本書是為學習數學分析課程的學生、從事數學分析教學與研究的讀者而編寫的。全書共分為七章，系統地把數學分析中的重要定理總結和歸納為微積分基本定理、微分中值定理、積分中值定理、積分關系定理、極限關系定理、閉區間上連續函數的性質定理、實數連續性（完備性）定理七類進行研究。
全書從定理的歷史演變分析、定理的內容與證明分析、定理的幾何意義與條件結論分析、定理間的相互關系分析、定理的應用分析、定理的推廣分析等角度展開研究。
前言
“數學分析”作為數學類各專業的基礎與主干課程，其理論體系的嚴密性與邏輯性很強，其中定理是數學分析理論體系中的重要內容。定理的歷史演變、內容與證明、現實意義、相互關系、應用與推廣，值得每一位教學研究人員和學習者深入研究和探討。
筆者在多年的數學分析教學與研究實踐中，一直關注著上述問題，積累了許多相關的資料，并進行了深入的思考，逐漸理清了數學分析定理研究的大致框架和基本思路。首先，對前人大量的研究成果進行了認真的歸納、整理、分析，對研究、認知、教學、學習等過程開展了認真的挖掘、分析、實踐；然后，對數學分析中的重要定理進行了分類，力求全面化、系統性、思辨性，使其既符合科學研究過程的一般規律，又符合教學認知過程的一般規律。
按照這樣的思路，本書把數學分析中的重要定理總結和歸納為微積分基本定理、微分中值定理、積分中值定理、積分關系定理、極限關系定理、閉區間上連續函數的性質定 前言
“數學分析”作為數學類各專業的基礎與主干課程，其理論體系的嚴密性與邏輯性很強，其中定理是數學分析理論體系中的重要內容。定理的歷史演變、內容與證明、現實意義、相互關系、應用與推廣，值得每一位教學研究人員和學習者深入研究和探討。
筆者在多年的數學分析教學與研究實踐中，一直關注著上述問題，積累了許多相關的資料，并進行了深入的思考，逐漸理清了數學分析定理研究的大致框架和基本思路。首先，對前人大量的研究成果進行了認真的歸納、整理、分析，對研究、認知、教學、學習等過程開展了認真的挖掘、分析、實踐；然后，對數學分析中的重要定理進行了分類，力求全面化、系統性、思辨性，使其既符合科學研究過程的一般規律，又符合教學認知過程的一般規律。
按照這樣的思路，本書把數學分析中的重要定理總結和歸納為微積分基本定理、微分中值定理、積分中值定理、積分關系定理、極限關系定理、閉區間上連續函數的性質定理、實數連續性（完備性）定理七類。對每類定理從定理的歷史演變、定理的證明方法、定理的相關內容分析（包含定理的幾何現實意義、定理的條件與結論、定理間的相互關系等）、定理的應用范疇、定理的推廣方法五個側面展開細致的研究。本書是基于數學方法論、數學教學論、數學研究的基本方法等理論依據編寫的。
書中對定理的歷史演變分析，力求體現歷史發展的原本過程；對定理的證明方法，力求體現多樣化；對定理的相關內容分析，力求密切聯系教學實際；對定理的應用范疇，力求體現典型、豐富；對定理的推廣方法，力求體現啟發性與研究性。書中題量較大、題型豐富，參考文獻詳細，不僅可作為教學研究的輔導材料，也可作為數學分析的學習指南和復習考研的參考書。
最后，衷心感謝電子工業出版社趙玉山老師和相關編輯人員的辛勤工作，感謝我們的兩個研究生呂海玲、于金倩老師為書稿校對所做的工作，正是他們的努力，才能使本書得以早日出版。
由于水平有限，成書倉促，書中一定還有不少缺點和錯誤，懇請廣大讀者批評指正。
楊艷萍，棗莊學院副教授，山東省數學教育理事會副會長，山東省教學名師。出版過《數學分析的思想與方法》等著作。
第1章 微積分基本定理
1.1 微積分基本定理的歷史演變
1.1.1 微積分基本定理的發現階段
1.1.2 微積分基本定理的創立階段
1.1.3 微積分基本定理的完善階段
1.2 微積分基本定理的內容與證明
