5 數之法出于圓方 173
5.2.6 非有理幾何量 174
5.2.7 無理數 175
5.2.8 幾何量與正實數 175
5.2.9 平面夾角及其大小比較 176
5.2.10 平面上夾角的度量 178
5.2.11 發現正弦變化律 179
5.2.12 正弦值與三角形面積 183
5.2.13 正無理長度 185
5.2.14 正實數直線 185
5.2.15 非負實數軸與平面直線線段長度 190
5.2.16 鏡面反射與負數 192
5.2.17 整數直線、分數直線、實數直線 192
5.2.18 實數軸 195
第 6 章 向量 198
6.1 實數平面與實數立體幾何空間 198
6.1.1 笛卡爾直角坐標系 198
6.1.2 歐幾里得平面參照系 201
6.1.3 笛卡爾距離空間 203
6.1.4 立體歐幾里得空間參照系 206
6.1.5 向量空間 208
6.1.6 內積空間 214
6.1.7 高維向量空間中的內積 216
6.2 向量內積空間上的變換 217
6.2.1 平移 217
6.2.2 旋轉 220
6.2.3 旋轉矩陣 221
6.2.4 矩陣之代數運算 223
6.2.5 旋轉復合 230
第 7 章 超限序數 235
7.1 對應與函數 235
7.2 康托建立集合論 239
7.2.1 認識實變函數 239
7.2.2 區分可排列與不可排列 244
7.2.3 康托引入超限序數 246
7.2.4 公理化之路 254
7.2.5 集合論語言：形式規則、形式語義以及形式判斷 256
7.2.6 無窮集合存在性 259
7.2.7 笛卡爾乘積以及交、并、差運算 268
7.2.8 函數概念以及等價關系概念 271
7.2.9 集合之勢比較與等勢 274
7.3 有限數的集合表示 275
7.3.1 自然數大小比較 275
7.3.2 有限集合 276
7.3.3 自然數平面之序與勢 278
7.3.4 遞歸定義 280
7.3.5 自然離散線性序表示定理 282
7.3.6 自然數算術 285
7.3.7 整數及其算術 286
7.3.8 有理數算術及其線性序 287
7.3.9 有理數基本序列 289
7.3.10 實數有序域 291
7.3.11 希爾伯特關于實數概念 298
7.4 秩序與序數 301
7.4.1 秩序集合 302
7.4.2 序數 303
7.4.3 秩序典型代表問題 306
7.4.4 序數算術 309
7.4.5 秩序化問題 313
7.4.6 集合論論域累積層次 314
7.4.7 集合論公理體系 ZFC 315
7.4.8 基數 315
7.4.9 基數之和與積 319
第 8 章 無窮小量 321
8.1 無窮小量與非標準實數軸 321
8.2 非標準實數軸的超冪構造 324
8.2.1 自然數集合上的超濾子 324
8.2.2 實數軸的一個超冪 325
8.2.3 自然數算術非標準模型 328
索引 330
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