本教材主要內容包含了復變函數引論、傅里葉變換、拉普拉斯變換、用分離變量法求解偏微分方程、二階線性常微分方程的級數解法和傅里葉級數、柱面坐標中的偏微分方程解法、球面坐標中的偏微分方程解法、無界區域的定解問題、格林函數法求解數理方程。本教材以電子、信息類學生為主要編寫對象，適合作為電子科學類、電子工程、通訊工程專業及應用物理偏電類專業的學生的數學物理方法教材。
在現代科學技術飛速發展的今天,不但要求學生的知識面寬,而且對知識的深度也提出了更高的要求.例如,電子科學技術中有大量的小尺寸器件,要了解它們的特性,就需要解二維甚至三維的偏微分方程;對電子工程中的射頻電路和高速電路設計中的各種形狀的傳輸線、微帶線和微波器件進行定量分析,至少要解二維偏微分方程.因此,電類學生掌握數學物理方法有利于學習和工作.另一方面,傳統的數學物理方法內容以介紹力學為主,對于電學問題的處理基本上局限于對電動力學的基本方程處理,與器件和電路結合較少.同時,教材選用的內容范圍過寬,這樣做的優點是使學生了解了所有的相關內容,缺點是內容深度不夠.這些情況導致一般的數理方法教材與電類學生所學的專業內容不匹配,學生無法在專業知識中運用數學物理方法.編者是專業課教師,兼任數學物理方法課程的教學,到目前為止,編者的主要工作仍然是專業課的教學.也正因為如此,編者深感數學物理方法課程改革的必要性,并希望把這種想法貫穿到教材中去,為此,編寫了這本適合工科學生使用的教材.本教材有以下特點:１．主要內容包含了復變函數引論、傅里葉變換、拉普拉斯變換、數學物理方程的分離變量法、積分變換法、特征線法、格林函數法,引用了數學物理當中的漸進方法.考慮到有的專業已不再選學復變函數,從第２章起的內容刪除了與復變函數結合得過于緊密的內容,課時少的專業只要刪除少量例題即可直接從傅里葉變換開始教學,對數學物理方法內容的掌握沒有任何影響.２．電子科學、電子工程和通訊工程專業的學生在后續課程學習中要接觸到大量的特殊函數與電磁波理論,因此,本教材以６０％以上的篇幅講述了貝塞爾函數與勒讓德函數的性質及其應用、波動方程的解法以及廣義傅里葉級數,并以單獨的一章列出了二階線性常微分方程的級數解法,讓讀者熟悉與其他特殊函數相關的微分方程的解法.本教材的內容都是電類學生在后續課程學習和實際工作中遇到的數學難點和重點.３．由于學時數的減少,教師在課堂上不能大量地講解推導過程和例題,本教材非常詳細地推導了相關的核心定理,每個定理都給出了足夠的例題以深化學生對定理的認識,便于學生在課后自學.同時,盡量解釋了偏微分程應用的物理背景.由于此特點,本教材尤為適用于普通本科院校學生以及教學課時較少的重點院校的學生.Ⅲ數學物理方法 第２版４．本教材還給出了編者在科研和實際工作中所遇到的一些數學物理方程,以及處理方法.通過對這些內容的學習,讀者可以快速掌握在實際工作中數學物理方法的運用.５．為了配合教材使用,制作了課件.由于以上嘗試和創新,本教材被評為普通高等教育“十一五”國家級規劃教材.本教材承盛昭瀚教授和倪明放教授審稿.手稿的初期錄入由研究生梅振飛、劉梅、徐太龍、張本營、吳昊、蔣先偉、王詩兵、方淼、張明、趙宇浩、魯世斌、張興建、周杰、劉萍、黃智、張婷、胡媛完成,尤其是梅振飛在錄入書稿中做了大量的工作.孫玉發教授、朱軍教授、李國祥副教授曾閱讀了教材部分初稿,并就電子工程和通信工程中所遇到的數理方法問題處理提出了寶貴建議.孟堅副教授也參加了本教材的編寫工作.在此,對以上所有的人表示衷心的感謝.由于水平和經驗的限制,書中難免有欠妥之處,懇請讀者批評指正.編 者
目 錄
前 言
第１章 復變函數引論 １
１.１ 復數與復變函數 １
１.１.１ 復數表示法 ２
１.１.２ 復數的運算規則 ３
１.１.３ 復變函數的概念 ５
１.１.４ 復多項式與復變函數的冪級數 １０
１.２ 初等復變函數與反函數 １４
１.２.１ 初等復變函數的定義 １４
１.２.２ 指數函數、三角函數與雙曲函數 １５
１.２.３ 反函數 １９
１.３ 復變函數的導數與解析函數 ２３
１.３.１ 復變函數的導數與解析函數的定義 ２３
１.３.２ 柯西Ｇ黎曼方程 ２６
１.３.３ 多值函數的解析延拓 ２９
１.４ 復變函數的積分 ３２
１.４.１ 復變函數積分的概念和計算 ３２
１.４.２ 柯西古薩定理 ３５
１.４.３ 復變函數的原函數與積分 ３７
１.５ 解析函數的高階導數和泰勒級數 ４１
１.５.１ 解析函數的高階導數 ４１
