《物理學中的群論》第三版分兩篇出版, 《物理學中的群論――李代數篇》是李代數篇, 但仍包含有限群的基本知識. 《物理學中的群論――李代數篇》從物理問題中提煉出群的概念和群的線性表示理論, 通過有限群群代數的不可約基介紹楊算符和置換群的表示理論, 引入標量場、矢量場、張量場和旋量場的概念及其函數變換算符, 以轉動群為基礎解釋李群和李代數的基本知識和半單李代數的分類, 在介紹單純李代數不可約表示理論的基礎上, 推廣蓋爾范德方法, 講解單純李代數**權表示生成元、表示矩陣元的計算和狀態基波函數的計算. 《物理學中的群論――李代數篇》附有習題, 與《物理學中的群論――李代數篇》配套的《群論習題精解》涵蓋了習題解答.
《物理學中的群論――李代數篇》適合作為粒子物理、核物理和原子物理等專業研究生的群論教材或參考書, 也可供青年理論物理學家自學群論參考.
第1章 群的基本概念
1.1 對稱
1.2 群及其乘法表
1.2.1 群的定義
1.2.2 子群
1.2.3 正N邊形對稱群
1.2.4 置換群
1.3 群的各種子集
1.3.1 陪集和不變子群
1.3.2 共軛元素和類
1.3.3 群的同態關系
1.3.4 群的直接乘積
1.4 正四面體和立方體對稱變換群
習題1
第2章 群的線性表示理論
2.1 群的線性表示
2.1.1 線性表示的定義
2.1.2 群代數和有限群的正則表示
2.1.3 類算符
2.2 標量函數的變換算符
2.3 等價表示和表示的幺正性
2.3.1 等價表示
2.3.2 表示的幺正性
2.4 有限群的不等價不可約表示
2.4.1 不可約表示
2.4.2 舒爾定理
2.4.3 正交關系
2.4.4 表示的完備性
2.4.5 有限群不可約表示的特征標表
2.4.6 自共軛表示和實表示
2.5 分導表示、誘導表示及其應用
2.5.1 分導表示和誘導表示
2.5.2 D2n+1群的不可約表示
2.5.3 D2n群的不可約表示
2.6 物理應用
2.6.1 定態波函數按對稱群表示分類
2.6.2 克萊布什一戈登級數和系數
2.6.3 維格納一埃伽定理
2.6.4 正則簡并和偶然簡并
2.7 有限群群代數的不可約基
2.7.1 D3群的不可約基
2.7.2 O群和T群的不可約基
習題2
第3章 置換群的不等價不可約表示
3.1 原始冪等元和楊算符
3.1.1 理想和冪等元
3.1.2 原始冪等元的性質
3.1.3 楊圖、楊表和楊算符
3.1.4 楊算符的基本對稱性質
3.1.5 置換群群代數的原始冪等元
3.2 楊圖方法和置換群不可約表示
3.2.1 置換群不可約表示的表示矩陣
3.2.2 計算特征標的等效方法
3.2.3 不可約表示的實正交形式
3.3 置換群不可約表示的內積和外積
3.3.1 置換群不可約表示的直乘分解
3.3.2 置換群不可約表示的外積
3.3.3 Sn+m群的分導表示
習題3
第4章 三維轉動群和李代數基本知識
4.1 三維空間轉動變換群
4.2 李群的基本概念
4.2.1 李群的組合函數
4.2.2 李群的局域性質
4.2.3 生成元和微量算符
4.2.4 李群的整體性質
4.3 三維轉動群的覆蓋群
4.3.1 二維幺模幺正矩陣群
4.3.2 覆蓋群
4.3.3 群上的積分
4.3.4 SU(2)群群上的積分
