本套書是大學“高等代數”課程的輔導教材,是作者從事教學、科研工作38年的經驗和心得的結晶,也是作者在北京大學進行“高等代數”課程建設和教學改革的成果。本套書按照數學思維方式編寫,著重培養數學思維能力,內容豐富、全面、深刻,闡述清晰、詳盡、嚴謹,可以使讀者在高等代數理論上和科學思考能力上都達到相當的高度。
本套書以研究線性空間和多項式環的結構及其態射(線性映射,多項式環的通用性質)為主線,遵循高等代數知識的內在規律和學生的認知規律安排內容結構。上冊內容包括線性方程組,行列式,n 維向量空間Kn,矩陣的運算,歐幾里得空間Rn,矩陣的相抵和相似,以及矩陣的合同與二次型。下冊內容包括一元和n 元多項式環,環和域的概念;域上的線性空間,線性映射(包括線性變換和線性函數);具有度量的線性空間(歐幾里得空間、酉空間、正交空間和辛空間)及其上的線性變換(正交變換、對稱變換、酉變換、Hermite變換、辛變換),群的概念(介紹正交群、酉群、辛群);多重線性代數(包括線性空間的張量積,線性空間V 上的張量代數和外代數)。書中每節均包括內容精華、典型例題、習題3部分,每章末(除第11章外)有補充題。下冊總計有1238道題,可從中選擇一部分作為習題課上的題目和課外作業。
本套書可作為綜合大學、高等師范院校和理工科大學的“高等代數”課程的教材,也可作為“高等代數”或“線性代數”課程的教學參考書,是想把高等代數學得更好的學生的必備書籍,也是數學教師和數學工作者高質量的參考書。
《高等代數學習指導書（第二版：下冊）》由全國高等學校首屆**級教學名師傾力打造，是大學“高等代數”課程的輔導教材，包含上、下兩冊，是作者從事教學、科研工作四十余載的經驗和心得的結晶，也是作者在北京大學進行高等代數課程建設和教學改革的成果。
丘維聲，北京大學數學科學學院教授、博士生導師、全國高等學校第一屆**級教學名師；美國數學會《Mathematical Reviews》評論員，中國數學會組合數學與圖論專業委員會首屆常務理事，教育部高等學校數學與力學教學指導委員會（第*、二屆）委員。1966年畢業于北京大學數學力學系。
從事代數組合論、群表示論、密碼學的研究，在國內外學術刊物上發表科學研究論文46篇。承擔國家自然科學基金重點項目2項，主持國家自然科學基金面上項目3項。
丘維聲教授獲全國高等學校第一屆**級教學名師獎，三次被評為北京大學*受學生愛戴的十佳教師，獲北京市高等學校教學成果一等獎、寶鋼教育獎優秀教師特等獎、北京大學楊芙清-王陽元院士教學科研特等獎，被評為北京市科學技術先進工作者、全國電視大學優秀主講教師，三次獲北京大學教學優秀獎等。
第7章 一元和n元多項式環……………………………………………………………… 1
7.1 一元多項式環……………………………………………………………………… 1
7.2 整除關系,帶余除法……………………………………………………………… 13
7.3 最大公因式……………………………………………………………………… 22
7.4 不可約多項式,唯一因式分解定理……………………………………………… 37
7.5 重因式…………………………………………………………………………… 43
7.6 一元多項式的根,復數域上的不可約多項式…………………………………… 49
7.7 實數域上的不可約多項式,實系數多項式的實根……………………………… 68
7.8 有理數域上的不可約多項式…………………………………………………… 79
7.9 n元多項式環…………………………………………………………………… 95
7.10 n元對稱多項式……………………………………………………………… 109
*7.11 結式…………………………………………………………………………… 127
7.12 域與域上的一元多項式環…………………………………………………… 142
補充題七……………………………………………………………………………… 169
第8章 線性空間………………………………………………………………………… 173
8.1 域F 上線性空間的基與維數………………………………………………… 174
8.2 子空間及其交與和,子空間的直和…………………………………………… 222
8.3 域F 上線性空間的同構……………………………………………………… 258
8.4 商空間…………………………………………………………………………… 275
補充題八……………………………………………………………………………… 284
第9章 線性映射………………………………………………………………………… 287
9.1 線性映射及其運算……………………………………………………………… 287
9.2 線性映射的核與象……………………………………………………………… 305
9.3 線性映射和線性變換的矩陣表示……………………………………………… 316
9.4 線性變換的特征值和特征向量,線性變換可對角化的條件………………… 346
9.5 線性變換的不變子空間,Hamilton—Cayley定理……………………………… 367
9.6 線性變換和矩陣的最小多項式………………………………………………… 392
9.7 冪零變換的Jordan標準形…………………………………………………… 418
9.8 線性變換的Jordan標準形…………………………………………………… 432
*9.9 線性變換的有理標準形………………………………………………………… 466
9.10 線性函數與對偶空間………………………………………………………… 496
補充題九……………………………………………………………………………… 516
第10章 具有度量的線性空間…………………………………………………………… 519
10.1 雙線性函數…………………………………………………………………… 519
10.2 歐幾里得空間………………………………………………………………… 563
10.3 正交補,正交投影……………………………………………………………… 594
10.4 正交變換與對稱變換………………………………………………………… 609
10.5 酉空間,酉變換,Hermite變換,正規變換…………………………………… 636
*10.6 正交空間與辛空間…………………………………………………………… 698
*10.7 正交群,酉群,辛群…………………………………………………………… 721
補充題十……………………………………………………………………………… 737
*應用天地:酉空間在量子力學中的應用……………………………………………… 738
*第11章 多重線性代數………………………………………………………………… 773
11.1 多重線性映射………………………………………………………………… 773
11.2 線性空間的張量積…………………………………………………………… 781
11.3 張量代數……………………………………………………………………… 803
11.4 外代數………………………………………………………………………… 810
*應用天地:張量積在量子隱形傳態中的應用………………………………………… 826
習題答案與提示…………………………………………………………………………… 833
第7章 一元和n元多項式環……………………………………………………… 833
第8章 線性空間…………………………………………………………………… 860
第9章 線性映射…………………………………………………………………… 882
第10章 具有度量的線性空間……………………………………………………… 934
參考文獻…………………………………………………………………………………… 969
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