本書是根據線性代數課程教學大綱基本要求,結合作者多年教學實踐，參考國內外多部優秀教材編寫而成的,是河南省數學教學指導委員會推薦用書。全書共9章,內容包括:行列式,矩陣,線性空間初步,線性方程組,矩陣的特征值、特征向量與對角化,二次型,數值計算初步,應用舉例以及MATLAB實驗等，并用二維碼鏈接了每章習題參考答案(第7-9章除外)。本書結合新時代大學生的特點,考慮新時代網絡教學資源的利用,依據新時代教育教學新要求,體現思想性、知識性、科學性、規范性和可讀性的有機統一,體現素質教育導向,側重應用能力培養。
目錄
致讀者
前言
第一版前言
各章之間邏輯關系圖
第1章 行列式 1
1.1 行列式的定義 1
1.1.1 2 階和 3 階行列式的定義 1
1.1.2 n階行列式的定義 4
1.2 行列式的性質和計算 11
1.2.1 行列式的性質 11
1.2.2 n階行列式的Laplace展開定理 14
1.2.3 行列式的計算 17
1.3 Cramer法則 26
1.4 思考與拓展 31
1.4.1 平面解析幾何中行列式的意義和應用 31
1.4.2 空間解析幾何中行列式的意義和應用 32
1.4.3 n階行列式Dn=det(aij)=|aij|的直接定義 33
1.4.4 行列式發展簡述 33
復習題1 34
第2章 矩陣 38
2.1 矩陣的基本概念 38
2.1.1 幾個實例 38
2.1.2 矩陣的基本概念 39
2.1.3 一些特殊類型的重要矩陣 41
2.2 矩陣的代數運算 44
2.2.1 矩陣的線性運算 44
2.2.2 矩陣的乘法 46
2.2.3 矩陣乘法的運算規律 50
2.2.4 方陣的冪 56
2.2.5 矩陣的轉置 60
2.2.6 應用舉例 61
2.3 矩陣的逆 65
2.3.1 逆矩陣的概念 65
2.3.2 伴隨矩陣 67
2.3.3 逆矩陣的基本性質 71
2.3.4 矩陣方程 75
2.4 初等變換與初等矩陣 81
2.4.1 初等變換 81
2.4.2 初等矩陣 87
2.4.3 矩陣可逆的初等變換判別法及逆矩陣的初等變換求法 90
2.5 矩陣的秩 94
2.5.1 矩陣秩的概念 94
2.5.2 矩陣秩的性質和計算 96
2.6 分塊矩陣 99
2.6.1 矩陣的分塊 99
2.6.2 分塊矩陣的運算 101
2.6.3 分塊矩陣的初等變換 104
2.7 思考與拓展 111
2.7.1 n階方陣A可逆的等價表述 111
2.7.2 轉置矩陣、可逆矩陣、伴隨矩陣常見性質的比較 112
2.7.3 矩陣發展簡述 112
復習題2.113
第3章 線性空間初步 117
3.1 線性空間的概念 117
3.1.1 Euclid線性空間Rn 117
3.1.2 m×n矩陣線性空間Rm×n 118
3.1.3 線性空間的定義 119
3.2 子空間 122
3.2.1 線性空間的子空間 122
3.2.2 線性組合、線性表示和張成空間 124
3.3 向量的線性相關和線性無關 127
3.3.1 向量線性相關和線性無關的概念 127
3.3.2 向量組線性相關性的判定 130
3.4 向量組的秩 138
3.4.1 極大線性無關組 138
3.4.2 向量組的等價 140
3.4.3 向量組秩的概念 141
3.4.4 向量組的秩和極大線性無關組的求法 143
3.5 線性空間的基和維數149
3.5.1 線性空間的基 149
3.5.2 線性空間的維數 152
3.5.3 有序集和向量的坐標 156
3.6 線性空間的基變換和坐標變換.158
3.6.1 基變換 158
3.6.2 坐標變換 161
3.7 思考與拓展 166
復習題3 168
第4章 線性方程組.172
4.1 基本概念和術語 172
