H?lder不等式在數學的眾多分支中扮演著重要的角色, 并且在統計學、管理學等領域也有著廣泛的應用. 《H?lder不等式及其應用》的目的就是介紹Holder不等式的近期發展概況, 內容包括5章. 第1-3章介紹了H?lder不等式的推廣、改進和一些性質；第4章介紹了H?lder不等式在Aczel型不等式的推廣和改進中的應用；第5章給出了H?lder 不等式在統計學和管理學中的兩個應用.
《H?lder不等式及其應用》的讀者對象為高等院校數學及相關專業高年級本科生、研究生，也可供相關專業的教師和數學工作者參考.
眾所周知，H?lder不等式在現代數學的很多分支中都扮演著重要的角色，如實分析和復分析、概率論和數理統計、模糊積分、微分方程、算子理論等。著名數學家Hardy、Littlewood及Polya在其名著《不等式》中再三強調H?lder不等式“極為重要”和“到處都要用到”。近年來關于H?lder不等式的研究又有了新的重要的進展，《H?lder不等式及其應用》介紹H?lder不等式的近期的發展概況，包括H?lder不等式的新的推廣、本質的改進、新的重要的性質以及它在統計學和管理學中的應用等研究成果，是一本不可多得的關于不等式的數學專著。
前言
經典的 H¨older不等式是數學家 H¨older于 1889年給出的如下形式的不等式：
nn)1 n)1
pq
去arbr（去pr（去 bqr,
山a
r=1 r=1 r=1
其中 ar,br》 0(r =1, 2, ··· ,n), p》 q> 1, 1 p +1 q =1 (當 ar,br > 0,r =
1, 2, ··· ,n,0
眾所周知， H¨older不等式在現代數學的很多分支中都扮演著重要的角色，如實分析和復分析、概率論和數理統計、模糊積分、微分方程、算子理論等 .甚至有的學者稱其為“數學眾多領域的基石”“深入解決問題的橋梁” .著名數學家 Hardy、Littlewood及 Polya在其名著《不等式》中再三強調 H¨older不等式“極為重要”和“到處都要用到”，這個不等式和 Minkowski不等式、算術平均與幾何平均不等式構成了該名著中前 6章的主題，占了全書一半以上的篇幅 .一百多年來，出現了大量的關于這個不等式的改進、推廣以及應用的文獻 [37].
近期對于 H¨older不等式的研究又有了新的重要的進展，主要體現在以下幾個方面：
一是 H¨older不等式在新興數學領域的推廣 .如 Wong等 [86]給出了時標理論的 H¨older不等式的 Δ積分形式, O¨zkan等 [49]給出了 H¨older不等式的 V積分形式以及。積分形式 , Yang[93]、Chen和 Chen[14]分別給出了上述結果在時標理論中的函數推廣形式；劉寶碇 [27]給出了 H¨older不等式在不確定理論中的形式； Wu等 [88]給出了 H¨older不等式關于 Sugeno積分的形式， Agahi等 [3]給出了 H¨older不等式關于偽積分的形式； Falconer[16]給出了關于正則根樹的 H¨older不等式等.這些新的推廣不僅具有重要的理論意義和應用價值，而且很多都已成為各自領域的基石.
二是 H¨older不等式的改進 .盡管 H¨older不等式在數學的眾多領域中都起著重要的作用，但是有些問題用 H¨older不等式估計時往往得不到較為精確的
刻畫.例如,設 a2r = b2r.1 =1,a2r.1 = b2r =0,r =1, 2, ··· ,N, n =2N,
顯然 藝narbr =0，而此時 H¨older不等式的右端卻是 N，與 0相差甚遠 [30]！基
r=1
于此，給出 H¨older不等式及推廣的 H¨older不等式的本質改進具有重要的意義，本書作者得到了 H¨older不等式及推廣的 H¨older不等式的一系列重要的改進，這些改進不僅是本質的，而且形式上還是簡潔的、精美的 .
三是關于 H¨older不等式的性質的研究又有了新的進展 .如本書作者給出了一系列推廣的 H¨older不等式構成的函數的單調性 .由這些性質不僅可以得到 H¨older不等式及推廣的 H¨older不等式的新的改進，而且還有其他的重要意義.如在 1996年，胡克利用類似的單調性解決了著名的 Opial-華羅庚型積分不等式的精確表示式問題.
四是關于 H¨older不等式及推廣的 H¨older不等式的應用的研究又有了新的進展.
本書出版的目的就是對 H¨older不等式近期的發展進行系統的總結 .除了系統地介紹國內外學者對 H¨older不等式的研究成果外，著重敘述本書作者的一系列已公開發表或已投稿尚未公開發表的研究成果.
本書的內容安排如下：第 1章, H¨older不等式的推廣，主要介紹 H¨older不等式在實分析中的推廣、在 Sugeno積分和偽積分中的推廣、在時標理論中的推廣以及在矩陣論中的推廣形式等；第 2章, H¨older不等式的改進，主要介紹 H¨older不等式及推廣的 H¨older不等式的一系列的新的本質的改進；第 3章,實分析中推廣的 H¨older不等式構成的函數的單調性，主要介紹 n維 H¨older不等式、指數一般化的 H¨older不等式構成的函數的單調性；第 4章, H¨older不等式在 Acz′el型不等式的推廣和改進中的應用，主要介紹 H¨older不等式在實分析中對 Acz′el型不等式的多種推廣和改進中的應用；第 5章, H¨older不等式在統計學和管理學中的應用，主要介紹 H¨older不等式在統計學中 k階記錄值預測上的應用和管理學中不完全市場下效用最大問題的解的應用.
