《數學分析講義》（上、下冊）是作者在中國科學院大學授課期間編寫的，講義內容主要參考了華東師范大學數學系編寫的《數學分析》，以及國內外一些優秀的教材，并在此基礎上作了一些補充。講義注重分析的幾何直觀性、理論的嚴謹和系統性、應用的深入性，以及與后續學科的銜接性。
國家自然科學基金委重點項目, 編號11431014，負責人
國家自然科學基金委, 重大項目的子課題，負責人
目錄
前言
第1章 實數與函數 1
1.1 集合 1
1.2 映射 3
1.2.1 映射概念 3
1.2.2 映射分類 3
1.2.3 集合的勢 4
1.3 實數 4
1.3.1 實數的產生 4
1.3.2 無理數逼近 5
1.3.3 公理化定義 7
1.3.4 基本實數子集 8
1.3.5 區間和鄰域 14
1.3.6 確界原理 15
1.4 函數 18
1.4.1 函數概念 18
1.4.2 四則運算 19
1.4.3 反函數 19
1.4.4 復合函數 20
1.5 函數的簡單分類 21
1.5.1 初等函數 21
1.5.2 其他函數 23
1.6 函數的某些特征 25
1.6.1 單調性 25
1.6.2 有界性 26
1.6.3 奇偶性 26
1.6.4 周期性 27
第2章 數列極限 28
2.1 數列極限概念及性質 28
2.1.1 數列極限概念 28
2.1.2 數列極限性質 31
2.1.3 兩個判別方法 34
2.1.4 數列上（下）極限 41
2.2 實數域的基本性質 50
2.2.1 閉區間套定理 50
2.2.2 緊致性定理 51
2.2.3 柯西收斂準則 52
2.2.4 有限覆蓋定理 53
2.2.5 基本性質等價 54
2.3 數項級數 58
2.3.1 數項級數概念和性質 58
2.3.2 正項級數收斂判別法 62
2.3.3 一般級數收斂判別法 72
2.3.4 絕對和條件收斂級數 79
第3章 函數極限 85
3.1 函數極限概念.85
3.2 函數極限性質.93
3.3 兩個判別定理.95
3.4 函數上（下）極限 100
3.5 無窮小（大）量 103
3.5.1 無窮小（大）量概念 103
3.5.2 無窮小量階的比較 103
3.5.3 無窮小量計算極限 104
第4章 連續函數 108
4.1 連續函數的概念 108
4.1.1 連續函數的定義 108
4.1.2 間斷點及其分類 110
4.2 連續函數的性質 113
4.2.1 連續函數的基本性質 113
4.2.2 閉區間上連續函數性質 115
4.2.3 有界區間上一致連續性 121
第5章 一元函數微分學 127
5.1 導數的概念 127
5.1.1 導數及單側導數定義 127
5.1.2 基本初等函數的導數 130
5.2 導數的運算 133
5.2.1 導數四則運算 133
5.2.2 復合函數求導 134
5.2.3 隱函數求導法 137
5.2.4 反函數的導數 137
5.3 導數的應用 139
5.3.1 確定曲線的切線 139
5.3.2 應用于實際問題 143
5.4 高階導數 149
5.4.1 高階導數及運算 149
5.4.2 求高階導數技巧 151
5.5 微分.155
5.5.1 微分概念和運算 155
5.5.2 應用于近似計算 158
5.5.3 高階微分 159
第6章 微分中值定理及泰勒公式 162
6.1 微分中值定理 162
6.2 洛必達法則 173
6.3 泰勒公式 181
6.3.1 佩亞諾型 182
6.3.2 拉格朗日型 187
6.3.3 典型應用 192
第7章 函數性質分析的導數方法 197
7.1 函數的局部極值 197
7.2 函數的全局最值 201
7.2.1 基本求法 201
7.2.2 實際應用 202
7.2.3 建立不等式 206
7.3 函數的凸性 210
7.3.1 凸函數的概念 210
7.3.2 凸函數的性質 215
7.4 函數的近似圖像 222
7.4.1 函數的漸近線 222
7.4.2 近似圖像制作 224
7.5 方程解的圖像 229
7.5.1 簡單自治微分方程解圖像 229
7.5.2 源于實際的自治微分方程 232
7.6 方程的近似解——牛頓法簡介 237
第8章 微分逆運算 241
8.1 不定積分概念和性質 241
8.1.1 原函數 241
8.1.2 不定積分 242
8.2 不定積分的三種求法 245
8.2.1 湊微分法 245
8.2.2 變量替換法 247
8.2.3 分部積分法 251
8.3 特殊函數的不定積分 255
8.3.1 有理分式 255
8.3.2 三角有理式 262
8.3.3 簡單無理式 263
8.4 求解簡單的微分方程 266
8.4.1 可變量分離方程 268
8.4.2 一階常微分方程 270
8.4.3 熱方程 271
第9章 一元函數積分學 274
9.1 定積分的概念 274
9.2 定積分存在的充分必要條件 277
9.2.1 達布上（下）和 277
9.2.2 可積的充分必要條件 279
9.2.3 勒貝格定理 283
9.2.4 可積函數類 287
9.3 定積分的基本性質 289
9.4 牛頓–萊布尼茨公式 299
9.5 換元法和分部積分法309
9.6 積分中值定理及泰勒公式 317
9.6.1 定積分的中值定理 317
9.6.2 積分余項泰勒公式 325
第10章 典型問題的定積分計算 328
10.1 定積分在幾何中的應用 328
10.1.1 平面圖形的面積 328
10.1.2 由截面面積求體積 335
10.1.3 曲線的弧長和曲率 338
10.1.4 旋轉立體的側面積 354
10.2 定積分在物理中的應用 356
10.2.1 質心計算 356
10.2.2 形心計算 358
10.2.3 壓力計算 360
10.2.4 引力計算 361
10.2.5 做功計算 363
10.3 定積分的近似計算 365
10.3.1 一階誤差近似——矩形法 365
10.3.2 二階誤差近似——梯形法 366
10.3.3 三階誤差近似——辛普森法 367
10.3.4 高階誤差近似——高斯-勒讓德積分公式 368
第11章 反常積分.370
11.1 反常積分概念和基本計算 371
11.1.1 無界區間上的積分 371
11.1.2 無界函數的積分（瑕積分） 372
11.1.3 反常積分的收斂準則 374
11.1.4 反常積分的簡單計算 375
11.2 非負函數反常積分判別法 380
11.2.1 無界區間反常積分的比較判別法 380
11.2.2 瑕積分的比較判別法 382
11.3 一般函數反常積分判別法 389
11.3.1 無界區間反常積分判別法 389
11.3.2 瑕積分判別法 392
11.4 反常積分與數項級數收斂 393
參考文獻 398
新書資訊