《高等數學(上冊)》根據高等學校工科類專業本科生的數學基礎課程教學基本要求，以高等教育應用型本科人才培養計劃為標準，結合全國教育科學規劃課題《大學數學與高中新課程標準相銜接的教學模式研究與實踐》（DIA０９０１９９）的研究成果，在充分吸收編者們多年的教學實踐經驗的基礎上編寫而成．《高等數學(上冊)》分上、下兩冊．上冊共５章，主要內容包括：函數極限與連續、一元函數的微分學、一元函數的積分學、常微分方程等內容，并介紹了MATLAB軟件在高等數學中的應用．各章節后配有習題，每章后配有復習題（包括犃基本題和犅拓展題）．
《高等數學(上冊)》可作高等院校尤其是應用型本科院校理工科本科專業的教材，也可以作其他各類院校大學數學課程的教材或教學參考書．
第1章函數、極限與連續1
1.1函數1
1.1.1集合、區間與鄰域1
1.1.2函數概念3
1.1.3初等函數14
1.1.4建立函數關系舉例14
習題1.1 16
1.2數列的極限19
1.2.1數列極限的定義19
1.2.2收斂數列的性質22
1.2.3數列極限的存在準則23
1.2.4數列極限的四則運算法則24
習題1.2 25
1.3函數的極限30
1.3.1函數極限的定義30
1.3.2函數極限的性質33
習題1.3 35
1.4無窮小與無窮大36
1.4.1無窮小36
1.4.2無窮大37
習題1.4 38
1.5極限運算法則38
1.5.1極限的四則運算法則38
1.5.2復合函數的極限41
習題1.541
1.6兩個重要極限42
1.6.1函數極限的存在準則(夾逼準則)42
1.6.2兩個重要極限42
習題1.647
1.7無窮小的比較47
習題1.749
1.8函數的連續性50
1.8.1連續函數的概念50
1.8.2間斷起及其分類51
1.8.3連續函數的性質和運算53
1.8.4閉區間上連續函數的性質54
習題1.8 56
本章小結57
總習題158
第2章 導數與微分61
2.1導數概念61
2.1.1問題的引、61
2.1.2導數的定義62
2.1.3導數的幾何意義65
2.1.4求導舉例65
習題2.168
2.2求導法則68
2.2.1導數的四則運算法則69
2.2.2反函數的導數70
2.2.3復合函數的導數71
2.2.4初等函數的導數72
習題2.273
2.3高階導數74
2.3.1高階導數的定義及表示74
2.3.2高階導數的計算75
2.3.3高階導數的求導法則76
習題2.377
2.4隱函數及參數函數的導數77
2.4.1隱函數的導數77
2.4.2對數求導法79
2.4.3參數式函數的導數80
2.4.4相關變化率82
習題2.482
2.5函數的微分及其應用83
2.5.1微分的概念83
2.5.2微分的幾何意義85
2.5.3微分公式與微分運算法則85
2.5.4微分在近似計算中的應用87
2.5.5微分在誤差估計中的應用88
習題2.589
2.6微分中值定理90
2.6.1費馬(Fermat)定理90
2.6.2夕((Rooe)定理91
2.6.3拉格朗日(Lagrange)中值定理92
2.6.4柯西(Cauchy)中值定理95
2.6.5泰勒(TayoRr)公式96
習題2.699
2.7洛必達法則99
2.7.1洛必達法則100
2.7.2其他類型的未定式102
習題2.7 103
2.8導數的應用104
2.8.1函數羊調性判定法104
2.8.2曲線的凹凸性及其判別法105
2.8.3函數的極值及其求法107
2.8.4函數的最值及其求法110
2.8.5曲線的漸近線及其圖形的描繪112
2.8.6函數圖形的描繪113
習題2.8115
2.9曲率115
2.9.1弧微分116
2.9.2曲率及其計算公式117
2.9.3曲率圓與曲率半徑119
習題2.9120
本章小結120
總習題2122
第3章 不定積分124
3.1不定積分的概念和運算法則124
3.1.1問題的引入124
3.1.2京函數124
3.1.3不定積分125
3.1.4不定積分的運算法則126
3.1.5不定積分的基本公式127
習題3.1 128
3.2換元積分法129
3.2.1第一換元積分法("湊"微分法)129
3.2.2第二換元積分法(變量代換法)134
習題3.2 138
3.3分部積分法138
習題3.3 141
3.4有理函數的積分141
3.4.1有理函數141
3.4.2有理函數的積分142
習題3.4 146
3.5積分表的使用146
3.5.1直接查表146
3.5.2間接查表146
本章小結147
總習題3147
第4章 定積分149
4.1定積分的概念149
4.1.1入定積分概念的實例149
4.1.2定積分定義150
4.1.3可積函數類151
習題4.1152
4.2定積分的性質和基本定理152
4.2.1定積分的基本性質152