4.4 SU(2)群的不等價不可約表示
4.4.1 歐拉角
4.4.2 SU(2)群的線性表示
4.4.3 O(31群的不等價不可約表示
4.4.4 球函數和球諧多項式
4.5 李氏定理
4.5.1 李氏第一定理
4.5.2 李氏第二定理
4.5.3 李氏第三定理
4.5.4 李群的伴隨表示
4.5.5 李代數
4.6 半單李代數的正則形式
4.6.1 基林型和嘉當判據
4.6.2 半單李代數的分類
4.7 張量場和旋量場
4.7.1 矢量場和張量場
4.7.2 旋量場
4.7.3 總角動量算符及其本征函數
習題4
第5章 單純李代數的不可約表示
5.1 李代數不可約表示的性質
5.1.1 表示和權
5.1.2 權鏈和外爾反射
5.1.3 最高權表示
5.1.4 基本主權
5.1.5 卡西米爾不變量和伴隨表示
5.1.6 謝瓦萊基
5.2 蓋爾范德方法及其推廣
5.2.1 方塊權圖方法
5.2.2 蓋爾范德基
5.2.3 A2李代數的最高權表示
5.2.4 推廣的蓋爾范德方法
5.2.5 C3李代數的最高權表示
5.2.6 B3李代數的最高權表示
5.2.7 平面權圖
5.3 直乘表示的約化
5.3.1 克萊布什一戈登系數
5.3.2 克萊布什一戈登級數
5.3.3 主權圖方法
5.4 SU(N)群張量表示的約化
5.4.1 SU(N)群張量空間的對稱性
5.4.2 張量子空間Jμλ的張量基
5.4.3 SU(N)群生成元的謝瓦萊基
5.4.4 SU(N)群的不可約表示
5.4.5 SU(N)群不可約表示的維數
5.4.6 n個電子系統的反對稱波函數
5.4.7 張量的外積
5.4.8 協變張量和逆變張量
5.5 S0(N)群的不可約表示
5.5.1 SO(N)群的張量
5.5.2 SO(2l+1)群生成元的謝瓦萊基
5.5.3 S0(2l)群生成元的謝瓦萊基
5.5.4 SO(N)群不可約張量表示的維數
5.5.5 г矩陣群
5.5.6 SO(N)群基本旋量表示及其不可約性
5.5.7 SO(N)群的基本旋量
5.5.8 SO(N)群無跡旋張量表示的維數
5.6 S0(4)群和洛倫茲群
5.6.1 S0(4)群不可約表示及其生成元
5.6.2 洛倫茲群的性質
5.6.3 固有洛倫茲群的群參數和不可約表示
5.6.4 固有洛倫茲群的覆蓋群
5.6.5 固有洛倫茲群的類
5.6.6 狄拉克旋量表示
5.7 辛群的不可約表示
5.7.1 酉辛群生成元的謝瓦萊基
5.7.2 辛群不可約表示的維數
習題5
參考文獻
索引
《現代物理基礎叢書》已出版書目
第1章群的基本概念
群論是研究系統對稱性質的有力工具.本章首先從系統對稱性質的研究中，概括出群的基本概念.通過物理中常見的對稱變換群的例子，使讀者對群有較具體的認識.然后，引入群的各種子集的概念?群的同構與同態的概念和群的直接乘積的概念.
1.1對稱
對稱是一個人們十分熟悉的用語.世界處在既對稱又不嚴格對稱的矛盾統一之中.房屋布局的對稱給人一種舒服的感覺，但過分的嚴格對稱又會給人死板的感覺.科學理論的和諧美，其中很大程度上表現為對稱的美.在現代科學研究中，對稱性的研究起著越來越重要的作用.
我們常說，斜三角形很不對稱，等腰三角形比較對稱，正三角形對稱多了，圓比它們都更對稱.但是，對稱性的高低究竟是如何描寫的呢?