１.５.２ 泰勒級數 ４６
１.６ 羅朗級數與留數 ４９
１.６.１ 羅朗級數 ５０
１.６.２ 留數和圍道積分 ５４
１.６.３ 留數的簡便求法 ５７
１.７ 留數在定積分計算中的應用 ５８
１.７.１ ∫２π
０
f(cosθ,sinθ)dθ型積分 ６０
Ⅴ
數學物理方法 第２版
１.７.２ ∫＋∞
－∞
f(x)dx型積分 ６１
１.７.３ ∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型積分 ６２
１.７.４ ∫＋∞
－∞
f(x)dx型積分,且f(x)在實軸上有一階極點的積分 ６３
１.７.５ ∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型積分,且f(x)在實軸上有一階極點的積分 ６４
習題１ ６４
第２章 傅里葉變換 ６９
２.１ 函數空間及函數展開 ６９
２.１.１ 函數的內積 ６９
２.１.２ 平方可積函數空間與函數展開 ７３
２.２ 傅里葉積分與傅里葉變換 ７８
２.２.１ 一維傅里葉變換定理 ７８
２.２.２ 多維傅里葉變換 ８３
２.３ 階躍函數與δ函數的傅里葉變換 ８４
２.３.１ 階躍函數及廣義傅里葉變換 ８４
２.３.２ 廣義函數及δ(x)函數 ８８
２.３.３ δ(x)函數的性質 ９２
２.４ 傅里葉變換的性質 ９８
２.５ 函數的卷積與傅里葉變換的卷積定理 １０３
２.５.１ 函數的卷積 １０３
２.５.２ 傅里葉變換的卷積定理 １０６
２.６ 復值函數的傅里葉變換 １０８
習題２ １０９
第３章 拉普拉斯變換 １１３
３.１ 拉普拉斯變換的基本原理 １１３
３.１.１ 拉普拉斯變換的概念 １１３
３.１.２ 周期脈沖函數拉普拉斯變換的計算方法 １１７
３.２ 拉氏變換的性質 １１８
３.３ 拉氏變換的卷積定理 １２６
３.３.１ 卷積的意義和它的運算規則 １２６
３.３.２ 卷積定理 １２７
３.４ 拉氏逆變換及其應用 １３０
Ⅵ
目 錄
３.４.１ 拉氏逆變換的反演積分原理 １３０
３.４.２ 用拉氏逆變換解常微分方程 １３３
習題３ １３８
第４章 用分離變量法求解偏微分方程 １４０
４.１ 數學物理方程的導出 １４０
４.２ 定解問題的基本概念 １４６
４.２.１ 泛定方程的基本概念 １４６
４.２.２ 定解條件 １４９
４.２.３ 線性偏微分方程解的疊加定理 １５１
４.３ 直角坐標系下的分離變量法 １５３
４.３.１ 一維齊次定解問題的分離變量法 １５３
４.３.２ 高維齊次定解問題的分離變量法 １５９
４.４ 直角坐標系下的第三類邊值問題與廣義傅里葉級數 １６１
４.４.１ 直角坐標系下的第三類邊值問題的求解 １６１
４.４.２ 廣義傅里葉級數 １６４
４.５ 拉普拉斯方程的定解問題 １６７
４.５.１ 平面直角坐標系中的狄利克萊問題 １６７
４.５.２ 直角坐標系中拉普拉斯方程的混合定解問題 １６９
４.５.３ 圓域內的狄利克萊問題 １７１
４.６ 特征函數展開法解齊次邊界條件的定解問題 １７４
４.６.１ 齊次邊界條件發展方程初值問題的解法 １７５
４.６.２ 非齊次邊界條件邊值問題的解法 １７７
４.７ 非齊次邊界條件的處理 １８０
習題４ １８４
第５章 二階線性常微分方程的級數解法和廣義傅里葉級數 １８８
５.１ 貝塞爾方程與勒讓德方程 １８８
５.１.１ 貝塞爾方程的導出 １８９
５.１.２ 勒讓德方程的引入 １９１
５.２ 二階線性常微分方程的冪級數解法 １９３
５.２.１ 二階線性常微分方程的奇點與常點 １９３
５.２.２ 二階線性常微分方程的冪級數解 １９４
５.３ 二階線性常微分方程的廣義冪級數解法 １９８
５.３.１ 弗羅貝尼烏斯解法理論 １９８
５.３.２ 弗羅貝尼烏斯級數解法 ２０２
Ⅶ
數學物理方法 第２版
５.４ 常微分方程的邊值問題 ２０７
５.４.１ 常微分方程邊值問題的提出 ２０７
５.４.２ SL問題的定理 ２１０
５.４.３ 廣義傅里葉級數的進一步討論 ２１３
習題５ ２１７
第６章 柱面坐標中的偏微分方程解法 ２１９
６.１ 貝塞爾方程的解與貝塞爾函數 ２１９
６.１.１ 第一類和第二類貝塞爾函數 ２１９
６.１.２ 整數階諾依曼函數 ２
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