本書是為適應(yīng)高等學(xué)校理工科和經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的教學(xué)需要而編寫的教材，內(nèi)容包括：線性方程組與矩陣、方陣的行列式、矩陣與向量的運(yùn)算、向量組與向量空間、矩陣的特征值與特征向量、二次型、Matlab軟件在線性代數(shù)中的應(yīng)用。每節(jié)內(nèi)穿插有例題、練習(xí)題，每章末附有習(xí)題。書末附錄包括用逆序法定義行列式的值及習(xí)題參考解答。
本書注意理論和實(shí)際相結(jié)合，選材適當(dāng)，體系新穎，論述嚴(yán)謹(jǐn)，條理清楚，對(duì)概念的解釋透徹并具有一定的可讀性，便于教學(xué)和學(xué)生自學(xué)。
本書可作為高等學(xué)校理工類與經(jīng)濟(jì)類本、專科“線性代數(shù)”課程的教材用書。
本書以線性方程組為切入點(diǎn)，由線性方程組及高斯消元法引進(jìn)矩陣及其初等變換的概念；第2章在行列式性質(zhì)的證明中，強(qiáng)調(diào)了矩陣初等變換的作用，這使得矩陣及其初等變換背景清晰，加強(qiáng)了矩陣和行列式的聯(lián)系；向量線性相關(guān)性，是讀者較難理解的概念，本書中加了一個(gè)直觀性較強(qiáng)的引例，同時(shí)將矩陣秩的性質(zhì)較多地用在了線性相關(guān)性問題的討論中，降低了理解上的難度；將向量的內(nèi)積運(yùn)算與矩陣乘法放在了一起，以期引起讀者對(duì)二者關(guān)聯(lián)性的注意；將向量空間改放在第4章，一方面利用了向量空間基與維數(shù)與向量組最大無關(guān)組和秩的相似性，敘述上簡(jiǎn)略一些，另一方面也便于敘述線性方程組解的理論，突出了向量空間的實(shí)用性。以上考慮，較少見于國(guó)內(nèi)同類教材。每一章的最后，都給出了一個(gè)與內(nèi)容有聯(lián)系的閱讀材料，以增加本書的可讀性，也希望讀者能夠?qū)�性代數(shù)的問題感興趣。一些定理的證明和一些拓展性的內(nèi)容，書中用小字排列、初學(xué)者可以略去，不影響對(duì)其他內(nèi)容的理解。
前言
第1章 線性方程組與矩陣
1.1 線性方程組
1.1.1 線性方程組的概念
1.1.2 非齊次線性方程組的解法
1.1.3 齊次線性方程組的解法
1.2 矩陣與向量
1.2.1 矩陣與向量的概念
1.2.2 矩陣的初等變換
1.3 閱讀材料經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的線性模型
1.3.1 價(jià)格平衡模型
1.3.2 投入產(chǎn)出模型
習(xí)題1
第2章 方陣的行列式
2.1 n階行列式的定義
2.2 n階行列式的性質(zhì)
2.2.1 代數(shù)余子式展開性質(zhì)
2.2.2 初等變換性質(zhì)
2.3 行列式的計(jì)算舉例
2.4 行列式的應(yīng)用
2.4.1 矩陣的秩
2.4.2 克拉默法則
2.5 閱讀材料行列式的歷史與發(fā)展
習(xí)題2
第3章 矩陣與向量的運(yùn)算
3.1 矩陣與向量的線性運(yùn)算
3.1.1 矩陣的加法和數(shù)乘
3.1.2 向量的加法和數(shù)乘
3.2 矩陣的乘法
3.2.1 矩陣乘法的定義
3.2.2 矩陣乘法的性質(zhì)
3.2.3 方陣的冪與方陣的多項(xiàng)式
3.3 向量的內(nèi)積與向量的正交性
3.3.1 向量的內(nèi)積
3.3.2 向量的正交性與正交矩陣
3.4 逆矩陣
3.4.1 逆矩陣的概念
3.4.2 初等變換求逆矩陣
3.4.3 利用逆矩陣求解矩陣方程
3.5 矩陣的分塊
3.5.1 分塊矩陣及其運(yùn)算法則
3.5.2 一些特殊的分塊方法
3.6 閱讀材料矩陣乘法的兩個(gè)應(yīng)用
3.6.1 矩陣乘法在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的一個(gè)應(yīng)用
3.6.2 賭徒輸光問題
習(xí)題3
第4章 向量組與向量空間
4.1 向量組的線性相關(guān)性
4.1.1 引例
4.1.2 向量組的線性相關(guān)性
4.2 向量組的秩
4.2.1 向量組的相互線性表示
4.2.2 向量組的最大線性無關(guān)向量組與向量組的秩
4.2.3 矩陣的行秩與列秩,向量組秩的求法
4.3 向量空間
4.3.1 向量空間和子空間
4.3.2 向量空間的基與維數(shù)