1.2.1 微積分第一基本定理及其證明
1.2.2 微積分第二基本定理及其證明
1.3 微積分基本定理的相關內容分析
1.3.1 微積分基本定理的條件與結論
1.3.2 微積分基本定理的意義與作用
1.3.3 兩種形式微積分基本定理之間的關系
1.3.4 微積分基本定理與其他定理之間的關系
1.4 微積分基本定理的應用
1.4.1 求含有變限積分函數的導數
第1章 微積分基本定理
1.1 微積分基本定理的歷史演變
1.1.1 微積分基本定理的發現階段
1.1.2 微積分基本定理的創立階段
1.1.3 微積分基本定理的完善階段
1.2 微積分基本定理的內容與證明
1.2.1 微積分第一基本定理及其證明
1.2.2 微積分第二基本定理及其證明
1.3 微積分基本定理的相關內容分析
1.3.1 微積分基本定理的條件與結論
1.3.2 微積分基本定理的意義與作用
1.3.3 兩種形式微積分基本定理之間的關系
1.3.4 微積分基本定理與其他定理之間的關系
1.4 微積分基本定理的應用
1.4.1 求含有變限積分函數的導數
1.4.2 求含有變限積分函數的極限
1.4.3 求含有變限積分的函數方程的解
1.4.4 討論含變限積分函數的性質
1.4.5 構造變限積分輔助函數，證明等式與不等式
1.4.6 利用微積分基本定理證明數學分析中的重要定理
1.4.7 利用牛頓萊布尼茨公式計算定積分
1.5 微積分基本定理的推廣
1.5.1 原函數存在定理的推廣
1.5.2 變限積分求導公式的推廣
1.5.3 牛頓萊布尼茨公式的推廣
參考文獻
第2章 微分中值定理
2.1 微分中值定理的歷史演變
2.1.1 對微分中值定理的初步認識
2.1.2 羅爾中值定理的演變
2.1.3 拉格朗日中值定理的演變
2.1.4 柯西中值定理的演變
2.1.5 泰勒中值定理的演變
2.2 微分中值定理的內容與證明
2.2.1 羅爾中值定理及其證明
2.2.2 拉格朗日中值定理及其證明
2.2.3 柯西中值定理及其證明
2.2.4 泰勒中值定理及其證明
2.3 微分中值定理的相關內容分析
2.3.1 微分中值定理的背景
2.3.2 微分中值定理的條件與結論
2.3.3 微分中值定理的意義與作用
2.3.4 四個微分中值定理之間的關系
2.3.5 微分中值定理的中值點
2.4 微分中值定理的應用
2.4.1 羅爾中值定理的應用
2.4.2 拉格朗日中值定理的應用
2.4.3 柯西中值定理的應用
2.4.4 泰勒中值定理的應用
2.5 微分中值定理的推廣
2.5.1 羅爾中值定理的推廣
2.5.2 拉格朗日中值定理的推廣
2.5.3 柯西中值定理的推廣
參考文獻
第3章 積分中值定理
3.1 積分中值定理的歷史演變
3.2 積分中值定理的內容與證明
3.2.1 積分第一中值定理及其證明
3.2.2 推廣的積分第一中值定理及其證明
3.2.3 積分第二中值定理及其證明
3.2.4 加強條件的積分第二中值定理及其證明
3.3 積分中值定理的相關內容分析
3.3.1 積分中值定理的幾何意義
3.3.2 積分中值定理的條件與結論
3.3.3 微分中值定理與積分中值定理之間的關系
3.3.4 積分中值定理的中值點
3.4 積分中值定理的應用
3.4.1 估計某些定積分的值
3.4.2 求含有積分的極限
3.4.3 證明含有積分的不等式
3.4.4 證明含有中值點的積分問題
3.4.5 討論含積分函數的收斂性與單調性
3.5 積分中值定理的改進與推廣
3.5.1 積分中值定理的改進
3.5.2 積分第一中值定理的推廣
3.5.3 積分第二中值定理的推廣
參考文獻
第4章 積分關系定理
4.1 積分關系定理的歷史演變
4.2 積分關系定理的內容與證明
4.2.1 格林公式及其證明
