《計算幾何：曲面表示論及其應用》主要研究幾何目標在計算機環境內的數學表示、編輯、計算和傳輸等方面的理論與方法及相關的應用，其中包含連續性方法和離散性方法，書中內容包括計算幾何相關的基礎理論、多元樣條函數的研究方法、局部多項式插值及超值插值、分片有理函數插值、多項式樣條空間結構與代數曲線、NURBS曲線與曲面、曲線／曲面細分方法及曲線與曲面參數化等。《計算幾何：曲面表示論及其應用》面向具有本科數學分析和線性代數知識的讀者，力求容易入門、由淺人深、講透原理、聯系應用。
《計算幾何：曲面表示論及其應用》可作為普通高等學校信息與計算科學專業本科生教材，也可作為計算數學專業碩士生、博士生相關課程的教材或參考書，還可供從事計算機輔助幾何設計、計算機圖形圖像處理等相關領域的科學技術工作者參考。
為了便于讀者掌握本書的內容，編者們把必要的關于射影幾何、代數曲線、曲線曲面、三角剖分、一元逼近理論等方面的基礎知識作為預備知識在第1章中給出簡介；第2章介紹研究多元分片多項式——多元樣條函數的基本理論與方法；第3章給出實際應用中常用的局部多項式插值及超限插值方法；第4章著重介紹任意多邊形單元上的多元有理插值樣條方法和曲邊元上的有理插值樣條方法；第5章側重多元樣條空間結構的研究與代數曲線研究之間的等價性，并由此首次給出了代數曲線的新的整體幾何不變量——特征數及其應用，同時也介紹了任意三角剖分上低次樣條空間的一些新近研究結果；第6章介紹NURBS曲線/曲面的基本方法和理論；第7、8章分別較為詳細地給出目前廣受人們關注的曲線/曲面細分和參數化方法的基本知識和理論。
幾何問題涉及自然界的各個領域，伴隨信息科學的快速發展，計算幾何這門新興的交叉學科已悄然興起，特別是近年來（隨著）計算機和網絡技術的飛速發展，信息資源急劇增長，數字媒體產業正在蓬勃發展，可以預見，繼聲音、圖像和視頻之后，下一波數字媒體浪潮將是3D幾何數據，這使計算幾何的發展成為急迫需求，“計算幾何”這一術語最初是作為模式識別的替代語由M，Minsky和s，PaDert于1969年提出的，20世紀70年代初由A.R.Forrest給出了更為準確的定義，即“對幾何信息的計算機表示、分析和綜合”，也就是說，計算幾何是在計算機的環境內來研究自然界涉及幾何目標的一系列問題，其中包括幾何形體的運動、幾何計算、幾何實體的快速表示、顯示、修改和傳輸等，該領域作為研究學科之所以能夠獲得成功，一方面是由于它在眾多的其他理論研究和應用領域（如基礎數學、計算機圖形學、圖形／圖像匹配與識別、地理信息系統以及機器人學等）中均發揮了重要的作用。
前言
第1章 預備知識
1.1 射影幾何初步
1.1.1 射影平面
1.1.2 平面對偶原理
1.2 關于代數曲線
1.2.1 多項式的結式
1.2.2 Bezout定理
1.2.3 Nother定理
1.3 關于曲線、曲面的基礎
1.3.1 向量的內積與向量積
1.3.2 正則曲線
1.3.3 正則曲面
1.4 三角剖分
1.5 Weierstrass逼近定理
1.6 一元樣條函數與Bezier曲線
1.6.1 樣條函數的定義及基本性質
1.6.2 B樣條函數
1.6.3 Bezier曲線及B樣條曲線
第2章 多元樣條函數的研究方法
2.1 光滑余因子方法
2.2 B網方法
2.3 B樣條方法
第3章 局部多項式插值及超限插值
3.1 局部多項式插值
3.1.1 HCT格式
3.1.2 Powell-Sabin格式
3.2 插值算子的布爾和
3.3 矩形域上的超限插值
3.4 四邊形Coons曲面片
3.5 三角Coons曲面片
3.5.1 BBG超限插值格式
3.5.2 Nielson的邊頂點格式
3.5.3 對稱的Gregory公式
第4章 分片有理函數插值
4.1 任意凸多邊形上的C0有理函數
4.2 三角剖分上的C1插值有理樣條函數
4.2.1 C1廣義楔函數
4.2.2 三角剖分上C1插值有理樣條的表現
4.2.3 三階逼近基和插值有理樣條的等價表示
