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      本書是寧夏回族自治區“十三五”電氣信息類重點專業群建設的研究成果之一，從課程的基本內容、解決問題的基本方法入手，以通俗易懂的語言介紹線性代數課程中的基礎知識與解決問題的基本方法。

      本書配套學習資源豐富，包括了：課件、學習建議、習題及解答、模擬自測試題。

　　“線性代數”是高等學校中大多數理工科專業以及經濟貿易專業必修的一門重要的數學基礎課程之一，在工程數學、線性規劃、經濟分析、數學建模、計算技術中應用十分廣泛，從而也是從事理工科專業工作人員的必備知識。

　　這門課程以線性函數為研究的主要對象，概念抽象、理論嚴謹、邏輯推理嚴謹，然而應用卻十分廣泛，經常應用在大多數理工科專業以及經濟貿易專業后續專業課程的理論研究和實際問題當中，因此學好這門課程對于后續相關課程的學習有著十分重要的意義。該門課程中抽象概念較多，一些運算規則與初等數學中運算規則很不相同，往往使初學者不易理解與接受，尤其是該課程一般在大學一年級開設，面向剛進入到大學里學習的學生，他們習慣于直觀式教學，欠缺抽象思維能力，很容易將該課程的一些運算規則和中學里的一些運算規則相混淆，從而對課程的內容感到難以理解，尤其是對于課程中涉及的問題感到束手無策，不易找到如何用所學知識具體應用到解決具體專業問題的基本思路和方法。

　　為了幫助學習者獲得必要的基本知識和基本技能，本書從掌握課程的基本內容、解決問題的基本方法入手，根據課程教學大綱的要求，參考了當前的線性代數教材，以通俗易懂的語言向讀者介紹線性代數課程中的基礎知識與解決問題的基本方法。全書共分5章，包括了高等學校中大多數理工科專業以及經濟貿易專業教學大綱要求的全部內容，力求做到科學性與通俗性相結合，對重要的概念、公式、結論進行系統的整理，注意對基本概念的準確理解，對基本定理和常見解題方法的表述與應用，內容的安排由淺入深，循序漸進，注重培養讀者分析問題和解決問題的能力。書中還給出了利用MATLAB語言程序解決線性代數中相關問題的計算程序。因此，本書適用于不同程度的學習對象學習，可作為在校本科生的教材，也可作為該課程的教學參考用書，對于從事教學工作的教師和參加理工科碩士研究生入學考試的讀者也有一定的參考價值。

　　本教材由長期從事課程教學的宋金國教師擔任主編，宋佳乾、秦君琴教師參編。宋金國編寫了第1、3章，并審閱了全書，秦君琴編寫了第5章、模擬自測試題，宋佳乾編寫了第2、4章以及習題解答。