4.2.2微積分學基本定理154
4.2.3變上限的定積分154
4.2.4牛頓-菜布尼茨公式156
習題4.2158
4.3定積分的計算方法159
4.3.1定積分換元法159
4.3.2定積分分部積分法162
習題4.3164
4.4廣義積分165
4.4.1無窮區間的廣義積分165
4.4.2無界函數的廣義積分166
習題4.4169
4.5定積分的應用169
4.5.1微元法169
4.5.2平面圖形的面積171
4.5.3立體的體積174
4.5.4平面曲線的弧長177
4.5.5定積分在實際中的應用178
習題4.5181本章小結184總習題4184
第5章 常微分方程188
5.1常微分方程的基本概念188
5.1.1問題的引入一一一馬爾薩斯(Maothus)人口模型188
5.1.2一些基本概念189
習題5.1190
5.2可分離變量的微分方程191
5.2.1可分離變量的微分方程191
5.2.2齊次方程192
習題5.2193
5.3階線性微分方程194
5.3.1一階線性微分方程194
關5.3.2伯努利(BernRuooi)方程196
習題5.3197
5.4可降階的微分方程198
5.4.1y(η)=f(工)型的微分方程198
5.4.2y=f(工，y)型的微分方程(不顯含y的二階微分方程)198
5.4.3y=f(y，y)型的微分方程(不顯含工的二階微分方程)200
習題5.4201
5.5二階線性微分方程解的結構201
習題5.5203
5.6二階常系數線性微分方程的解法203
5.6.1二階常系數線性齊次微分方程的解法203
5.6.2二階常系數線性非齊次微分方程的解法206
習題5.621
本章小結212
總習題5213
部分習題參考答案216
參考文獻231
附錄AMATLAB實驗(上)232
A1MATLAB簡介232
A1.1MATLAB文件菜單簡介233
A1.2MATLAB中的常用運算符和函數233
A1.3M文件與M函數235
A2曲線繪圖的MATLAB命令236
A3求極限的MATLAB命令239
A4求一元函數導數的MATLAB命令240
A4.1MATLAB中主要用diff命令求函數的導數240
A4.2MATLAB中主要用rRRts，fzerR，fminbnd命令解決導數的應用240
A5求積分的MATLAB命令243
A6微分方程求解的MATLAB命令244
附錄B不定積分表245
附錄C希臘字母表253
第1章函數、極限與連續
函數在自然科學、x程技術以及經濟、社會科學等領域中有著非常廣泛的應用，極限則是研究函數的一種最基本的方法，本章著重介紹函數、極限與函數的連續性等高等數學中最基本的概念以及它們的一些性質，這些內容都是學習本課程必需的基本知識。
1.1函數
1.1.1集合、區間與鄰域
1.集合概念集合是現代數學中一個不加定義的基本概念，它是指某些指定的對象的總體，集合中的每個對象稱為這個集合的元素.一般我們用大寫英文字母A，B，C，…表示集合，用小寫英文字母α，b，c，…表示元素。如果α是集合A的元素，就稱α屬于集合A，記作αεA;如果α不是集合A的元素，就說α不屬于集合A，記作α哇A。
含有有限個元素的集合稱為有限集，含有無限個元素的集合稱為無限集。
1)集合的表示方法
常用的有列舉法和描述法。
(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來的方法，由有限個元素組成的集合，可用列舉其全體元素的方法來表示。
例如，由元素α1，α2，…，αη組成的集合A，可記作A={α1，α2，…，αη}。
(2)描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合，由無窮多個元素組成的集合，可以用描述法來表示
設M是具有某種特征的元素x的全體所組成的集合，就記作M={xix所具有的特征。
一些常用的數集及其記法：全體自然數(或非負整數)的集合記作N;全體正整數集記作
N十，或N十;全體整數集記作Z，正整數集有時也記作Z十;全體有理數集記作Q;全體實數集記作R。
2)集合的基本關系
在集合之間，存在著"包含"與"相等"的關系。
對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即若xεA，則xεB，我們就稱集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作ACB或B二A，這時也稱集合A是集合B的子集。例如，NCZ，ZCQ，QCR。
由上述集合之間的基本關系，可以得到下面的結論：
(1)任何一個集合是它本身的子集，即ACA;
(2)對于集合A，B，C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。
