《高等數學(下冊)》分上、下兩冊, 上冊內容包括函數與極限、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、空間解析幾何、多元函數微分法及其應用. 下冊內容包括不定積分、定積分、定積分的應用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數、微分方程初步. 《高等數學(下冊)》每節都配有習題,每章配有總習題和歷年考研題. 《高等數學(下冊)》配套的輔助教材有《高等數學典型問題與應用案例剖析(上、下冊)》.
《高等數學(下冊)》是作者多年教學經驗的總結, 可作為非數學專業學生高等數學的教材, 也可作為相關人員的參考書.
前言
第六章 不定積分 1
第一節 不定積分的概念與性質 1
一、原函數與不定積分的概念 1
二、不定積分的性質與基本積分表 4
三、直接積分法 5
習題 6-1 7
第二節 換元積分法 8
一、第一類換元法 8
二、第二類換元法 15
習題 6-2 20
第三節 分部積分法 21
習題 6-3 26
第四節 有理函數的積分 27
習題 6-4 31
第五節 可化為有理函數的積分舉例 32
一、三角函數有理式的積分舉例 32
二、簡單無理式的積分舉例 33
習題 6-5 35
總習題六 35
歷年考研題六 36
第七章 定積分 37
第一節 定積分的概念與性質 37
一、引出定積分概念的典型問題 37
二、定積分定義 39
三、定積分的近似計算 42
四、定積分的性質 44
習題 7-1 46
第二節 微積分基本公式 48
一、變速直線運動中路程函數與速度函數之間的聯系 48
二、積分上限函數及其導數 49
三、牛頓-萊布尼茨公式 52
習題 7-2 54
第三節 定積分的換元法和分部積分法 55
一、定積分的換元法 55
二、定積分的分部積分法 61
習題 7-3 64
第四節 反常積分 64
一、無窮區間上的反常積分 65
二、無界函數的反常積分 67
三、反常積分的審斂法 70
習題 7-4 72
總習題七 72
歷年考研題七 74
第八章 定積分的應用 77
第一節 元素法 77
第二節 定積分在幾何上的應用 78
一、平面圖形的面積 78
二、兩種特殊立體的體積 83
三、平面曲線的弧長 87
習題 8-2 90
第三節 定積分在物理學上的應用 91
一、變力做功問題 91
二、水壓力 93
三、引力 93
習題 8-3 95
總習題八 95
歷年考研題八 96
第九章 重積分 98
第一節 二重積分的概念與性質 98
一、二重積分的概念 98
二、二重積分的性質 102
習題 9-1 104
第二節 二重積分的計算 105
一、利用直角坐標系計算二重積分 105
二、利用極坐標計算二重積分 110
三、二重積分的換元法 114
習題 9-2 117
第三節 三重積分 120
一、三重積分的概念 120
二、三重積分的計算 121
習題 9-3 128
第四節 重積分的應用 130
一、曲面的面積 130
二、質心 134
三、轉動慣量 136
四、引力 138
習題 9-4 139
總習題九 140
歷年考研題九 143
第十章 曲線積分與曲面積分 146
第一節 對弧長的曲線積分與對面積的曲面積分 146
一、對弧長的曲線積分及對面積的曲面積分的概念與性質 146
二、對弧長的曲線積分的計算方法 148
三、對面積的曲面積分的計算方法 150
習題 10-1 153
第二節 對坐標的曲線積分 154
一、對坐標的曲線積分的概念與性質 154
二、對坐標的曲線積分的計算方法 158
三、兩類曲線積分之間的聯系 162
習題 10-2 163
第三節 對坐標的曲面積分 164
一、預備知識 164
二、引例流向曲面一側的流量 165
三、對坐標的曲面積分的概念及性質 167
四、對坐標的曲面積分的計算方法 169
五、兩類曲面積分之間的聯系 172
習題 10-3 174
第四節 多元函數積分間聯系的三大公式 175
一、格林公式及其應用 175
二、高斯公式 184
三、斯托克斯公式 187
習題 10-4 189
第五節 場論初步 192
一、場的概念 192
二、向量場的散度與旋度 193
習題 10-5 196
總習題十 197
歷年考研題十 199
