第 1 章 線性方程組與消元法
線性方程組是線性代數的重要研究對象, 消元法是求解線性方程組最基本的方
法. 學習線性代數, 首先從消元法開始.
1.1 線性方程組簡介
所謂線性方程是指未知量的次數都是一次的方程, 線性方程組就是有限個線性方
程的群組, 如
8>
>>><>
>>>:
2x1 + 3x2 + 4x3 = 5;
1
2x1 +
1
4x3 =
1
5;
8x1 . 2x2 + 7x3 = 6;
( 3x + 4y + 5z = 6;
6x . 8y + 9z = 0:
一般的n 元線性方程組可表示為
8>
>>><>
>>>:
a11x1 + a12x2 +￠ ￠ ￠+ a1nxn = b1;
a21x1 + a22x2 +￠ ￠ ￠+ a2nxn = b2;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
am1x1 +am2x2 +￠ ￠ ￠+amnxn =bm;
(I)
其中 x1; x2; ￠ ￠ ￠ ; xn 是未知量, aij 和 bi 都是數, 稱 aij 是 xj 的系數, b1;b2; ￠ ￠ ￠ ; bm 是
常數項.
m 可以等于 n, 也可以大于或小于 n. 我們約定：系數為 0 的項可以不寫.
一組數 (c1; c2; ￠ ￠ ￠ ; cn) 稱為線性方程組 (I) 的解, 如果用 x1 = c1; x2 = c2; ￠￠ ￠ ;
xn = cn 代入 (I), 則 (I) 的每個式子都成為恒等式.
例如, (.18; 0; 12) 是線性方程組
( 3x1 + 4x2 + 5x3 = 6;
6x1 + 8x2 + 9x3 = 0
的一個解.
一個線性方程組可以有解, 也可以沒有解, 可能只有一個解, 也可能有無窮多個
解. 例如, 線性方程組
(2x + 3y = 1;
2x + 3y = 2
顯然沒有解, 而線性方程組
(2x + 3y = 1;
4x + 6y = 2
則有無窮多個解, 因為, 對任意數 c, μ1 . 3c
2 ; c. 都是它的解.
稱兩個線性方程組是同解的, 如果它們的解的集合相等. 求解線性方程組的過程
就是逐步找出與之同解的且更易于求解的線性方程組的過程. 顯然, 最容易求解的線
性方程組是 8>
>>><>
>>>:
x1 =c1;
x2 =c2;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
xn =cn;
它有唯一解 (c1; c2; ￠ ￠ ￠ ; cn). 稍微復雜一點的下列形式的線性方程組也是容易求解的：
8>
>>><>
>>>:
a11x1 + a12x2 + ￠ ￠ ￠ + a1nxn = b1;
a22x2 + ￠ ￠ ￠ + a2nxn = b2;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
annxn = bn;
其中 aii 6= 0; i = 1; 2; ￠ ￠ ￠ ; n, 由最后一個方程解得 xn = bn
ann
, 代入倒數第二個方程解
得 xn.1 = bn.1
an.1;n.1 .
an.1;nbn
an.1;n.1ann
, 如此繼續下去即可求得方程組的唯一解. 更一般
地, 下面的稱為階梯形的線性方程組也是立即可以知道其解的情況的：
8>
>>>>>>>>>>>>><>
>>>>>>>>>>>>>:
a11x1+a12x2 + ￠ ￠ ￠ + a1nxn =b1;
a22x2 + ￠ ￠ ￠ + a2nxn =b2;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
arrxr + ￠ ￠ ￠ + arnxn =br;
0=br+1;
0=0;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
0=0;
(II)
其中 aii 6= 0; i = 1; 2; ￠ ￠ ￠ ; r, 其解的情況為：
(1) 方程組 (II) 有解的充分必要條件是 br+1 = 0;
(2) 方程組 (II) 有唯一解的充分必要條件是 br+1 = 0 且 r = n, 此時, 其唯一解由
上面的形式給出;
(3) 方程組 (II) 有無窮多個解的充分必要條件是 br+1 = 0 且 r < n, 此時, 當未知
量 xr+1; ￠ ￠ ￠ ; xn 任取一組數 (cr+1; ￠ ￠ ￠ ; cn) 時, 代入 (II) 即可唯一地解出x1; x2; ￠ ￠ ￠ ; xr.
所以, 稱 xr+1; ￠ ￠ ￠ ; xn 為自由未知量. 這樣的解的表達式稱為方程組 (II) 的一般解.
