現(xiàn)在偏微分方程是建立在工作空間Sobolev空間的理論，本書系統(tǒng)地介紹了這個空間的性質,并給出一般的Poincare不等式新的證明。而積分泛函的變分問題的存在性歸結為下半連續(xù)性的研究，這直接導致了補償緊定理的發(fā)現(xiàn)。然而積分泛函在群作用下丟失緊性，從而有Lions的集中緊定理。一些經(jīng)典的變分方法也在本書中予以介紹，像PS條件與Ekeland變分原理與Nehari處理約束泛函極小點問題.在這些內容中包括了極小超曲面問題，特別是Plateau問題，Sobolev嵌入的最佳常數(shù)問題，等周不等式。《變分法與偏微分方程》是偏微分方程的基礎，他對分析學方面：包括物理力學電子學、幾何學方面的學生都是基本內容,本教材是自包含的，介紹了現(xiàn)代偏微分方程的基礎內容：Sobolev空間極其性質,容量與有界平均震蕩空間；積分泛函的極值問題中的經(jīng)典方法:包括Euler-Lagrange方程，Jacobi場，Noether定理和條件極值問題。直接方法：下半連續(xù)性的充分必要條件，補償緊性，集中緊性，Ekeland變分原理，和Nehari技巧。最后應用到極小曲面和等周不等式。
17世紀的歐洲，涌現(xiàn)出許多精妙的科學問題，奠定了變分法的重要性，例如，F(xiàn)ermat （1662）的幾何光學問題：光在任意介質中從一點傳播到另一點時，沿所需時間最短的路徑傳播，又稱最小時間原理或極短光程原理．Galileo （1638）提出的最速下降線（brachistochrone curve）問題，由Bernoulli兄弟（1696），Leibniz和Newton所解決．對變分法的發(fā)展起到?jīng)Q定性作用的數(shù)學家是Euler和Lagrange.眾多的數(shù)學家對變分法的發(fā)展起到了推動的作用，他們是Bliss，Bolza，Caratheodory，Clebsch，Hahn，Hamilton，Hilbert，Kneser，Jacobi，Legendre，Mayer，Weierstrass等，對變分法的發(fā)展具有里程碑意義的工作有以下三項．
（1）極小曲面問題的研究．Lagrange （1762）給出了問題的數(shù)學描述，一批數(shù)學家Ampere，Beltrami，Bernstein，Bonnet，Catalan，Darboux，Enneper，Haar，Korn，Legendre，Lie，Meusnier，Monge，Muntz，Riemann，H.A. Schwarz，Serret，Weierstrass，Weingarten等對這個問題進行了深入的探討．Douglas和Rado （1930）給出了第1個完全的證明，Douglas因此獲得Fields獎．
（2）19世紀Hilbert研究Dirichlet積分——簡單的多重變分積分問題，將調和函數(shù)的研究歸結為變分問題，并創(chuàng)造了所謂的直接方法．這個威力巨大的工具，被廣泛用來研究偏微分方程在Sobolev空間內解的存在性．
（3）1900年，Hilbert在巴黎召開的國際數(shù)學家大會上提出了23個問題供20世紀重點發(fā)展的研究方向，其中有3個問題（第19，20，23）與變分法有關．
本書是給數(shù)學系高年級本科生和研究生講授變分法的基本內容，希望能在Sobolev空間的框架下，講授多重積分泛函的變分方法．內容包括泛函的一階變分、二階變分、下半連續(xù)性、補償緊性、集中緊性、Ekeland變分、Nehari技巧等，并介紹了極小曲面的Douglas方法和等周不等式的證明，基本內容所需知識做到自包含，通過本書的學習，可以進入相關領域的研究，
前言
引言
第1章 函數(shù)空間
1．1 連續(xù)與Holder連續(xù)空間
1．2 Lp空間
1．3 Sobolev空間
1．4 Capacity
1．5 BMO空間
第2章 經(jīng)典方法
2．1 Euler-Lagrange方程
2．2 泛函的二階變分
2．3 Jacobi場
2．4 Hamilton-Jacobi方程
2．5 Noether定理
2．6 條件極值
第3章 直接方法
3．1 下半連續(xù)性
3．2 補償緊
3．3 集中緊性原理
3．4 Ekeland變分原理
3．5 Nehari技巧
第4章 極小曲面
4．1 R3中的曲面理論和測地線
4．2 Douglas-Courant-Tonelli方法
第5章 等周不等式
5．1 R2中的等周不等式
5．2 Rn中的等周不等式
參考文獻
索引
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