4.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)
4.4.1 齊次線性方程組
4.4.2 非齊次線性方程組
4.5 閱讀材料線性方程組的應(yīng)用
4.5.1 化學(xué)反應(yīng)方程式的平衡
4.5.2 網(wǎng)絡(luò)流的管理
習(xí)題4
第5章 矩陣的特征值與特征向量
5.1 特征值和特征向量
5.2 相似矩陣與矩陣的對(duì)角化
5.2.1 相似矩陣的概念
5.2.2 矩陣的對(duì)角化
5.3 施密特正交化方法與實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化
5.3.1 施密特正交化方法
5.3.2 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化
5.4 閱讀材料矩陣對(duì)角化的兩則應(yīng)用
5.4.1 人口遷移問題
5.4.2 線性微分方程組求解
習(xí)題5
第6章 二次型
6.1 二次型及其矩陣表示
6.2 二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形
6.2.1 正交變換法
6.2.2 初等變換法和配方法
6.2.3 慣性定理
6.3 正定二次型與正定矩陣
6.4 閱讀材料主成分分析法
習(xí)題6
第7章 Matlab軟件在線性代數(shù)中的應(yīng)用
7.1 Matlab軟件基本介紹
7.1.1 Matlab的安裝和啟動(dòng)
7.1.2 命令窗口與文本編輯窗口的使用
7.1.3 數(shù)組
7.1.4 循環(huán)語句介紹
7.2 用Matlab求解線性代數(shù)中的問題
7.2.1 行列式的計(jì)算
7.2.2 矩陣的基本運(yùn)算
7.2.3 矩陣的初等變換及矩陣的秩
7.2.4 求解線性方程組
7.2.5 求矩陣的特征值和特征向量
7.2.6 將實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化
7.2.7 二次型的簡(jiǎn)化與正定化
附錄A 用逆序法定義行列式的值
附錄B 習(xí)題參考解答
參考文獻(xiàn)
第1 章線性方程組與矩陣
線性方程組是各個(gè)方程關(guān)于未知量均為一次的方程組.對(duì)線性方程組的研究,是線性代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容,也是科學(xué)計(jì)算中最常遇到的問題.例如,在應(yīng)力分析、分子結(jié)構(gòu)、電路分析和測(cè)量學(xué)中都會(huì)遇到線性代數(shù)方程組的求解問題.在數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法中,大量的問題,如最小二乘法、三次樣條函數(shù)插值、微分方程邊值問題的有限元法、差分法等,也都涉及線性方程組的求解.
在線性代數(shù)中,線性方程組的求解和矩陣及矩陣初等變換的理論密切相關(guān).本章首先給出求解線性方程組的一個(gè)重要方法――高斯消元法,然后引進(jìn)矩陣和矩陣初等變換的概念,并利用矩陣初等變換的方法討論線性方程組的求解.
1.1 線性方程組
1.1.1 線性方程組的概念
n個(gè)自變量x1,x2,,xn的線性方程通常表示為
???
a1x1+a2x2++anxn=b,
???
其中系數(shù)a1,a2,,an和b為已知實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù),b稱為常數(shù)項(xiàng),n為任意正整數(shù).m個(gè)方
???
程構(gòu)成的方程組
..
. .
.
a11x1+a12x2++a1nxn=b1
???
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
??? (1.1.1)
??????
am1x1+am2x2++amnxn=bm
???
稱為一個(gè)線性代數(shù)方程組,其中,aij表示第i個(gè)方程中第j個(gè)自變量xj的系數(shù),i=1,2,,m,j=1,2,,n,bi為第i個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng).
??? 當(dāng)常數(shù)項(xiàng)b1,b2,??? ,bm全為零時(shí),方程組(1.1.1)中所有項(xiàng)均為一次項(xiàng),方程組變?yōu)???
..
. .