4.2.2 高斯公式及其證明
4.2.3 斯托克斯公式及其證明
4.3 積分關系定理的相關內容分析
4.3.1 各類積分的起源與幾何意義
4.3.2 各類積分之間的關系
4.3.3 各類積分之間的轉化
4.3.4 四個積分公式之間的關系
4.3.5 四個積分公式的統一形式
4.4 積分關系定理的應用
4.4.1 格林公式的應用
4.4.2 高斯公式的應用
4.4.3 斯托克斯公式的應用
4.5 積分關系定理的推廣
4.5.1 格林公式的推廣
4.5.2 高斯公式的推廣
4.5.3 斯托克斯公式的推廣
參考文獻
第5章 極限關系定理
5.1 海涅定理的歷史演變
5.2 海涅定理的內容與證明
5.3 海涅定理的相關內容分析
5.3.1 海涅定理的條件與結論
5.3.2 海涅定理的意義與作用
5.4 海涅定理的應用
5.4.1 證明函數極限不存在
5.4.2 證明函數極限的性質
5.4.3 求數列的極限
5.4.4 判斷級數的斂散性
5.4.5 判斷函數的可導性
5.4.6 證明函數為常量函數
5.5 海涅定理的推廣
5.5.1 把任意數列 推廣為單調數列
5.5.2 把 存在極限 推廣為非正常極限
5.5.3 把函數極限存在推廣為函數連續及單側連續
5.5.4 把任意數列 推廣為有理（無理）數列
5.5.5 把函數極限存在推廣為含參變量廣義積分一致收斂
參考文獻
第6章 閉區間上連續函數的性質定理
6.1 閉區間上連續函數性質定理的歷史演變
6.2 閉區間上連續函數性質定理的內容與證明
6.2.1 有界性定理及其證明
6.2.2 最值性定理及其證明
6.2.3 零點存在定理及其證明
6.2.4 介值性定理及其證明
6.2.5 一致連續性定理及其證明
6.3 閉區間上連續函數性質定理的相關內容分析
6.3.1 閉區間上連續函數性質定理的理解
6.3.2 閉區間上連續函數性質定理的幾何意義
6.3.3 閉區間上連續函數性質定理的條件與結論
6.3.4 閉區間上連續函數性質定理的統一表述
6.4 閉區間上連續函數性質定理的推廣
6.4.1 有界性定理的推廣
6.4.2 最值性定理的推廣
6.4.3 零點存在定理的推廣
6.4.4 介值性定理的推廣
6.4.5 一致連續性定理的推廣
6.5 閉區間上連續函數性質定理的應用
6.5.1 有界性定理的應用
6.5.2 最值性定理的應用
6.5.3 零點存在定理的應用
6.5.4 介值性定理的應用
6.5.5 一致連續性定理的應用
參考文獻
第7章 實數連續性（完備性）定理
7.1 實數連續性定理的歷史演變
7.2 實數連續性定理的內容與證明
7.2.1 確界存在定理及其證明
7.2.2 單調有界定理及其證明
7.2.3 柯西收斂準則及其證明
7.2.4 區間套定理及其證明
7.2.5 聚點定理及其證明
7.2.6 致密性定理及其證明
7.2.7 有限覆蓋定理及其證明
7.3 實數連續性定理的相關內容分析
7.3.1 實數連續性定理的條件與結論
7.3.2 實數連續性定理的內在聯系及等價性
7.3.3 實數連續性定理所提供的數學方法
7.3.4 實數連續性定理所提供的工具
7.4 實數連續性定理的推廣
7.4.1 確界存在定理的推廣
7.4.2 單調有界定理的推廣
7.4.3 柯西收斂準則的推廣
7.4.4 區間套定理的推廣
7.4.5 聚點定理的推廣
7.4.6 致密性定理的推廣
7.4.7 有限覆蓋定理的推廣
7.5 實數連續性定理的應用
7.5.1 確界存在定理的應用
7.5.2 單調有界定理的應用
7.5.3 柯西收斂準則的應用
7.5.4 區間套定理的應用
7.5.5 聚點定理的應用
7.5.6 致密性定理的應用
7.5.7 有限覆蓋定理的應用
參考文獻
總參考文獻
新書資訊