對稱的概念是和變換密切聯系在一起的，所謂系統的對稱性就是指它對某種變換保持不變的性質.保持系統不變的變換越多，系統的對稱性就越高.只有恒等變換，也就是不變的變換，才保持斜三角形不變.等腰三角形對底邊的垂直平分面反射保持不變，而正三角形對三邊的垂直平分面反射都保持不變，還對通過中心垂直三角形所在平面的軸轉動角的變換保持不變.圓對任一直徑的垂直平分面的反射都保持不變，也對通過圓心垂直圓所在平面的軸轉動任何角度的變換保持不變.因為保持圓不變的變換*多，所以它的對稱性**.
量子系統的物理特征由系統的哈密頓量(Hamiltonian)決定，量子系統的對稱性則由保持系統哈密頓量不變的變換集合來描寫.例如，N個粒子構成的孤立系統的哈密頓量為
其中，rj和mj是第j個粒子的坐標矢量和質量，r2j是關于rj的拉普拉斯(Laplace)算符，U是兩個粒子間的二體相互作用勢，它只是粒子間距離的函數.拉普拉斯算符是對坐標分量的二階微商之和，它對系統平移?轉動和反演都保持不變.作用勢只依賴于粒子間的相對坐標**值，也對這些變換保持不變.若粒子是全同，哈密頓量還對粒子間的任意置換保持不變.這個量子系統的對稱性質就用系統對這些變換的不變性來描述.
保持系統不變的變換稱為系統的對稱變換，對稱變換的集合描寫系統的全部對稱性質.根據系統的對稱性質，通過群論方法研究，可以直接得到系統許多精確的?與細節無關的重要性質.
1.2群及其乘法表
1.2.1群的定義系統的對稱性質由對稱變換的集合來描寫.我們先來研究系統對稱變換集合的共同性質.按照物理中的慣例，兩個變換的乘積RS定義為先做S變換，再做R變換.顯然，相繼做兩次對稱變換仍是系統的對稱變換，三個對稱變換的乘積滿足結合律.不變的變換稱為恒等變換E，它也是一個對稱變換，并與任何一個對稱變換R的乘積仍是該變換R.對稱變換的逆變換也是系統的一個對稱變換.上述性質是系統對稱變換集合的共同性質，與系統的具體性質無關.把對稱變換集合的這些共同性質歸納出來，得到群(group)的定義.
定義1.1在規定了元素的“乘積”法則后，元素的集合G如果滿足下面四個條件，則稱為群.
(1)集合對乘積的封閉性.集合中任意兩元素的乘積仍屬此集合:
(2)乘積滿足結合律:
(3)集合中存在恒元E，用它左乘集合中的任意元素，保持該元素不變
(4)任何元素R的逆R.1存在于集合中，滿足
作為數學中群的定義，群的元素可以是任何客體，元素的乘積法則也可任意規定.一旦確定了元素的集合和元素的乘積規則，滿足上述四個條件的集合就稱為群.系統對稱變換的集合，對于變換的乘積規則，滿足群的四個條件，因而構成群，稱為系統的對稱變換群.在物理中常見的群大多是線性變換群?線性算符群或矩陣群.
如果沒有特別說明，當元素是線性變換或線性算符時，元素的乘積規則都定義為相繼做兩次變換;當元素是矩陣時，元素的乘積則取通常的矩陣乘積.在群的定義中，群元素是什么客體并不重要，重要的是它們的乘積規則，也就是它們以什么方式構成群.如果兩個群，它們的元素之間可用某種適當給定的方式一一對應起來，而且元素的乘積仍以此同一方式一一對應，常稱對應關系對元素乘積保持不變，那么，從群論觀點看，這兩個群完全相同.具有這種對應關系的兩個群稱為同構(isomorphism).
定義1.2若群G0和G的所有元素間都按某種規則存在一一對應關系，它們的乘積也按同一規則一一對應，則稱兩群同構.用符號表示，若R和，必有，則G0.G，其中符號代表一一對應，“.”代表同構.
互相同構的群，它們群的性質完全相同.研究清楚一個群的性質，也就了解了所有與它同構的群的性質.在群同構的定義里，元素之間的對應規則沒有什么限制.但如果選擇的規則不適當，使元素的乘積不再按此規則一一對應，并不等于說，這兩個群就不同構.只要對某一種對應規則，兩個群符合群同構的定義，它們就是同構的.