第十一章 無窮級數 202
第一節 常數項級數的概念和性質 202
一、常數項級數的概念 202
二、級數的基本性質 205
三、級數收斂的必要條件 207
習題 11-1 208
第二節 正項級數的審斂法 208
一、正項級數概念和基本審斂法則 209
二、比較審斂法 209
三、比值審斂法 212
四、根值審斂法 214
習題 11-2 214
第三節 一般項級數的審斂法 215
一、交錯級數審斂法 215
二、任意項級數的絕對收斂與條件收斂 217
三、絕對收斂級數的性質 218
習題 11-3 219
第四節 冪級數 219
一、函數項級數的概念 219
二、冪級數及其收斂性 220
三、冪級數的運算 224
四、冪級數的性質 225
習題 11-4 226
第五節 函數的冪級數展開 227
一、泰勒 (Taylor) 級數 227
二、函數的冪級數展開式 229
習題 11-5 234
第六節 傅里葉級數 235
一、三角級數和三角函數系 235
二、以 2 為周期的函數的傅里葉級數 236
三、以 2l 為周期的函數的傅里葉級數 241
四、正弦級數和余弦級數 243
習題 11-6 245
總習題十一 246
歷年考研題十一 247
第十二章 微分方程初步 251
第一節 微分方程及其相關概念 251
習題 12-1 255
第二節 可分離變量方程 256
習題 12-2 258
第三節 齊次方程 258
一、齊次方程 258
二、可化為齊次的方程 260
習題 12-3 263
第四節 一階線性微分方程 264
一、線性方程 264
二、伯努利方程 266
習題 12-4 269
第五節 全微分方程 270
習題 12-5 274
第六節 可降階的高階微分方程 274
一、y(n) = f(x) 型的微分方程 275
二、y00 = f(x; y0) 型的微分方程 275
三、y00 = f(y; y0) 型的微分方程 277
習題 12-6 279
第七節 線性微分方程解的結構 280
一、二階齊次線性微分方程解的結構 280
二、二階非齊次線性微分方程解的結構 281
三、二階非齊次線性微分方程通解的求法 282
習題 12-7 284
第八節 二階常系數齊次線性微分方程 285
習題 12-8 291
第九節 二階常系數非齊次線性微分方程 292
習題 12-9 298
第十節 歐拉方程 299
習題 12-10 301
總習題十二 301
歷年考研題十二 302
部分習題答案與提示 304
第六章 不定積分
第六、七、八章的內容統稱為一元函數的積分學.積分學與微分學密切聯系，共同組成了分析學的基本內容.積分學的產生與發展源于一些實際問題的解決，如兩千多年前的希臘數學家阿基米德(Archimedes)用窮竭法計算出了拋物線弓形的面積，我國南北朝時期的祖沖之和他的兒子祖也曾推導出某些圖形的面積和體積，這些都是用無限小過程處理特殊形狀的面積的例子.雖然求積問題自古以來就被直觀地、經驗地理解著，并且得到了正確的計算結果，但這只是個別問題的解決，始終缺乏一般的計算方法，與一門系統學科的形成還相距甚遠.
直到十七世紀，由于天文、航海以及生產技術的發展，大量的問題亟待解決，這些問題大致歸為以下四類:第一類是已知距離求速度與加速度以及已知加速度，求速度與距離;第二類是求曲線的切線;第三類是求函數的最大、最小值;第四類是求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積以及兩個物體之間的引力.雖然在一些數學家的努力下，有關微分學問題解決得比較圓滿，積分學中的某些問題也得到了一些好的結果，但是當時所使用的方法要么不具有普遍性，要么有的方法本身雖然孕育著有普遍性的含義，但卻沒有人能充分理解微分與積分這兩類問題之間的相互關系的重要意義，因而都沒有創立微積分.最終，牛頓和萊布尼茨在總結前的方法的基礎上，都各自獨立地看到了積分問題是微分的逆問題，并建立起成熟的具有普遍意義的方法.由于牛頓和萊布尼茨各自研究的角度不同，牛頓是利用導數與反導數，即不定積分來解決微積分問題，而萊布尼茨則強調微分及\微分的和"，因而就形成了不定積分與定積分.
第一節不定積分的概念與性質
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