本書的出版得到了國家自然科學基金 (編號：60773062; 61073121)、河北省應用基礎研究計劃重點基礎研究項目 (編號：16964213D)、河北省自然科學基金 (編號： F2015402033)和中央高校基本科研業務費重點項目 (編號： 2015ZD29)的資助，特此致謝 .
由于作者水平有限，不妥與疏漏之處在所難免，懇請同仁及讀者不吝賜教 .
田景峰哈明虎
2017年 12月
收起全部↑
田景峰， 河北省安新縣人，華北電力大學教師。主要從事解析不等式、模糊測度與積分、不確定統計學習理論、不動點理論的研究。在《Information Sciences》、《Fuzzy Optimization and Decision Making》、《Mathematical Inequalities and Applications》、《Journal of Mathematical Inequalities》等知名國際期刊上發表學術論文40余篇，其中SCI收錄近30篇。榮獲河北省優秀教學成果三等獎、保定市大中專院校青年教師說課比賽一等獎、華北電力大學青年教師教學基本功大賽一等獎、河北省大學生數學競賽優秀指導教師、保定市青年科技獎等榮譽稱號。哈明虎，男，河北肅寧人，教授，博士生導師，“新世紀百千萬人才工程”*家級人選，省管優秀專家，享受國務院政府特殊津貼�，F主要從事應用數學、信息科學與經濟管理等多學科交叉的不確定性信息處理、統計預測與決策和統計學習理論等方向的研究，先后在國內外學術雜志、國際會議論文集上正式發表學術論文百余篇，其中SCI、EI檢索論文70余篇；著作4部。曾主持完成國家自然科學基金2項；中國博士后科學基金1項，省級項目2項；曾主研完成國家自然科學基金2項�，F主持國家自然科學基金1項，教育部科學技術研究重點項目1項，省級項目2項。先后榮獲省級科研獎勵一、三等獎5項，省級教學獎勵一、二等獎2項，河北省思想政治工作創新獎一等獎1項。
第 1章 H¨older不等式的推廣 1
1 1實分析中 H¨older不等式的推廣 3
1 2 H¨older不等式在 Sugeno積分和偽積分中的推廣 7
1 2 1關于 Sugeno積分的 H¨older不等式 7
1 2 2關于偽積分的 H¨older不等式 10
1 3 H¨older不等式的時標形式 20
1 4 PMa,b空間的 H¨older型不等式 49
1 5關于矩陣的和與乘積的 H¨older不等式形式 51
第 2章 H¨older不等式的改進 58
2 1 H¨older不等式的第一種改進 58
2 2 H¨older不等式的第二種改進 69
2 3 H¨older不等式的第三種改進 77
2 4 H¨older不等式的第四種改進 99
第 3章實分析中推廣的 H¨older不等式構成的函數的單調性 124
3 1 n維 H¨older不等式構成的函數的單調性 127
3 2指數一般化的 H¨older不等式構成的函數的單調性 133
第 4章 H¨older不等式在 Acz′el型不等式的推廣和改進中的應用 144
4 1在 Acz′el型不等式的第一種推廣和改進中的應用 146
4 2在 Acz′el型不等式的第二種推廣和改進中的應用 154
4 3在 Acz′el型不等式的第三種推廣和改進中的應用 158
4 4在 Acz′el型不等式的第四種推廣和改進中的應用 168
4 5在 Acz′el型不等式的第五種推廣和改進中的應用 176
4 6在 Acz′el型不等式的第六種推廣和改進中的應用 190
第 5章 H¨older不等式在統計學和管理學中的應用 194
5 1 H¨older不等式在統計學中的應用 194
5 2 H¨older不等式在管理學中的應用 200
參考文獻 210
第1章 Holder不等式的推廣
自從 H¨older給出 H¨older不等式以來 ,出現了大量的關于這個不等式的推廣.本章并不想把所有的結果都羅列出來 ,只想給出 H¨older不等式的最新的重要的推廣 .因而本章給出的關于 H¨older不等式的推廣的成果 ,并不能涵蓋目前關于 H¨older不等式研究的全部成果 ,關于 H¨older不等式的其他的推廣 ,讀者可以參考相關文獻 [34,39,44,48].
為了方便讀者,首先給出本書中經常用到的一些基本的不等式.
定理 1.0.1 (Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz不等式 )設 ar,br(r =1, 2,··· ,
n)為實數,則
n2
（叫 2叫（ n叫
＼（ nb2
立arbr立a 立 . (1.1)
rrr=1 r=1 r=1
定理 1.0.2 (H¨older不等式 )如果 ar,br》 0(r =1, 2, ··· ,n), p》 q> 1, 11
p + q = 1,則
1
p
n
（ np叫（ n叫
立＼立a立bq
arbrrrr=1 r=1 r=1
1
q
,
(1.2)
如果 ar,br > 0(r =1, 2, ··· ,n), 0
反向.
相應的積分型 H¨older不等式如下面定理所述：
定理1.0.3設 f(x),g(x)》 0.如果 p》 q> 1, 1+1 =1,則
pq
1
p
. f(x)g(x)dx＼（. fp(x)dx叫 （. gq(x)dx叫
1
q
; (1.3)
1r
如果 p> 0,q < 0, 1 p +1 q = 1,則有反向不等式
pq
f(x)g(x)dx》（ fp(x)dx叫（ gq(x)dx叫 , (1.4)
1
此時要求 f(x),g(x) > 0.
……
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