本書全面系統地介紹了與工程技術聯系密切的矩陣理論及其應用，注重理論和應用的結合，具有工科教材的特點和方法。全書共6章，分別介紹了線性空間與線性變換、內積空間、矩陣的若爾當標準形及其分解、矩陣分析及應用、特征值的估計、廣義逆矩陣。各章后面配有一定數量的習題。
本書可作為理工科院校碩士研究生和高年級本科生的教材，也可作為有關專業的教師及工程技術人員的參考書。
前言
第1章 線性空間與線性變換
1.1 線性空間
1.2 基變換與坐標變換
1.3 線性子空間
1.4 線性空間的同構
1.5 線性變換
1.6 線性變換的矩陣表示
1.7 特征值與特征向量
1.8 不變子空間
習題1
第2章 內積空間
2.1 實內積空間
2.2 正交基及正交補
2.3 兩個特殊的線性變換 前言
第1章 線性空間與線性變換
1.1 線性空間
1.2 基變換與坐標變換
1.3 線性子空間
1.4 線性空間的同構
1.5 線性變換
1.6 線性變換的矩陣表示
1.7 特征值與特征向量
1.8 不變子空間
習題1
第2章 內積空間
2.1 實內積空間
2.2 正交基及正交補
2.3 兩個特殊的線性變換
2.4 歐氏空間的同構
2.5 點到子空間的距離與最小二乘法
2.6 復內積空間
2.7 正規矩陣
2.8 Hermite二次型
習題2
第3章 矩陣的若爾當標準形及其分解
3.1 λ-矩陣及其標準形
3.2 矩陣的若爾當標準形
3.3 矩陣的最小多項式
3.4 矩陣的若干分解
習題3
第4章 矩陣分析及應用
4.1 向量的范數
4.2 矩陣的范數
4.3 矩陣序列及其極限
4.4 矩陣冪級數
4.5 矩陣函數
4.6 矩陣的微分和積分
4.7 矩陣函數的應用
習題4
第5章 特征值的估計
5.1 特征值的界的估計
5.2 圓盤定理
5.3 譜半徑的估計
習題5
第6章 廣義逆矩陣
6.1 ﹛1﹜-廣義逆矩陣A-
6.2 M-P廣義逆矩陣A+
6.3 廣義逆矩陣在線性方程組求解中的應用
習題6
部分習題參考答案
參考文獻
第1 章線性空間與線性變換
線性空間與線性變換是學習現代矩陣理論時經常用到的兩個極其重要的概念.
本章簡要地論述這兩個概念及其有關理論， 論述是在假定讀者已經具備了n 元數
組構成的向量空間的理論、矩陣的初步運算、線性方程組的理論等基礎上進行的.
1.1 線性空間
我們知道， 數是數學的一個最基本的概念。在歷史上， 數的概念經歷了一個長
期發展的過程， 由自然數到整數、有理數， 然后是實數， 再到復數。這個過程反映了
人們對客觀世界的認識的不斷深入。按照所研究的問題， 通常需要明確規定所考慮
的數的范圍。我們經常遇到的數的范圍有全體有理數、全體實數和全體復數。有時
我們還會碰到一些其他的數的范圍， 為了方便起見， 當我們把這些數當成整體來考
慮的時候， 常稱它為一個數的集合， 簡稱數集。有些數集也具有有理數、實數、復數
的全體所共有的代數性質。為了在討論中能夠把它們統一起來， 我們引入一個一般
的概念。
定義1.1 設P 是由一些復數組成的集合， 其中包含0 和1. 如果P 對于加
法、減法、乘法、除法（除數不為0） 是封閉的， 那么P 就稱為一個數域。
顯然， 全體有理數組成的集合、全體實數組成的集合、全體復數組成的集合都
是數域。這三個數域我們分別用字母Q， R， C 來代表。全體整數組成的集合就不
是數域， 因為任意兩個整數的商未必是整數。
不難驗證， 數集
Q?p2￠= fa + bp2 j a； b 2 Qg
構成一個數域. 事實上， 對任意的a + bp2； x + yp2 2 Q（p2）， 有
（a + bp2） § （x + yp2） = （a § x） + （b § y）p2 2 Q?p2￠；
（a + bp2）（x + yp2） = （ax + 2by） + （ay + bx）p2 2 Q?p2￠；
a + bp2
x + yp2
= ax ? 2by
x2 ? 2y2 + bx ? ay
x2 ? 2y2
p2 2 Q?p2￠：
關于數域我們有一個顯然的性質： 任何數域均包含有理數域作為它的一部分，
即有理數
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