上面的階梯形方程組 (II) 是以最后 n . r 個未知量 xr+1; ￠ ￠ ￠ ; xn 為自由未知量,
有時自由未知量不一定出現在最后, 這樣的方程組也稱為是階梯形的, 例如, 下面的
線性方程組也是階梯形的, x2 是自由未知量：
( 2x1 + 3x2 + x3 = 1;
x3 = 1:
也就是說, 方程組 (II) 的每個臺階都是一步, 而一般的階梯形的臺階可能不止一步, 只
要認清自由未知量, 一般的階梯形的線性方程組的解的情況與方程組 (II) 的解的情況
是類似的.
但是, 為了書寫簡單, 我們一般都假設階梯形方程組的自由未知量都出現在最后.
由于階梯形線性方程組總是可以求解的, 所以我們的問題是, 如何把一個線性方
程組化成一個與之同解的階梯形線性方程組. 1.2 節的高斯消元法提供了一個有效的
方法.
1.2 線性方程組的初等變換與高斯消元法
線性方程組的初等變換是可以把線性方程組變成同解的線性方程組的一種變換,
是求解線性方程組的一個基本的、有效的方法.
線性方程組的初等變換是指下列三類變換：
(1) 用一個非零數乘方程組中的某一個方程;
(2) 交換方程組中的某兩個方程;
(3) 把方程組中的一個方程的某個倍數加到另一個方程上去.
定理 1.2.1 對線性方程組作初等變換后得到的方程組與原方程組同解.
證明 設線性方程組為
8>
>>><>
>>>:
a11x1+ a12x2 + ￠ ￠ ￠ + a1nxn =b1;
a21x1+ a22x2 + ￠ ￠ ￠ + a2nxn =b2;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
am1x1+am2x2 + ￠ ￠ ￠ + amnxn =bm:
(I)
(1) 用一個非零數 c 乘方程組 (I) 中的某一個方程, 例如乘第一個方程, 得方程組
8>
>>>><>
>>>>:
ca11x1+ca12x2 + ￠ ￠ ￠+ca1nxn = cb1;
a21x1+ a22x2 + ￠ ￠ ￠+ a2nxn = b2;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
am1x1+ am2x2 + ￠ ￠ ￠+ amnxn = bm:
(II)
顯然 (I) 與 (II) 同解.
(2) 交換方程組 (I) 中的某兩個方程的位置, 不妨設交換前兩個方程的位置, 得方
程組
8>
>>>>>>>><>
>>>>>>>>:
a21x1+ a22x2 + ￠ ￠ ￠+ a2nxn = b2;
a11x1+ a12x2 + ￠ ￠ ￠+ a1nxn = b1;
a31x1+ a32x2 + ￠ ￠ ￠+ a3nxn = b3;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
am1x1+am2x2 + ￠ ￠ ￠+amnxn = bm:
(III)
易見 (I) 與 (III) 也同解.
(3) 把方程組 (I) 中的一個方程的某個倍數加到另一個方程上去. 交換方程的位
置, 不妨設, 把第二個方程的 d 倍加到第一個方程上去, 得方程組
8>
>>>><>
>>>>:
(da21 + a11)x1+(da22 + a12)x2 +￠ ￠ ￠ + (da2n + a1n)xn = db2 +b1;
a21x1 +a22x2 + ￠ ￠ ￠ +a2nxn = b2;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
am1x1 +am2x2 + ￠ ￠ ￠ +amnxn = bm:
(IV)
易見 (I) 的解一定是 (IV) 的解. 由于 (I) 可以由 (IV) 把其第二個方程的 .d 倍加到第
一個方程上去來得到, 所以類似地得到 (IV) 的解也一定是 (I) 的解, 因而 (I) 與 (IV)
同解. *
有了這個定理的保證, 我們知道了, 對線性方程組作初等變換既不會丟掉解, 也
不會增加解.
我們的一個直覺是, 線性方程組的變元越少, 這個方程組越好解. 這里的變元少
是指未知量 x1; x2; ￠ ￠ ￠ ; xn 出現在方程組中的總次數少. 事實上, 一個未知量在某個線
性方程組中是否出現是看其系數是否為零. 高斯消元法的基本思想是通過線性方程
組的初等變換把一些系數變成零, 從而使變元減少, 最終化成階梯形線性方程組.
