《藝術(shù)數(shù)學(xué)》共5章，包括數(shù)列的極限、函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分等數(shù)學(xué)內(nèi)容，涉及音樂、美術(shù)、雕塑等各個(gè)藝術(shù)學(xué)領(lǐng)域，以及股市藝術(shù)、分形藝術(shù)、建筑藝術(shù)等“藝術(shù)”知識(shí)。
本書以“藝術(shù)”中的數(shù)學(xué)元素為鴻線，發(fā)掘和建立藝術(shù)與數(shù)學(xué)彼此之間知識(shí)的融合、理念的溝通和思維的創(chuàng)新。
本書采用直觀明了的幾何論證和通俗易懂的邏輯推理的方法，強(qiáng)調(diào)知識(shí)性、趣味性、鑒賞性和可讀性。
《藝術(shù)數(shù)學(xué)》可作為高等院校藝術(shù)系“數(shù)學(xué)”課程的教材，或文科其他各專業(yè)的數(shù)學(xué)參考書，也可作為提高學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)文化素養(yǎng)的課外讀物。本書由馬傳漁、邵進(jìn)、李棟寧編著。
《藝術(shù)數(shù)學(xué)》強(qiáng)調(diào)趣味性，從古代經(jīng)典藝術(shù)作品到21世紀(jì)曠世杰作，涉及音樂、美術(shù)、建筑、雕塑等各個(gè)藝術(shù)學(xué)領(lǐng)域。本書是一本教材，同時(shí)，也是一本通俗讀物，對(duì)提高人們的學(xué)習(xí)興趣和對(duì)藝術(shù)作品的鑒賞能力可能會(huì)有幫助；它會(huì)使人們通曉數(shù)學(xué)和藝術(shù)中美的原則，它們是如此相似；它會(huì)給人們的藝術(shù)活動(dòng)、藝術(shù)創(chuàng)作帶來新的理念、新的方法和更加豐富的創(chuàng)作源泉。本書由馬傳漁、邵進(jìn)、李棟寧編著。
馬傳漁
南京大學(xué)教授，1982～1984年師從法國M.Berger院士在巴黎第七大學(xué)訪問學(xué)習(xí)兩年。1993年獲普通高等學(xué)校優(yōu)秀教學(xué)成果二等獎(jiǎng)，同年被錄入第十五版《Who'swho in theworld》（《世界名人錄》），并享受國務(wù)院政府特殊津貼。曾編著出版《空間解析幾何學(xué)》和5本《微積分》教材，主編出版中小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克科普讀物100余冊(cè)。2004年至今在南京大學(xué)金陵學(xué)院執(zhí)教，任金陵學(xué)院督導(dǎo)委員會(huì)委員。
邵進(jìn)
1969年6月生，江蘇江陰人，南京大學(xué)副研究員，現(xiàn)為南京大學(xué)金陵學(xué)院副院長，教育部全國大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃專家組成員。長期從事高等教育管理研究，承擔(dān)多項(xiàng)國家級(jí)、省級(jí)教學(xué)改革課題。近年來，在《江蘇高教》、《中國大學(xué)教學(xué)》等核心期刊雜志發(fā)表文章數(shù)篇。曾獲得2007年江蘇省高等教育教學(xué)成果特等獎(jiǎng)，2009年第六屆高等教育國家級(jí)教學(xué)成果二等獎(jiǎng)。
李棟寧
1971年7月出生，江蘇南京人，副教授、藝術(shù)學(xué)博士，碩士生導(dǎo)師。發(fā)表學(xué)術(shù)論文20余篇，主持省部級(jí)課題多項(xiàng)。研究方向：電影學(xué)、設(shè)計(jì)學(xué)等。
前言
第1章 黃金數(shù)
1.1黃金分割與體型美
1.2《維納斯》、《蒙娜麗莎》與黃金分割
1.3斐波那契數(shù)的閃光點(diǎn)
1.4黃金數(shù)與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系與應(yīng)用
思考探究題