4.1.1 線性方程組的表示 172
4.1.2 線性方程組的解與可解性 174
4.2 齊次線性方程組解的結構與求解 177
4.2.1 齊次線性方程組解的結構 177
4.2.2 齊次線性方程組的求解 178
4.2.3 基礎解系的初等變換求法 188
4.3 非齊次線性方程組解的結構與求解 190
4.3.1 非齊次線性方程組的可解性 190
4.3.2 非齊次線性方程組解的結構 192
4.3.3 非齊次線性方程組的求解 193
4.4 思考與拓展 202
4.4.1 關于線性方程組可解性的主要結果 202
4.4.2 關于線性方程組可解性的幾何意義 202
4.4.3 關于線性方程組反問題的概念 204
4.4.4 線性方程組發展簡述 204
復習題4.204
第5章 矩陣的特征值、特征向量與對角化 207
5.1 矩陣的特征值與特征向量 207
5.1.1 問題的提出 207
5.1.2 特征值與特征向量的概念 208
5.1.3 特征多項式、特征方程及特征值和特征向量的計算 209
5.1.4 特征子空間 213
5.1.5 特征值與特征向量的性質 216
5.2 相似矩陣與矩陣的相似對角化 223
5.2.1 相似矩陣 223
5.2.2 矩陣的相似對角化 225
5.3 內積空間與正交矩陣235
5.3.1 內積空間 235
5.3.2 正交向量組和正交矩陣 237
5.4 實對稱矩陣 242
5.4.1 實對稱矩陣的特征值和特征向量 242
5.4.2 實對稱矩陣的相似對角化 243
5.5 應用舉例 250
5.6 思考與拓展 254
5.6.1 關于特征值和特征向量的幾個概念性問題 254
5.6.2 關于相似對角化的幾個基本問題 254
復習題5 255
第6章 二次型 260
6.1 二次型的概念 260
6.1.1 二次型的定義 260
6.1.2 標準形 263
6.2 化二次型為標準形 266
6.2.1 配方法 266
6.2.2 正交變換法和主軸定理 270
6.3 慣性定理與正定二次型 274
6.3.1 慣性定理 274
6.3.2 正定二次型 278
6.4 雙線性函數簡介284
6.4.1 線性函數 284
6.4.2 雙線性函數 284
6.5 思考與拓展 286
6.5.1 關于二次型f(x)在可逆線性變換下的不變量問題 286
6.5.2 關于矩陣等價、相似、合同的關系問題 286
6.5.3 二次型在二次曲線化簡和分類中的應用.286
6.5.4 二次型在二次曲面化簡和分類中的應用.287
6.5.5 二次型發展簡述 287
復習題6 288
第7章 數值計算初步 291
7.1 矩陣級數 291
7.1.1 矩陣級數的定義 291
7.1.2 關于矩陣序列的幾個定理 292
7.2 求解線性方程組的迭代法 296
7.2.1 基本思路 296
7.2.2 迭代公式 298
7.2.3 收斂條件 299
7.3 矩陣特征值和特征向量的近似算法 300
7.3.1 和法 300
7.3.2 冪法 301
7.4 思考與拓展 305
第8章 應用舉例 309
8.1 投入產出模型簡介 309
8.1.1 投入產出模型的概念 309
8.1.2 平衡方程組 310
8.1.3 消耗系數 311
8.1.4 平衡方程組的解 312
8.2 線性規劃模型簡介 316
8.2.1 線性規劃模型 316
8.2.2 單純形法介紹 319
8.3 層次分析模型簡介 325
8.3.1 層次分析法的概念和思想 325
8.3.2 層次分析模型及決策實例 326
第9章 MATLAB實驗 335
參考文獻 342
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