4.3 三角剖分上的C2插值有理樣條函數
4.3.1 C2廣義楔函數及其構造
4.3.2 三角剖分上C2插值有理樣條的表現
4.3.3 C2插值有理樣條的等價表示
4.4 正則四邊形剖分上的插值有理樣條
4.5 曲邊元上的C1有理樣條插值曲面
第5章 多項式樣條空間結構與代數曲線
5.1 K[X]mm中模的生成基及其計算
5.1.1 序，約化定理及生成基
5.1.2 計算生成基的算法
5.2 二元樣條空間的奇異性條件
5.2.1 最簡單的樣條奇異性現象
5.2.2 Morgan-Scott剖分上的S12樣條空間
5.2.3 S(Δ)空間的奇異性條件
5.3 代數曲線的幾何不變量
5.3.1 射影幾何中新的基本概念
5.3.2 代數曲線的特征數
5.4 特征數的應用
5.4.1 特征數在代數曲線理論中的應用
5.4.2 特征數在樣條空間奇異性研究中的應用
*5.5 任意剖分上低次樣條空間的結構
5.5.1 S1K(Δ)樣條函數空間的結構矩陣
5.5.2 樣條函數空間S13(Δ)和S12(Δ)維數的討論
5.5.3 三角剖分中網點的序
5.5.4 樣條空間維數上界的改進
5.5.5 三角剖分的拓撲性質和它的結構矩陣的關系
5.5.6 關于非奇異三角剖分的生成方法
第6章 NURBS曲線與曲面
6.1 NURBS曲線與曲面的定義
6.2 NURBS曲線與曲面的基本性質
6.3 NURBS曲線與曲面的基本幾何算法
6.3.1 NURBS曲線與曲面的幾何作圖法
6.3.2 NURBS曲線的節點插入算法
第7章 曲線、曲面細分方法
7.1 細分方法概述
7.2 均勻節點上B樣條及細分
7.2.1 B樣條的節點細分
7.2.2 卷積方法
7.3 正規細分的收斂性及光滑性分析
7.4 曲面細分奇異點處的連續性分析
7.5 常用的幾種細分方法介紹
7.5.1 Catmull-Clark細分
7.5.2 Doo-Sabin細分
7.5.3 Loop細分
7.5.4 四點插值細分
7.5.5 改進的Butterfly細分
7.5.6 根號3細分
7.5.7 四點逼近的曲線細分方法
7.5.8 非靜態的曲線細分方法
7.6 算法及實現
7.6.1 數據結構
7.6.2 Loop細分算法
第8章 曲線與曲面參數化
8.1 曲線參數化方法
8.1.1 均勻參數化
8.1.2 累加弦長參數化
8.1.3 向心參數化
8.1.4 修正弦長參數化
8.2 關于累加弦長參數化的進一步討論
8.3 曲面參數化方法的畸變度量
8.4 重心映射參數化方法
8.4.1 三角網格曲面表示
8.4.2 重心映射方法
8.5 幾種常見的重心映射參數化算法
8.5.1 均勻參數化
8.5.2 保形參數化
8.5.3 離散調和映射參數化
8.5.4 中值坐標參數化
8.5.5 基于Ricci流的曲面參數化
8.6 數值結果與分析
參考文獻
借助于多項式來逼近，雖然有許多優點，但其在一點附近的性質足以決定它的整體性質，然而自然界較大范圍內的許多現象，如物理或生物現象間的關系往往呈現互不關聯、互相分割的本性。亦即在不同區域內，它們的性狀可以完全不相關。因此在實際應用中，人們常采用樣條函數來逼近。所謂樣條函數（spline functcion）就是具有一定光滑性的分段或分片定義的函數，如果在每段或每片上定義的函數都是多項式，則稱為多項式樣條函數，本章僅考慮多項式樣條函數。
研究樣條最根本的是光滑余因子方法，它適合于任何剖分，因此2.1節將簡單介紹這種方法；在實際應用中，由于剖分的特殊性，我們還考慮針對特殊剖分的特殊方法，如單純形剖分域上的B網方法和多面體剖分區域上的Box樣條方法，這兩種方法分別在2.2節和2.3節給予簡單介紹。必須指出后兩種方法得出的關于樣條的結論原則上都可由光滑余因子方法推出，有興趣的讀者可試著推導一下。
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