《矩陣理論及方法》介紹在工程實際中有應用價值的矩陣理論與方法。全書共7章，內容包括：線性空間與線性變換，矩陣的變換和分解，矩陣范數及其應用，矩陣分析，特征值的估計及對稱矩陣的極性，幾類特殊矩陣，矩陣的廣義逆與直積及其應用。《矩陣理論及方法》內容豐富、闡述簡明、推導嚴謹，為了便于讀者學習，各章結合內容配備了一定數量的例題、習題，并在書后附有習題答案與提示。
《矩陣理論及方法》可作為理工科院校各專業研究生的教材，也可作為理工科和師范類院校高年級本科生的選修課教材，并可供有關專業的教師和工程技術人員參考。
前言
第1章 線性空間與線性變換
1.1 線性空間
1.1.1 線性空間的概念及基本性質
1.1.2 基、維數與坐標
1.1.3 基變換與坐標變換
1.2 線性子空間
1.2.1 子空間的概念
1.2.2 子空間的維數與基
1.2.3 子空間的交與和
1.2.4 子空間的直和與補子空間
1.3 線性變換及其矩陣
1.3.1 線性變換的概念
1.3.2 線性變換的運算
1.3.3 線性變換的矩陣表示
1.4 與線性變換有關的子空間
1.4.1 線性變換的值域與核
1.4.2 線性變換的不變子空間
1.4.3 特征值與特征向量
1.4.4 最小多項式
1.5 歐幾里得空間與酉空間
1.5.1 歐幾里得空間的定義與性質
1.5.2 標準正交基
1.5.3 正交變換與正交矩陣
1.5.4 對稱變換與對稱矩陣
1.5.5 酉空間介紹
習題1
第2章 矩陣的變換與分解
2.1 酉變換與酉矩陣
2.1.1 酉等價
2.1.2 Givens變換與Householder變換
2.2 Jordan標準形與譜分解
2.2.1 Jordan標準形
2.2.2 譜分解
2.3 Schur分解與正規矩陣
2.3.1 Schur分解
2.3.2 正規矩陣
2.4 Gauss變換與三角分解
2.4.1 Gauss變換
2.4.2 Gauss消元與三角分解
2.4.3 常用的直接三角分解法
2.5 QR分解
2.5.1 QR分解的概念
2.5.2 QR分解的實際求法
2.5.3 基于QR分解的參數估計問題
2.5.4 矩陣與Hessenberg矩陣的正交相似問題
2.6 最大秩分解
2.7 奇異值分解
習題2
第3章 矩陣范數及其應用
3.1 向量范數
3.2 矩陣范數
3.2.1 矩陣范數的定義與性質
3.2.2 算子范數
3.3 譜范數的性質和譜半徑
3.4 矩陣的逆和線性方程組解的誤差——范數的應用
3.4.1 矩陣的非奇異性條件
3.4.2 逆矩陣的擾動
3.4.3 誤差分析與病態方程組
習題3
第4章 矩陣分析
4.1 向量序列與矩陣級數
4.1.1 向量序列的極限
4.1.2 矩陣級數
4.2 矩陣函數
4.2.1 矩陣函數的定義與性質
4.2.2 矩陣函數值的求法
4.3 矩陣的微積分
4.3.1 函數矩陣對實變量的導數
4.3.2 函數矩陣對實變量的積分
4.3.3 矩陣特殊的導數
4.3.4 矩陣的全微分
4.4 矩陣函數的一些應用
4.4.1 一階常系數齊次線性微分方程組的解
4.4.2 一階常系數非齊次線性微分方程組的解
習題4
第5章 特征值的估計及對稱矩陣的極性
5.1 可約矩陣與對角占優矩陣
5.2 特征值的估計
5.2.1 特征值的界
5.2.2 特征值的包含范圍與譜半徑的估計
5.2.3 擾動理論中的特征值估計
5.3 對稱矩陣特征值的極性
5.3.1 實對稱矩陣的Rayleigh商的極性
5.3.2 矩陣奇異值的極小極大性質
習題5
第6章 幾類特殊矩陣
6.1 非負矩陣
6.1.1 Perron-Frobenius定理
6.1.2 非負矩陣譜半徑的界
6.1.3 本原矩陣與循環矩陣
6.2 隨機矩陣與雙隨機矩陣
6.3 M矩陣與Stieltjes矩陣
6.3.1 M矩陣
6.3.2 Stieltjes矩陣
6.4 廣義對角占優矩陣
6.5 Toeplitz矩陣與Hankel矩陣
習題6
第7章 矩陣的廣義逆與直積及其應用
7.1 矩陣的幾種廣義逆
7.1.1 廣義逆矩陣的基本概念
7.1.2 減號逆
7.1.3 自反減號逆A-r
7.1.4 極小范數廣義逆A-m
7.1.5 最小二乘廣義逆A-l
7.1.6 加號逆A+
7.2 廣義逆與線性方程組的解
7.2.1 相容方程組的通解與減號逆A-
7.2.2 相容方程組的極小范數解與廣義逆A-m
7.2.3 矛盾方程組的最小二乘解與A-1
7.2.4 矛盾方程組的極小范數最小二乘解與A+
7.3 矩陣的直積及其應用
7.3.1 直積的概念
7.3.2 直積的性質
7.3.3 線性矩陣方程的可解性
習題7
習題答案與提示
參考文獻
第1 章線性空間與線性變換
線性空間與線性變換是學習矩陣理論時經常用到的兩個極其重要的概念,它們是研究物理、力學中滿足疊加原理的系統的數學模型.線性空間是對集合的元素在線性運算方面所表現的共性加以概括而形成的新概念.線性變換則是用來研究線性空間的元素之間的聯系.本章論述這兩個概念及其有關理論.所有論述是在假定讀者已經具備線性代數初步知識基礎上進行的.
1.1 線性空間
1.1.1 線性空間的概念及基本性質
1. 線性空間
線性空間是n維向量空間概念的抽象和推廣,為了便于理解這個抽象概念,先回憶一下n維向量空間中的向量在加法及數與向量的乘法方面的運算性質.
在n維向量空間Rn = {(a1,a2,??? ,an)|ai ∈ R} 中,向量x=(x1,x2,??? ,xn),
y=(y1,y2,,yn)定義的加法和數量乘法為
???
(x1,x2,,xn)+(y1,y2,,yn)=(x1+y1,x2+y2,,xn+yn),
?????????
k(x1,x2,,xn)=(kx1,kx2,,kxn),
??????
它們對向量的加法及數與向量乘法是封閉的(指運算結果都是Rn 中的向量).
考慮全體定義在區間[a,b]上的連續函數集合,由于連續函數的和是連續函數,連續函數與實數的數量乘積還是連續函數.它們的加法運算和數乘運算都滿足下列定義中的8條性質.
定義1.1.1設V是一個非空集合,P是一個數域,在集合V的元素之間定義了一種運算,稱為加法：即對于V中任意兩個元素α與β,在V中都有唯一的一個元素γ與之對應,稱為α與β的和,記為γ=α+β.在數域P與集合V中的元素之間還定義了一種運算,稱為數量乘法：即對于數域P中任一數k與集合V中任一元素α,在V中都有唯一的一個元素δ與它們對應,稱為k與α的數量乘積,記為δ=kα,如果兩種運算滿足如下性質：
(1) 加法交換律, .α, β ∈ V 有α + β = β + α;
(2) 加法結合律, .α, β, γ ∈ V,有(α+β)+γ=α+(β+γ);
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