第2章 音樂與數(shù)學(xué)
2.1音階與261.63Hz
2.2樂聲與y=Asin（ωχ+φ）
2.3曲調(diào)與和諧性原理
2.4“無窮”的藝術(shù)
2.5對(duì)稱美
思考探究題
第3章 黃金圖形
3.1黃金三角形與圖案設(shè)計(jì)
3.2黃金矩形與M.C.Escher的杰作
3.3大自然中迷人的螺線
思考探究題
第4章 圖形藝術(shù)
4.1維數(shù)藝術(shù)
4.2圖形的描繪
4.3視幻覺與不可能圖形
4.4美術(shù)作品與默比烏斯帶
思考探究題
第5章 雪花曲線與鑲嵌藝術(shù)
5.1雪花曲線
5.2互逆運(yùn)算
5.3鑲嵌藝術(shù)
5.4雕塑藝術(shù)
思考探究題
參考文獻(xiàn)
結(jié)束語
第1 章 黃 金 數(shù)
黃金數(shù)是希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯（Eudoxus）發(fā)現(xiàn)的，然而，“黃金”兩個(gè)字則是意
大利著名科學(xué)家、藝術(shù)家達(dá)? 芬奇最早冠以的美稱，黃金數(shù)被當(dāng)作美的信條，統(tǒng)治
著當(dāng)時(shí)歐洲的建筑和藝術(shù)，并且這種影響一直延續(xù)到今天．用φ ＝ 0.618 033 988 ?
和Φ ＝ 1.618 033 618 ? 表示兩個(gè)黃金數(shù)．
1.1 節(jié)引入黃金分割與黃金數(shù)的含義及黃金點(diǎn)的作法．黃金分割與黃金數(shù)有
廣泛的應(yīng)用：人體的黃金分割點(diǎn)能烘托出人的體型美，藝術(shù)作品中的黃金分割點(diǎn)屢
見不鮮．1.2 節(jié)從?維納斯?和?蒙娜麗莎?兩幅作品中，透徹說明黃金數(shù)的應(yīng)用，道
出藝術(shù)與數(shù)學(xué)之間深入的關(guān)系．1.3 節(jié)從園林藝術(shù)花瓣或葉子的數(shù)目引入通常所
指的斐波那契數(shù)列1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8 ，13 ，21 ，34 ，55 ，89 ，? ，該數(shù)列中的數(shù)稱為斐波那
契數(shù)，同時(shí)還給出了數(shù)列極限的各種計(jì)算方法．1.4 節(jié)中的定理1.6 深刻闡明了黃
金數(shù)與斐波那契數(shù)之間的關(guān)系．本節(jié)介紹的探索、歸納法在各個(gè)領(lǐng)域中都是常用
的．另外，本章介紹的斐波那契數(shù)和定理1.6 在股票市場上的應(yīng)用是值得一讀的．
1.1 黃金分割與體型美
意大利數(shù)學(xué)家菲披斯注意到數(shù)學(xué)界不屑一顧的“冷門”――人體的黃金分割．
他認(rèn)為：一般人在人體肚臍上下的長度比值為0.618 ，或者與此比值相近是人體上
下結(jié)構(gòu)的最優(yōu)比例．此外，他發(fā)現(xiàn)，人體結(jié)構(gòu)還有三個(gè)黃金分割點(diǎn)：上肢的分割點(diǎn)在
肘關(guān)節(jié)、肚臍以下的分割點(diǎn)在膝蓋、肚臍以上的分割點(diǎn)在咽喉．如果一個(gè)人各部分
的結(jié)構(gòu)比都符合這個(gè)黃金分割律，那么他的體型就是最標(biāo)準(zhǔn)的．這一發(fā)現(xiàn)為評(píng)價(jià)體
型的優(yōu)劣提供了科學(xué)依據(jù)．
公元前5 世紀(jì)，哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“凡是美的東西，都具有共同的特性，
圖1.1
這就是部分與部分和部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致．”
假定線段A B 上有一個(gè)分點(diǎn)C ，如圖1.1 所示．要使部
分與部分和部分與整體之間協(xié)調(diào)，則有
一部分
另一部分
＝ 另一部分
整體
，
即
BC
A C ＝ A C
A B.
