《大學(xué)文科數(shù)學(xué)：(下冊）》為高等學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教材，是根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，參照“文科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”，按照新形勢下教材改革的精神編寫而成．《大學(xué)文科數(shù)學(xué)：(下冊）》分為上、下兩冊，上冊內(nèi)容包括一元微積分、二元微積分、簡單一階常微分方程等內(nèi)容．下冊內(nèi)容為線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)．各章配有小結(jié)及練習(xí)題，并介紹一些與《大學(xué)文科數(shù)學(xué)：(下冊）》所述內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)家簡介．
《大學(xué)文科數(shù)學(xué)：(下冊）》可作為高等學(xué)校文科類、藝術(shù)類等少學(xué)時(shí)高等數(shù)學(xué)課程的教材．
目錄
(上冊)
第1章 函數(shù)與極限
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
第4章 不定積分
第S章 定積分及其應(yīng)用
第6章 常微分方程
第7章 二元函數(shù)及二重積分
(下 冊）
第8章行列式 1
8.1行列式的定義 1
8.1.1 二、三階行列式 1
8.1.2排列與逆序 2
8.1.3 ?階行列式 3
8.2 行列式的性質(zhì) 5
8.3 行列式按行(列)展開 11
8.4克拉默法則 15
習(xí)題8 18
第9章矩陣 22
9. 1矩陣的概念 22
9.1.1矩陣的概念 22
9.1.2幾種特殊的矩陣 25
9.2矩陣的運(yùn)算 25
9.2.1矩陣的加法與數(shù)量乘法 25
9.2.2 矩陣的乘法 27
9.2.3 方陣的冪 31
9.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置 32
9. 3分塊矩陣 33
9.4 可逆矩陣 37
9. 4. 1方陣的行列式 37
9.4.2可逆矩陣的概念 37
9.4.3可逆矩陣的性質(zhì) 40
9.5矩陣的初等變換和初等方陣 41
9. 6矩陣的秩 47
習(xí)題9 50
第10章線性方程組 55
10. 1 消元法 55
10.2線性方程組的一般理論 58
10.3 w維向量空間 63
10.4向量間的線性關(guān)系 65
10.4.1 向量的線性表示 65
10.4.2向量的線性相關(guān)性 67
10.5 向量組的秩 71
10.6線性方程組解的結(jié)構(gòu) 73
10. 6. 1齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 74
10.6.2非齊次線性方程組 77
習(xí)題10 79
第11章矩陣的特征值與二次型 82
11.1特征值與特征向量 82
11.1.1特征值與特征向量的概念及求法 82
11.1.2特征值與特征向量的性質(zhì) 84
11.2相似矩陣 85
11.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 87
11.4 二次型 91
11.5 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 93
11. 5. 1正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 93
11.5.2配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 97
11.6 正定二次型 98
習(xí)題11 99
第12章隨機(jī)事件及其概率 102
12. 1 隨機(jī)事件 102
12.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間 102
12.1.2隨機(jī)事件 103
12.1.3事件間的關(guān)系及其運(yùn)算 104
12. 2隨機(jī)事件的概率 106
12. 2.1概率的定義 106
12.2.2等可能概型(古典概型） 108
12.3概率的加法法則 111
12.4條件概率與乘法法則 113
12.4.1條件概率 113
12.4.2乘法公式 114
12.4.3全概率公式與貝葉斯公式 115
12.5事件的獨(dú)立性 117
習(xí)題12 121
第13章一維隨機(jī)變量及其分布 125
13. 1 隨機(jī)變量 125
13. 2離散型隨機(jī)變量 126
13. 2. 1 (0-1)分布 127
13. 2. 2伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布 127
13. 2. 3 泊松分布 129
13. 3隨機(jī)變量的分布函數(shù) 129
13.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 131
13. 4.1 均勻分布 132
13.4.2指數(shù)分布 133
13.4.3 正態(tài)分布 134
13. 5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 137
13. 5. 1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 137
13. 5. 2連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 138
習(xí)題13 140
第14章多維隨機(jī)變量及其概率分布 143
14. 1 二維隨機(jī)變量 143
14.1.1 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 143
14. 1. 2 二維離散型隨機(jī)變量的分布律 144
14.1.3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量 145
14.2隨機(jī)變量的邊緣分布 147
14.2.1離散型邊緣分布 147
14.2.2連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度 148