從群的定義出發，可以證明，恒元和逆元也滿足
RE=R; (1.6)
第二個式子表明元素與其逆元是相互的.由此易證群中恒元是**的，即若E0R=R，則E0=E.群中任一元素的逆元是**的，即若SR=E，則S=R.1.于是，恒元的逆元是恒元，和(RS).1=S.1R.1.作為邏輯練習，習題第1題讓讀者證明這些結論.證明中除群的定義外，不能用以前熟悉的任何運算規則，因為它們不一定適合群元素的運算.下面我們認為這些結論已經證明，可以應用了.
一般說來，群元素乘積不能對易，RS6=SR.元素乘積都可以對易的群稱為阿貝爾(Abel)群.若群中至少有一對元素的乘積不能對易，就稱為非阿貝爾群.元素數目有限的群稱為有限群，元素的數目g稱為有限群的階(order).元素數目無限的群稱為無限群，如果無限群的元素可用一組連續變化的參數描寫，則稱為連續群.
把群的子集，即群中部分元素的集合看成一個整體，稱為復元素.作為集合，復元素不關心所包含元素的排列次序，且重復的元素只取一次.兩復元素相等的充要條件是它們包含的元素相同，即R=S的充要條件是R.S和S.R.普通元素和復元素相乘仍是復元素.TR是由元素TRj的集合構成的復元素，而RT則由元素RjT的集合構成.設S=Sng，兩復元素的乘積RS是所有形如RjSk的元素集合構成的復元素.上面出現的元素乘，如TRj，RjT和RjSk，均按群元素的乘積規則相乘.復元素的乘積滿足結合律.如果復元素的集合，按照復元素的乘積規則，符合群的四個條件，也構成群.
定理1.1(重排定理)設T是群中的任一確定元素，則下面三個集合與原群G相同:
證明以TG=G為例證明.對群G任何元素R，有TR2G，因而TG.G.反之，因為R=T(T.1R)，而，所以.證完.
對于有限群，群元素數目有限，因此有可能把元素的乘積全部排列出來，構成一個表，稱為群的乘法表(multiplication table)，簡稱群表.為了確定起見，對于RS=T，今后稱R為左乘元素，S為右乘元素，而T為乘積元素.乘法表由下法建立:在表的*左面一列，把全部群元素列出來，作為左乘元素，在表的*上面一行，也把全部群元素列出來，作為右乘元素，元素的排列次序可以任意選定，但常讓左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在**位.表的內容有格，每一格填入它所在行*左面一列的元素R(左乘元素)和它所在列*上面一行的元素S(右乘元素)的乘積RS.因為恒元與任何元素相乘還是該元素，如果把恒元排在表中**個位置，則乘法表內容中**行和右乘元素相同，**列和左乘元素相同.由重排定理，乘法表乘積元素中每一行(或列)都不會有重復元素.乘法表完全描寫了有限群的性質.
我們先來看二階群和三階群的乘法表.當把**列和**行按左乘元素和右乘元素填完后，重排定理已完全確定了表中各位置的填充，如表1.1和表1.2所示.因此準確到同構，二階群只有一種，三階群也只有一種.
表1.1二階群的乘法表
在二階群中，可讓e代表恒等變換，代表空間反演變換，則這是對空間反演不變的系統的對稱變換群，常記為V2.也可讓e代表數1，.代表數按普通的數乘積，它們也構成二階群，記為C2.這兩個群是同構的.對三階群有.
表1.2三階群的乘法表
按右手螺旋法則，繞沿空間方向的軸轉動角的變換記為，其中μ和'是^n方向的極角和方位角，尖角^表單位矢量.設R=R(^n;2 =N)，R及其冪次的集合
定義元素乘積為相繼做變換，則此集合滿足群的定義，構成群.一般說來，由一個元素R及其冪次構成的有限群稱為由R生成的循環群，R稱為循環群的生成元.CN是N階循環群，生成元R常記為CN，稱為N次固有轉動，或簡稱N次轉動.此轉動軸常稱為N次固有轉動軸，簡稱N次軸.