若ACB且BCA，就稱A與B相等，記作A=B。
對于兩個集合A與B，若ACB，但A手B，我們就說集合A是集合B的真子集，記作A主B，簡記ACB。
另外，我們規定，不含任何元素的集合稱為空集，記作隊，并規定，空集是任何集合的子集。
3)集合的基本運算
集合的基本運算有以下幾種：并，交，補，直積。
(1)并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的并集，簡稱并，記作AUB，即
AUB={xixεA，或xεB}，在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次，(2)交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集，簡稱交，記作A門B，即
(3)全集與補集：
A門B={xixεA，且xεB}，
①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。
②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作CUA。即CUA={xixεU，且x哇A}。(4)直積(笛卡兒乘積)：設A，B是任意兩個集合，在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，組成一個有序對(x，y)，把這樣的有序對作為新元素，它們全體組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記為AXB，即AXB={(x，y)ixεA且yεB}。
例如，RXR={(x，y)ixεR且yεR}即為x。y面上全體點的集合，RXR常記作R2。
2.區間與鄰域
1)區間
研究函數時常會用到區間的概念，區間是實數集R的一個子集。
設α和b都是實數，且α
閉區間：[α，bJ={xα
半開半閉區間：(α，bJ={xα
這里實數α，b都稱為相應區間的端點。
上述這些區間都稱為有限區間，數b-α稱為這些區間的長度。
此外，還有無窮區間，引人記號十∞(讀作正無窮大)及記號-∞(讀作負無窮大)，則有無窮區間：
[α，十∞)={xα
2)鄰域
(α，十∞)={xiα
鄰域是高等數學中最常用的概念之一，大家務必了解。
設8是一任意正數，以點α為中心的對稱開區間(α-8，α十8)稱為點α的8鄰域，記作U(α，8)，即
U(α，8)=(α-8，α十8)={xα-8
其中點α稱為此鄰域的中心，8稱為此鄰域的半徑。
從數軸上看，U(α，8)表示與點α的距離小于8的一切點x的全體，在不要求說明鄰域半徑的情況下，以點α為中心的鄰域也可簡記為U(α)。
另外，不包含中心點α的數集{x0
U(α，8)={xα-8
從數軸上看，U(α，8)表示與點α的距離小于8且除去點α的一切點x的全體，在不要求說明鄰域半徑的情況下，去心鄰域也可簡記為U(α)。
為了方便，有時把開區間(α-8，α)稱為α的左鄰域，把開區間(α，α十8)稱為α的右鄰域。
1.1.2函數概念
1.函數的定義
定義1.1.1(函數的定義)設D是非空數集，若存在對應法則f，使得對于D中任意數x，按照對應法則f，都有唯一的一個yεR與之對應，則稱f是定義在D上的函數，也稱單值函數，記作y=f(x)?x稱為口變量，y稱為因變量。數集D稱為函數f的定義域，函數值的集合f(D)={f(x)xεD}稱為函數f的值域，
由函數的定義可知，確定函數的兩個要素：(1)函數的定義域;(2)函數的對應法則。兩個函數是否相同，取決于這兩個要素是否相同。
如果給定一個對應法則，按照這個法則，對每一個xεD，總有確定的y值與之對應，但這個y不總是唯一的，習慣上我們稱這種法則確定了一個多值函數。
例如，變量x與y的對應法則由方程x2十y2=1給出，則有y=士槡1-x2，即對應某個x的值有兩個不同的y值與之對應。
多值函數如果給出一些限制條件，則可以得到單值函數，例如方程x2十y2=1中，如果規定y=0，則得到一個單值函數y=槡1-x2。
在高等數學中，我們約定只討論單值函數。
對應法則f實際上就是一個運算規則，可以將函數想象為一個機器，這將有助于理解函數一概念，如果x在f的定義域中，則當x進人這個機器，x可以被看作一個輸人，機器則通過函數的規則產生一個輸出f(x)(圖1.1)，因此，我們可以把定義域看作所有輸人的集合，把值域看作所有輸出的集合。
計算器里面預置程序的函數，是借助機器理解函數很好的例子。例如，當你按下標有"槡"的鍵時，如果輸人-4則無法輸出，因為-4不在定義域內，如果輸人4，則輸出2。
對于一個函數，在沒有明確指出其定義域時，就認為函數的定義域是使得此函數有意義的實數x的集合?而對于具有實際意義的函數，它的定義域要受實際意義的約束?