.
a11x1+a12x2++a1nxn=0
???
a21x1+a22x2++a2nxn=0
??? , (1.1.2)
??????
am1x1+am2x2++amnxn=0
???
式(1.1.2)稱為方程組(1.1.1)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組,相應(yīng)的式(1.1.1)稱為非齊次線性方程組.
例1.1.13個(gè)自變量的線性方程組
3x1. 7x2+7x3=.5 x1 . 3x2+4x3=.44x1. 6x2+2x3=4
第1 章線性方程組與矩陣
..
. .
.
3x1. 7x2+7x3=0x1. 3x2+4x3=0.4x1. 6x2+2x3=0
定義1.1.1(方程組的解)當(dāng)將方程組中的未知量x1,x2,,xn用一組常數(shù)c1,
???
c2,,cn代替時(shí),若方程組兩邊的值相等,則稱c1,c2,,cn是方程組的一組解.
??????
當(dāng)方程組(1.1.1)有解時(shí),稱方程組是相容的,否則稱方程組不相容.
對(duì)給定的一個(gè)線性方程組,它的解可能①有唯一解;②有無窮解;③無解.對(duì)于3個(gè)未知量,3個(gè)
方程的情形,每個(gè)方程表示一個(gè)平面.當(dāng)方程組有唯一解時(shí),表示3個(gè)平面有唯一的交點(diǎn);方程組有
無窮多解時(shí),表示3個(gè)平面重合或交于一條直線;方程組無解時(shí),則表示3個(gè)平面沒有共同的交點(diǎn).
線性方程組的所有解構(gòu)成的集合,稱為方程組的解集.如果兩個(gè)線性方程組有相同的解集,稱這兩個(gè)方程組是等價(jià)方程組,或稱同解方程組.
求解線性方程組的方法,是利用同解變換的方法,將線性方程組化為相對(duì)較簡(jiǎn)單的同解方程組,逐步簡(jiǎn)化以得出線性方程組的解.
1.1.2 非齊次線性方程組的解法
設(shè)線性方程組(1.1.1)是相容的,下面介紹解線性方程組的基本方法――高斯消元法.
例1.1.2求解線性方程組
..
. .
.
3x1. 7x2+7x3=.5 x1 . 3x2+4x3=.4.4x1. 6x2+2x3=4
解將第一個(gè)方程與第二個(gè)方程對(duì)調(diào)位置,使對(duì)調(diào)后的第一個(gè)方程中x1的系數(shù)為
1, 得到
..
. .
.
x1 . 3x2+4x3=.43x1. 7x2+7x3=.5.(1.1.3)4x1. 6x2+2x3=4
為了消去第二、三個(gè)方程中的x1項(xiàng),將第一個(gè)方程的兩邊乘以.3加到第二個(gè)方程上,兩邊乘以.4 加到第三個(gè)方程上, 得
..
. .
.
x1 . 3x2+4x3=.42x2 . 5x3 =7.(1.1.4)6x2. 14x3=20
消去式(1.1.4)中第三個(gè)方程的x2項(xiàng),為此,將第二個(gè)方程兩端乘以.3 后加到第三個(gè)方
程上, 得
x1 . 3x2+4x3=.42x2. 5x3=7.(1.1.5)x3=.1
1.1 線性方程組3
??
可以看到,式(1.1.3)~式(1.1.5)都是同解方程組,但式(1.1.5)的求解卻要容易得多,形如式(1.1.5)的方程組稱為梯形方程組(echelonformlinearsystem).由方程組(1.1.5)逐步回代,可以順次解出
x3 = .1,x2=1,x1=3.(1.1.6)
上述解題過程中,對(duì)線性方程組施行的變換稱為對(duì)線性方程組的初等變換(elementaryoperation).歸納起來,對(duì)線性方程組施行的初等變換共有三種：
I.交換任意兩個(gè)方程的位置,第i個(gè)方程和第j個(gè)方程相交換,記作Li. Lj ;
II.以非零常數(shù)λ乘以某一個(gè)方程的兩邊,第i個(gè)方程兩端乘以常數(shù)λ,記作λLi;
III.以常數(shù)k乘以第j個(gè)方程后加到第i個(gè)方程上,記作Li+kLj.這三種類型的初等變換均不改變線性方程組的解.利用方程組的初等變換將方程組化為梯形方程組的過程稱為消元過程,由梯形方程
新書資訊