下面, 我們來寫出高斯消元法解線性方程組的步驟.
設線性方程組為
8>
>>><>
>>>:
a11x1+ a12x2 + ￠ ￠ ￠+ a1nxn = b1;
a21x1+ a22x2 + ￠ ￠ ￠+ a2nxn = b2;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
am1x1+am2x2 + ￠ ￠ ￠+amnxn = bm:
交換方程的位置, 不妨設 a11 6= 0. 分別用第一個方程的 .
a21
a11
倍, ￠ ￠ ￠ ;.
am1
a11
倍
加到第二個方程, ￠ ￠ ￠ , 第 m 個方程上去, 得方程組
8>
>>><>
>>>:
a11x1+ a12x2+ a13x3 + ￠ ￠ ￠+ a1nxn = b1;
a022x2+ a023x3 + ￠ ￠ ￠+ a02nxn = b02;
￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠
a0m2x2+a0m3x3 + ￠ ￠ ￠+a0mnxn = b0m:
若 a022; ￠ ￠ ￠ ; a0m2 都為零, 則依次看 a023; ￠ ￠ ￠ ; a0m3 是否都為零. 如果a022; ￠ ￠ ￠ ; a0m2 不全
為零, 則交換方程的順序, 不妨設 a022 6= 0. 類似上面的討論, 如此繼續下去, 最后得到
一個階梯形的線性方程組, 從而可以求得原線性方程組的解.
現在, 來看兩個用高斯消元法解線性方程組的例子.
例 1 解下列線性方程組：
8>
><>
>:
x1 +2x2 + x3 = .1; ①
x1 +3x2 = 3; ②
2x1 +5x2 + x3 = 2; ③
解 ① ￡ (.1) + ②, ① ￡ (.2) + ③ 得
8>
><>
>:
x1 + 2x2 + x3 =.1; ①
x2 . x3 =4; ④
x2 . x3 =4: ⑤
④ ￡ (.1) + ⑤ 得
8>
><>
>:
x1 + 2x2 + x3 =.1; ①
x2 . x3 =4; ④
0=0: ⑥
解得 x1 = .3x3 . 9; x2 = x3 + 4, 因而方程組的一般解是
(.3c . 9; c + 4; c); 其中 c 是任意數: *
例 2 解下列線性方程組：
8>
><>
>:
2x1+5x2.x3 = 3; ①
x1+2x2+x3 = 4; ②
3x1+ 7x2 = 8: ③
解 交換 ①, ② 的順序得
8>
><>
>:
x1+2x2+x3 = 4; ②
2x1+5x2.x3 = 3; ①
3x1+ 7x2 = 8: ③
② ￡ (.2) + ①, ② ￡ (.3) + ③ 得
8>
><>
>:
x1+2x2 +x3 = 4; ②
x2. 3x3 = .5; ④
x2. 3x3 = .4: ⑤
④ ￡ (.1) + ⑤ 得 8>
><>
>:
x1+2x2 +x3 = 4; ②
x2. 3x3 = .5; ④
0= 1: ⑥
所以, 方程組無解.
給定一個線性方程組, 理論上用高斯消元法我們總是可以知道它是否有解, 若有
解還可以求出它的解的. 當未知量的個數不是很多時, 高斯消元法確實是很有效的,
例如在計算機上可以很簡單地實現. 但是, 對未知量的個數很多, 很復雜的線性方程
組, 我們往往難以求出它的解, 只可以對它的解的性質進行一些討論. 這時, 就需要更
高級的工具了.
習題
1. 用消元法解下列線性方程組：
(1) ( 2x .y= 0;
.x+ 2y= 3;
(3)8>
><>
>:
x2 .x3 = 2;
x1 .x2+ 2x3 = .2;
3x1+ 2x2+ 2x3 = 1;
(5)8>
><>
>:
x1+6x2. 4x3 = .1;
2x1 +x3 = 5;
3x1.2x2+ 3x3 = 6;
(2)8>
><>
>:
x1+ 2x2.x3 = 0;
x1 +x2+x3 = 1;
3x1+ 5x2+x3 = 3;
(4)8>><>
>:
x1. 2x2 .x3 = 1;
3x1 .x2. 3x3 = 2;
2x1 +x2. 2x3 = 3;
(6)8>
><>
>:
x1 +x2. 2x3 = 0;
x1. 2x2 +x3 = 0;
.2x1 +x2 +x3 = 0;
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