2.函數的表示方法
1)解析法
用數學式子表示自變量和因變量之間的對應關系的方法稱為解析法，也叫公式法。例如，圓的面積公式A=πγ2就是函數的解析式，其中γ是圓的半徑。
解析法表示的函數關系的優點是便于研究函數的性質，便于理論推導和計算，但在實際問題中一般很難找到它的比較精確的函數解析式。
2)表格法
將一系列的自變量值與對應的函數值列成表來表示函數關系的方法即是表格法。例如某公司經統計得到某商品廣告費與銷售額之間的相關數據如表1.1所示。
表格法的優點是所求的函數值容易查得，但無法從總體上確定函數的性質。
3)圖象法
用坐標平面上曲線來表示函數的方法即是圖象法，一般用橫坐標表示自變量，縱坐標表示因變量，圖象法的優點是形象直觀，且可以看到函數的變化趨勢。
函數的以上表示方法在具體使用時應以解析法為主，其他兩種方法結合使用。
下面舉幾個函數的例子：
例1.1.1求函數f(x)=1的定義域。
解由x2-x-2>0得x<-1，x>2，即{xix<-1，x>2}。
例1.1.2下列各對函數是否相同?為什么?
(1)f(x)=x，g(x)= x2：(2)f(x)=21nx，g(x)=1nx2：(3)f(x)=sinx，g(u)=sinu。
解(1)不同，因為值域不同。
(2)不同，因為定義域不同。
(3)相同，因為定義域、值域、對應法則都相同。
3.分段函數
有時一個函數要用幾個式子來表示。這種在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子表示的函數通常稱為分段函數。
例1.1.3函數，這是一個分段函數，如圖1.2所示，其定義域為
D=[0，1]U(1，十∞)=[0，十∞)，當01時，y=1+x。
例如，
例1.1.4函數y=x=-
函數也稱為絕對值函數，如圖1.3所示的定義域為(-∞，十∞)，值域為[0，十∞)，這個
例1.1.5設x為任意實數，[x]表示不超過x的最大整數。例如，[2，5]=2，[3，d]=3，[0]=0，[-3，1]=-4，我們把函數y=[x]，稱為取整函數，定義域為R，它的圖形如圖1.4所示。
例1.1.6函數y=sgnx=-<0，x=0，稱為符號函數，其定義域為(-∞，十∞)，值域為{-1，0，1}，其圖形如圖1.5所示。
4.函數的四種特性
1)函數的單調性
定義1.1.2{函數的單調性)設函數f(x)的定義域為D，區間ICD，若對于區間I上任意兩點x1，x2，當x1
例如，函數y=x2在區間[0，十∞)上單調增加，在區間(-∞，0]上單調減少;函數y=x3在R上單調增加。
又如，指數函數y=αx(α是常數且α>0，α=1)，它的定義域是(-∞，十∞)，當α>1時，指數函數y=αx是單調增加的;當0<α<1時，指數函數y=αx是單調減少的。
再例如對數函數y=10gαx(α是常數且α>0，α=1)，它的定義域是(0，十∞)，當α>1時，對數函數y=10gαx是單調增加的;當0<α<1時，對數函數y=10gαx是單調減少的。
2)函數的奇偶性
定義1.1.3{函數的奇偶性)設函數f(x)的定義域為D，若對于任意xεD，有-xεD，且f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))，則稱函數f(x)是奇函數(偶函數)。
例如，函數f(x)=sinx在其定義域中的任何對稱區間上都是奇函數，而函數f(x)=c0sx在其定義域中的任何對稱區間上都是偶函數。
又如，雙曲正弦函數y=f(x)=為奇函數，如圖1.6所示，定義域是R，雙曲余弦函數：y=f(x)=數，如圖1.7所示，定義域是R，為偶函2再如，雙曲正切函數y==也是奇函數，如圖1.8所示。
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