不妨令A(yù) B ＝ 1 ，A C ＝ x（0 ＜ x ＜ 1） ，則
1 - x
x ＝ x
1 ，
整理得x2 + x - 1 ＝ 0 ，解得
x1 ＝ 5 - 1
2 ≈ 0.618 033 988 ，
x2 ＝ - 5 - 1
2 ＝ - 1.618 033 988 ? （舍去）.
線段A B 的這一分割稱為黃金分割，點(diǎn)C 稱為黃金分割點(diǎn)，簡稱黃金點(diǎn)．比值
5 - 1
2 稱為黃金分割比，簡稱黃金比或黃金數(shù)．
記φ ＝ 5 - 1
2 ≈ 0.618 ，則
BC
A C ＝ A C
A B ＝ φ. （1.1）
再記Φ ＝ 1
φ
，則得
Φ ＝ 2
5 - 1
＝ 2（ 5 + 1）
（ 5 - 1）（ 5 + 1）
＝ 5 + 1
2 ≈ 1.618 033 988.
若將（1.1）取倒式，于是有
A C
BC ＝ A B
A C ＝ 1
φ
，
即
A C
BC ＝ A B
A C ＝ Φ. （1.2）
因此，也稱Φ 為黃金數(shù)．
由φ ＝ 5 - 1
2 ，Φ ＝ 5 + 1
2 知
Φ - φ ＝ 1 ，
Φ ? φ ＝ 1.
（1.3）
圖1.2
下面介紹黃金點(diǎn)的作法．
公元前300 年左右，歐幾里得就用圓規(guī)和直尺找
出了線段A B 的黃金分割點(diǎn)C ，如圖1.2 所示．
設(shè)A B ＝ 1 ，過B 作A B 的垂線MB ，取BM ＝ 12
A B
＝ 12
，連接A M ，在A M 上截取DM ＝ BM ＝ 12
，再在
A B 上截取A C ＝ A D ，由于
A C
A B ＝ A D
A B ＝
A M - 12
A B
A B
＝
12 + 12
2
- 12
1 ＝ 5 - 1
2 ≈ 0.618 ，
因此，點(diǎn)C 就是A B 的黃金分割點(diǎn)．
黃金數(shù)在生活中有廣泛的應(yīng)用．在生活中穿衣時(shí)，
下裝長
上裝長+ 下裝長
＝ φ ≈ 0.618.
下面描畫了兩種風(fēng)格稍異的四層女式接裙（圖1.3） ，你覺得哪一種更為可取
呢？ 當(dāng)然，你會(huì)選右邊逐層加深的那種．在那個(gè)設(shè)計(jì)中，每一層與其上一層深度的
比都恰為黃金分割比．
圖1.3
購買衣服時(shí)，
（高檔價(jià)- 低檔價(jià)） × 0.618 + 低檔價(jià)
是合理的價(jià)格．
人的體溫是37 ℃ ，因?yàn)?7 ℃ × 0.618 ≈ 23 ℃ ，所以空調(diào)的溫度調(diào)到23 ℃ ，人
感到最舒服．
彼得? 脫普欽說：“在柏拉圖的時(shí)代里，提出了黃金分割比例Φ ，這個(gè)比例是所
有數(shù)學(xué)關(guān)系中最具約束力者，目前也被視為解答宇宙物理學(xué)之論．”畢達(dá)哥拉斯兄
弟選了5 個(gè)指定的星球作為標(biāo)志，標(biāo)志的每一部分與其次小的部分均維持黃金比
例的關(guān)系．16 世紀(jì)，約翰尼斯? 開普勒寫到黃金分割時(shí)說，它實(shí)際上描述了宇宙
萬物，并且特別以“相似來自相似”作為神所創(chuàng)造的宇宙萬物的象征．
兩個(gè)黃金比Φ 和φ 同三角函數(shù)具有下面的關(guān)系：
（1） 2（sin45°）2 ＝ Φ - φ ；
（2） 4（sin18°）2 ＝ 1 - φ ；
（3） 4（cos36°）2 ＝ 1 + Φ.