N次轉動和空間反演.的乘積記為SN，SN=.CN=CN.，稱為N次非固有轉動.由SN及其冪次構成的循環群記為CN，此轉動軸稱為N次非固有轉動軸.CN群的階是N，CN群的階，根據N是偶數或奇數，分別是N或2N.
循環群中元素乘積可以對易，因而循環群是阿貝爾群.循環群生成元的選擇不是**的，如循環群CN中，CN和CN.1N都可作生成元.循環群的乘法表有共同的特點，當表中元素按生成元的冪次排列時，表的每一行都可由前一行向左移動一格得到，而*左面的元素移到*右面去.
現在來研究四階群的乘法表.四階循環群C4的乘法表如表1.3所示，其中R的自乘和T的自乘都不等于恒元，它們的四次冪才是恒元.如果四階群中所有元素的自乘都是恒元，由于重排定理，這樣的四階群乘法表只能如表1.4所示.設和分別是空間反演?時間反演和時空全反演，則此群稱為四階反演群V4.也由于重排定理，四階群中除恒元外的任一元素的三次冪不能等于恒元.因此，準確到同構，四階群只有兩種:如果群中所有元素自乘都是恒元，它就與V4群同構;否則，它就與C4群同構.
表1.3四階循環群C4的乘法
表1.4四階反演群V4的乘法表
1.2.2子群
群G的子集H，如果按照原來的元素乘積規則，也滿足群的四個條件，則稱為群G的子群(subgroup).注意，乘積規則是群的*重要的性質，如果給子集元素重新定義新的乘積規則，那它就與原群脫離了關系，即使此子集構成群，也不能稱為原群的子群.任何群都有兩個平庸的子群:恒元和整個群.但通常更關心非平庸子群.
既然有限群的元素數目是有限的，那么有限群任一元素的自乘，當冪次足夠高時必然會有重復.由群中恒元**性知，有限群任一元素的自乘若干次后必可得到恒元.若Rn=E，n是R自乘得到恒元的**冪次，則n稱為元素R的階，R生成的循環群稱為元素R的周期.元素的周期構成子群，稱為循環子群(cyclicsubgroup).階數為n的循環子群，通常就記為Cn，必要時用撇來加以區分.恒元的階為1，其他元素的階都大于1.不同元素的周期也可有重復或重合.請注意不要混淆群的階和元素的階這兩個不同的概念，只有循環群生成元的階才等于該群的階.
如何來判定一個子集是否構成子群?既然子集元素滿足原群的元素乘積規則，結合律是顯然滿足的.如果子集對元素乘積封閉，則它必定包含子集中任一元素的周期，對有限群來說，元素R的周期包含了恒元和逆元R.1，因此對有限群，檢驗子集是否滿足封閉性就可以判定子集是否構成子群.當然對無限群，判定子群還必須檢驗恒元和逆元是否在子集中.不含恒元的子集肯定不是子群，這是否定子集為子群的一個*簡單判據.
有限群中任一元素R的周期構成群中一個子群.若此子群尚未充滿整個群，則在子群外再任取群中一元素S，由R和S所有可能的乘積構成一個更大的子群.若它還沒有充滿整個群，則再取第三個?第四個元素加入上述乘積，*后總能充滿整個有限群，即群中所有元素都可表為若干個元素的乘積.適當選擇這些元素，使有限群中所有元素都可表為盡可能少的若干個元素的乘積，這些元素稱為有限群的生成元，生成元不能表成其他生成元的乘積.有限群生成元的數目稱為有限群的秩.
1.2.3正N邊形對稱群
把正N邊形放在xy平面上，中心和原點重合，一個頂點在正x軸上.保持正
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