14. 3 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 149
習(xí)題14 151
第15章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 153
15. 1 數(shù)學(xué)期望 153
15.1.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 153
15.1. 2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 155
15.1.3 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 156
15.1.4 二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 157
15. 2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 157
15.3 方差 159
15.4 方差的性質(zhì) 161
習(xí)題15 163
第16章統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布 166
16.1 總體和樣本 166
16. 2統(tǒng)計(jì)量及統(tǒng)計(jì)量的分布 167
16. 3 抽樣分布 169
16. 3.1 X2 分布 169
16. 3. 2 f 分布 171
16. 3. 3 正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布 172
習(xí)題16 173
第17章參數(shù)估計(jì) 175
17. 1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 175
17.1.1 矩估計(jì)法 175
17.1. 2極大似然估計(jì) 176
17. 2 估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 180
17. 3 區(qū)間估計(jì) 181
17.3.1 參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 181
17. 3. 2單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 182
習(xí)題17 185
參考文獻(xiàn) 187
附錄1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表 188
附錄2泊松分布數(shù)值表 190
附錄3 t分布臨界值表 192
附錄4 Z2分布臨界值表 194
第8章行列式
行列式的概念來源于解線性方程組的問題，并成為一種重要的數(shù)學(xué)工具.在許 多實(shí)際問題中都有重要應(yīng)用.本章介紹狀階行列式的概念、基本性質(zhì)、計(jì)算方法及 行列式的一個(gè)重要應(yīng)用:求解狀元線性方程組的克拉默(Cramer)法則.
8.1行列式的定義
8.1.1 二、三階行列式
從線性方程組的求解過程中，引入行列式的概念.考慮如下二元線性 方程組
(8. 1)
其解為
(8．2）
為便于記憶，引人記號(hào)
則當(dāng)犇乒0時(shí)，式(8. 2)可表示為
(8. 4)
(8．3）
稱為行列式
這種表示不僅簡單，而且便于記憶.式（.3)稱為二階行列式， 的元素，犻為行標(biāo)，犼為列標(biāo)，二階行列式包含2行2列4個(gè)元素. 對(duì)角線法則
主對(duì)角線(實(shí)聯(lián)線)元素乘積取正號(hào)，副對(duì)角線(虛聯(lián)線)元素乘積取負(fù)號(hào). 類似地，可以定義三階行列式
式(8. 5)稱為三階行列式.
三階行列式包含3行3列9個(gè)元素，其值可按下面的對(duì)角線法則計(jì)算得到
實(shí)聯(lián)線元素乘積取正號(hào)，虛聯(lián)線元素乘積取負(fù)號(hào). 例如
從二、三階行列式的定義可以看出，行列式的值是一些項(xiàng)的代數(shù)和.例如，在三 階行列式中，每一項(xiàng)都是三個(gè)數(shù)的連乘積，而且這三個(gè)數(shù)取自三階行列式不同行與 不同列，總項(xiàng)數(shù)以及每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與其下標(biāo)的排列有關(guān).為了揭示行列式的結(jié)構(gòu) 規(guī)律，將行列式的概念推廣到狀階行列式.先介紹一些排列的基本知識(shí).
8.1.2排列與逆序
定義8. 1. 1由自然數(shù)1，2，…，所構(gòu)成的一個(gè)有序數(shù)組，稱為這狀個(gè)數(shù)的一 個(gè)狀級(jí)排列.
例如4321，1234，3214均是1，2，3，4這4個(gè)數(shù)的4級(jí)排列.
狀個(gè)自然數(shù)1，2，…，狀，按從小到大的自然順序排列：2…狀稱為狀級(jí)自然 排列．
1234就是4級(jí)自然排列.顯然，狀級(jí)排列的種數(shù)共有狀！個(gè).用h，z2，…，&表 示這狀！個(gè)排列中的一個(gè).
定義在排列A…中，如果則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆
序.中，逆序的總個(gè)數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，記為.逆序 數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.
例8.1. 1分別求下列排列：4321，1234，3214的逆序數(shù)，并判別排列的奇
偶性.
解在排列4321中，4的逆序?yàn)?;的逆序?yàn)?;的逆序?yàn)?；的逆序?yàn)?， 因此，.類似可得，.排列 4321，1234是偶排列;排列3214是奇排列.
定義8. 1. 3在一個(gè)排列中，某兩個(gè)數(shù)互換位置，其余的數(shù)不動(dòng)，就得到一個(gè) 新排列.這樣的變換稱為一個(gè)對(duì)換;若對(duì)換的兩個(gè)數(shù)相鄰，則稱為相鄰對(duì)換.
定理8. 1. 1 對(duì)換改變排列的奇偶性.