　　本書是寧夏回族自治區“十三五”電氣信息類重點專業群建設的研究成果之一，并得到了該項目的資助。

　　書中難免有疏漏和不妥之處，敬請同仁不吝賜教，也誠請廣大讀者批評指正。

　　編者

　　2017年5月

前言Ⅰ

學習建議Ⅲ

第1章行列式

1.1n階行列式的定義

1.1.1全排列及其反序數

1.1.2排列反序數的計算

1.1.3n階行列式定義

1.2n階行列式的性質

1.3行列式的計算

1.3.1根據定義計算行列式

1.3.2根據行列式的性質計算行列式

1.3.3利用行列式按行(列)展開計算行列式

1.3.4利用行列式的乘積展開計算行列式

1.3.5利用范德蒙德行列式計算

*1.3.6利用拉普拉斯定理展開計算

1.4應用舉例

1.5應用MATLAB程序計算行列式

習題一

第2章矩陣

2.1矩陣的概念

2.2矩陣的運算

2.2.1矩陣的加法與數乘運算

2.2.2矩陣與矩陣的乘法運算

2.2.3矩陣的轉置運算

2.2.4矩陣的行列式運算

2.2.5矩陣的逆運算

2.3常見幾類n階矩陣的性質

2.3.1可逆矩陣的性質

2.3.2正交矩陣性質

2.3.3對角矩陣性質

2.3.4準對角形矩陣及其性質

2.3.5矩陣A的伴隨矩陣A*的性質

2.4矩陣的初等變換

2.4.1矩陣的初等變換與初等矩陣

2.4.2矩陣的等價

2.5矩陣的秩

2.6應用舉例

2.7應用MATLAB程序求矩陣的相關問題

習題二

第3章向量組與線性方程組

3.1向量組的線性相關性

3.1.1向量及向量組

3.1.2向量組的線性組合

3.1.3向量組的相關性

3.2向量組的秩

3.2.1求向量組秩的方法

3.2.2求向量組的一個極大無關組

3.3線性方程組

3.3.1線性方程組的表示形式

3.3.2線性方程組解的結構

3.3.3線性方程組有解的條件

3.3.4線性方程組的求解方法

3.3.5含有參數的線性方程組解的討論

3.3.6利用線性方程組解的理論求解

線性方程

3.3.7向量組的線性相關性與線性方程組解

之間的關系

3.4矩陣方程

3.4.1方程AX=B的解法

3.4.2方程XA=B的解法

3.5應用舉例

3.6應用MATLAB程序求解線性方程組

習題三

第4章向量空間與矩陣的特征向量

4.1線性空間的概念與性質

4.1.1向量空間的概念

4.1.2向量空間的維數與基底

4.1.3向量空間中基底之間過渡矩陣

4.1.4向量的內積

4.1.4Rn中向量的模與夾角

4.2正交向量組

4.3向量空間中的線性變換

4.3.1線性變換的概念與性質

4.3.2線性變換的性質

4.3.3常見的幾種特殊的線性變換

4.3.4線性變換在向量空間基底下的矩陣

4.3.5線性變換在不同基底下矩陣之間

的關系

4.4矩陣的特征值與特征向量

4.4.1矩陣的特征值與特征向量的概念

4.4.2矩陣的特征值與特征向量的性質

4.5矩陣的對角化

4.6應用舉例

4.7應用MATLAB程序求矩陣的特征值

習題四

第5章n元二次型

5.1二次型與合同矩陣

5.1.1n元實二次型的概念

5.1.2n元實二次型與實對稱矩陣

5.1.3合同矩陣與二次型

5.1.4二次型的等價

5.2化二次型為標準型、規范型

5.2.1利用配方法求二次型的標準型

5.2.2利用正交變換法求二次型的標準型

5.2.3利用初等變換法求二次型的標準型

5.3正定二次型與正定矩陣

5.3.1判定二次型的正定性

5.3.2與二次型有關的證明題

5.4應用舉例

習題五

模擬自測題

模擬自測題一

模擬自測題二

模擬自測題三

模擬自測題四

模擬自測題五

習題參考答案

參考文獻

　　第5章n元二次型

　　人們在實際問題中常常會遇到討論n元變量的二次齊次函數的問題，它實質上是實n元二次型的形式。本章的要點是掌握化二次型為標準型、規范型的基本方法，討論二次型正定的條件。

　　5.1二次型與合同矩陣

　　在解析幾何中，方程ax2+by2+cz2=1(a、b、c不同時小于等于零)，表示R3中的常見曲面，而對方程x2+y2+z2+2axy+2byz+2cxz=1表示何種常見曲面就不得而知了。第二個方程的左端在數學上叫做二次齊次多項式，如果能通過一個線性變換化為第一個方程的形式，將會使問題簡單化，這樣的問題在許多理論問題或實際問題中經常會遇到。

　　5.1.1n元實二次型的概念

　　定義51含有n個變量x1，x2，…，xn的二次齊次函數

　　f(x1，x2，…，xn)=a11x21+2a12x1x2+…+2a1nx1xn

　　+a22x22+2a23x2x3+…+2a2n，nx2xn

　　+…+annxnxn

　　稱為x1，x2，…，xn的一個n元二次齊次多項式，簡稱為x1，x2，…，xn的一個n元二次型。也可記為

　　f=f(x1，x2，…，xn)=∑ni=1∑nj=1aijxixj

　　當aij是復數時，稱f為復二次型； 當aij是實數時，稱f為實二次型。本章僅討論實二次型。

　　定義52只含有平方項的二次型f=k1y21+k2y22+…+kny2n稱為二次型的標準型。如果標準型的系數k1，k2，…，kn只在1、-1、0這3個數中取值，使

　　f=y21+…+y2p－y2p－1－…－y2r

　　則稱上式為二次型的規范型。p也稱為這個二次型的正慣性指數，r－p為這個二次型的負慣性指數。正慣性指數與負慣性指數之差稱為符號差。

　　5.1.2n元實二次型與實對稱矩陣

　　利用實對稱矩陣中aij=aji的性質，n元實二次型可以表示為：

　　f=a11x21+a12x1x2+…+a1nx1xn

　　+a21x2x1+a22x22+…+a2nx2xn

　　+…+an1xnx1+an2xnx2+…+annx2n

　　=x1(a11x1+a12x2+…+a1nxn)

　　+x2(a21x1+a22x2+…+a2nxn)

　　+…+xn(an1x1+an2x2+…+annxn)

　　=(x1，x2，…，xn)a11x1+a12x2+…+a1nxn

　　a21x1+a22x2+…+a2nxn

　　

　　an1x1+an2x2+…+annxn

　　=x1，x2，…，xna11a12…a1n

　　a21a22…a2n

　　…………

　　an1an2…annx1

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