早在16 世紀(jì)歐洲文藝復(fù)興時(shí)期，德國畫家丟勒有一幅名作，畫面上僅有一雙
手，但手的中心位置卻不在畫面中央，而是在靠左下3/5（接近0.618）處（圖1.4）.
丟勒（1471 ― 1528）是德國宗教改革運(yùn)動(dòng)時(shí)期著名的油畫家、版畫家、雕塑家、
建筑家，也是一名著名的數(shù)學(xué)家.他的著作?圓規(guī)直尺測(cè)量法?，無論在藝術(shù)界還是
數(shù)學(xué)界，都產(chǎn)生過很大的影響.他發(fā)明的幻方具有深刻的歷史意義和現(xiàn)實(shí)價(jià)值，堪
稱稀世珍品（圖1.5）.
圖1.4
圖1.5
什么叫幻方呢？ n 階幻方就是把1 ，2 ，3 ，? ，n2 排成n 行n 列的一個(gè)數(shù)表，使
得每行每列以及兩條對(duì)角線上n 個(gè)數(shù)之和都等于12
n（n2 + 1） ，并稱此數(shù)為幻和.
丟勒給出的是4 階幻方，幻和為34.
我國古代數(shù)學(xué)家稱幻方為縱橫圖.在公元80 年成書的?大戴禮記?中就有了
3 階幻方的記載，南宋數(shù)學(xué)家楊輝已構(gòu)造出直至10 階的幻方.
在丟勒的4 階幻方中，中心的4 個(gè)數(shù)之和為
10 + 11 + 6 + 7 ＝ 34（幻和）.
四角上的4 個(gè)數(shù)之和
16 + 13 + 4 + 1 ＝ 34（幻和）.
下邊一行中間的兩個(gè)數(shù)15 ，14 合在一起，恰為丟勒作此幻方的年份1514 年.第一
行4 個(gè)數(shù)的平方和加上第三行4 個(gè)數(shù)的平方和是
162 + 32 + 22 + 132 + 92 + 62 + 72 + 122 ＝ 748 ，
它恰好等于第二行4 個(gè)數(shù)的平方和加上第四行4 個(gè)數(shù)的平方和.這一切絕不是偶
然的巧合，這是藝術(shù)家丟勒深厚的數(shù)學(xué)功底的見證.
在20 世紀(jì)雕刻家M.C.Escher（愛舍爾）的下面兩幅作品（圖1.6 ，圖1.7）中，
C 都是線段A B 的黃金點(diǎn)，即
A B
A C ≈ 1.68 ≈ Φ.
圖1.6
?水洼?，M.C.Escher 的木刻畫，作于1952 年．太陽在水中的倒影，樹木在水面
上的反射．圖中的點(diǎn)C 是線段A B 的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)C 垂直向上正對(duì)著粗壯有
力的樹干．畫面上留下的腳印和車輪印具有濃厚的生活氣息
圖1.7
M.C.Escher 于1931 年的石板畫作品，意大利南部卡拉布里亞?羅馬帝國?．畫
面上粗壯雄偉樹干所在處的點(diǎn)C 恰好是線段A B 的黃金分割點(diǎn)
2011 年4 月29 日，英國威廉王子和平民女子凱特在英國倫敦威斯敏斯特大
教堂舉行盛大婚禮，成為英國王室瑰麗的花朵．美國藝術(shù)家喬治? 維爾希耗時(shí)80
小時(shí)制作一幅威廉?凱特蝕刻素描肖像，如圖1.8 所示．
圖1.8
在這幅肖像圖中，A B ＝ 73.5 cm ，A C ＝ 48 cm ，
A B
A C ＝ 73.5
48 ≈ 1.53 ，
比較接近黃金數(shù)Φ ≈ 1.618.點(diǎn)C 對(duì)上去的位置正好是凱特筆直高挺的鼻尖之處，
不管這是否是藝術(shù)家刻意安排的黃金分割點(diǎn)，還是偶然的巧合，現(xiàn)實(shí)的效果賦予人
們的是如此美妙和絢麗．
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