證略.
定理8. 1. 2 n個(gè)數(shù)（狀> 1 )共有狀個(gè)狀級(jí)排列，其中奇偶排列各占一半.
證 略
8.1.3 re階行列式
考察三階行列式
三階行列式有6項(xiàng)，每一項(xiàng)是三個(gè)數(shù)的乘積，這三個(gè)數(shù)位于不同行、不同列.6 項(xiàng)中的任一項(xiàng)可寫為，三個(gè)數(shù)的行標(biāo)為自然序排列123，列標(biāo)為 1，2，3的某一排列，1，2，.任一項(xiàng)的符號(hào)可由狋=r('1，2，)的奇偶性確定.
將上述規(guī)律進(jìn)行推廣，可得到n階行列式定義.
定義8. 1. 4
稱為n階行列式.其中橫排、縱排分別稱為它的行和列.n階行列式是一個(gè)數(shù)，其值 按如下代數(shù)式計(jì)
其中和號(hào)2是對(duì)所有的狀級(jí)排列求和(共狀！項(xiàng)).每一項(xiàng)當(dāng)行標(biāo)為自然排列時(shí)，如 果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列，則取正號(hào)，如果是奇排列取負(fù)號(hào).
注狀=1時(shí)，狀=2，3，就是前面定義的二、三階行列式，它 們的值可用對(duì)角線法求得，狀>4時(shí)，對(duì)角線法則不再適用.
定理8.階行列式也可定義為
其中每一項(xiàng)在列下標(biāo)為自然序排列時(shí)，由行下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定其符號(hào).
式(8. 7)與式（8. 6)的區(qū)別在于每項(xiàng)中各元素的列標(biāo)按自然序排列，行標(biāo)為的某一排列
例8. 1.2設(shè)犇為5階行列式，問
是否為犇中的項(xiàng)，若是應(yīng)取什么符號(hào)？
解 （1)的行標(biāo)排列為12345，列標(biāo)排列為23154，表明這些數(shù)取
自不同的行，不同的列，所以它是犇中的一項(xiàng)，且行標(biāo)為自然排列，K23154) — 3為 奇數(shù)，故該項(xiàng)取負(fù)號(hào).
(1) 的行標(biāo)排列為12345，列標(biāo)排列為45325取自第5行兩元 素，由行列式定義知它不是行列式的一項(xiàng).
例8. 1. 3 計(jì)算n階行列式
這里為不同行、不同列的n個(gè)數(shù)的乘積.由于第一列除了 an外其余 數(shù)都為零，故非零項(xiàng)的第一個(gè)數(shù)必為，第二列只能選(不能選，因第一行 已選過）類似地，第三列只能選第狀列只能選因此，行列式只有一個(gè) 可能的非零項(xiàng)，即這個(gè)行列式稱為上三角行列式.
類似可得下三角行列式
特別地，對(duì)角行列
8. 2行列式的性質(zhì)
由8. 1節(jié)討論可以看出，用定義計(jì)算行列式比較麻煩.為了簡化行列式的計(jì) 算，下面介紹行列式的性質(zhì).通過這些性質(zhì)，可使行列式的計(jì)算在很多情況下簡化.
將行列式D的行和列互換后得到的行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT 或D.即
從而D = D
由性質(zhì)8. 2. 1可知，行列式中行與列具有相同的地位，關(guān)于行成立的性質(zhì)，關(guān) 于列也同樣成立，反之亦然.
性質(zhì)8. 2. 2交換行列式的兩行(列），行列式變號(hào).
證明略.
推論8. 2. 1如果行列式中有兩行(列)相同，則此行列式等于零.
證將相同的兩行對(duì)換，有D —-D，從而D 性質(zhì)8. 2 .3 用數(shù)6乘行列式的某一行(列），等于以數(shù)k乘此行列式.即如果
證由行列式定義，的一般項(xiàng)為
性質(zhì)8. 2 . 3說明，用一個(gè)數(shù)乘以行列式，等于用這個(gè)數(shù)乘行列式的某一行(列） 的每一個(gè)元素.即行列式中某一行(列）的公因子可以提到行列式符號(hào)之外.
若行列式D中有一個(gè)零行(列），則D — 0.
若行列式D中有兩行(列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則D
推論8. 2. 2 推論8. 2. 3
例如，
若行列式D的某行(列）的元素都是兩數(shù)之和，例如，第犻行的元
素都是兩數(shù)之和
則行列式等于下列兩個(gè)行列式之和
證 由行列式定義
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