第2章 平面體系的幾何組成分析
2.1 概 述
桿件結構是由若干桿件相互聯結而組成的體系，但組成的不合理體系是不能成為結構的，所以我們要對桿件組成的體系進行分析。只有組成的體系為幾何不變的體系方可作為結構。
幾何不變體系：在任意荷載作用下，若不考慮材料的變形則體系的幾何形狀與位置保持不變，如圖2.1(a)所示。
幾何可變體系：在任意荷載作用下，雖不考慮材料的變形，但其幾何形狀與位置均不能保持不變，如圖2.1(b)所示。
圖2.1
判別體系是否幾何不變，這一工作稱為體系的幾何機動分析，或稱幾何構造分析。
在幾何機動分析中，由于不考慮材料的變形，可以把一根桿件或已知是幾何不變的一部分體系看成一個剛體。在平面體系中又將剛體稱為剛片。
工程中的結構必須是幾何不變體系(方能承受荷載、傳遞荷載)。
2.2 平面體系的計算自由度
2.2.1 自由度
為了判定體系的幾何可變性，有時要先計算它的自由度。
物體的自由度：物體運動時獨立變化的幾何參數的數目稱為物體的自由度，也可理解為確定物體位置所需的獨立坐標數。
物體的自由度=物體運動的獨立參數=確定物體位置所需的獨立坐標數
平面上的一個點，它的位置用坐標和完全可以確定，它的自由度等于2，如圖2.2(a)所示。
平面上的一剛片，它的位置用、和完全可以確定，它的自由度等于3，如圖2.2(b)所示。
圖2.2
2.2.2 聯系
體系有自由度，加入限制運動的裝置可使自由度減少，減少自由度的裝置稱為聯系。能減少一個自由度的裝置稱為一個聯系或一個約束。常用的聯系有鏈桿和鉸。
1) 鏈桿
一個剛片有3個自由度，加上了一個鏈桿，自由度為2，減少了一個自由度，則稱鏈桿為一個聯系或一個約束，如圖2.3(a)所示。
2) 鉸
兩個剛片用一個鉸連接，可減少兩個自由度，我們稱連接兩個剛片的鉸為單鉸，相當于兩個聯系，如圖2.3(b)所示。連接幾個剛片的鉸稱為復鉸(n>2)，相當于(n-1)個單鉸，相當于2×(n-1)個聯系，如圖2.3(c)所示。
圖2.3
2.2.3 體系的計算自由度
體系的計算自由度為組成體系各剛片自由度之和減去體系中聯系的數目。
設體系的計算自由度為w，體系的單鉸數為h，支座鏈桿數為r，體系的剛片數為m，則
(2-1)
【例2.1】 求如圖2.4所示體系的計算自由度w。
解：體系剛片數m=7，單鉸數h=9，支座鏈桿數r=4(其中固定端支座相當于3個鏈桿)，則
【例2.2】 求如圖2.5所示體系的計算自由度w。
圖2.4 圖2.5
解：體系剛片數m=9，單鉸數h=12，支座鏈桿數r=3，則
w=3×9-(2×12+3)=0
如圖2.5所示，這種完全由兩端鉸結的桿件所組成的體系，稱為鉸結鏈桿體系，其自由度除可用式(2-1)計算外，還可用下面的簡便公式來計算。
設體系的結點數為j，桿件數為b，支座鏈桿數為r，則體系計算自由度w為
(2-2)
對于例2.2，如按式(2-2)計算，則有
2.2.4 平面體系計算自由度結果分析
上面討論了平面體系的計算自由度的計算方法，那么計算自由度或是否一定表明平面體系幾何不變呢？平面體系的計算自由度與體系可變性是什么關系呢？下面結合圖2.6來說明這個問題。
圖2.6
圖2.6(a)中，，體系是幾何可變的。
圖2.6(b)中，，體系是幾何不變的，且無多余聯系。
圖2.6(c)中，雖是，體系卻是幾何可變的，有一個多余聯系(剛片體系上的A點用兩個支座鏈桿和地基相連就可以了，另一個就是多余的)。
圖2.6(d)中，，體系是幾何不變的，且有一個多余聯系。
圖2.6(e)中，雖，體系卻是幾何可變的，且有兩個多余聯系。
以上分析可推廣到一般情況，即平面體系的計算自由度與體系的可變性的關系有如下3種結論。
(1) ，表明體系缺少足夠的聯系，因此可以肯定體系是幾何可變的。
(2) ，表明體系具有成為幾何不變所需的*少聯系數目。
(3) ，表明體系具有成為幾何不變所需的聯系并有多余聯系。
由上可知，體系成為幾何不變需要滿足的條件，此條件也是體系成為幾何不變的必要條件。
前面所講w是相對于地球而言，工程中常先考慮體系本身(或稱體系內部)的幾何不變性。當不考慮體系與地球相聯的問題，而僅考慮體系本身的幾何不變性時，其成為幾何不變的必要條件變為。
這里還要說明一點，體系的計算自由度和體系的實際自由度是不同的。這是因為實際中每一個聯系不一定能使體系減少一個自由度，這與聯系的具體布置有關。如圖2.6(c)所示，雖，但其實際自由度為1。
以上我們知道了判斷體系幾何不變性的必要條件，其充分條件將在幾何不變體系的組成規則中給出。
2.3 幾何不變體系的簡單組成規則
2.3.1 三剛片規則
三個剛片用不在同一直線上的三個單鉸兩兩聯接，組成的體系是幾何不變的，且無多余聯系。
如圖2.7所示的鉸結三角形，每個桿件都可看成一個剛片。若剛片Ⅰ不動(看成地基)，暫把鉸C拆開，則剛片Ⅱ只能繞鉸A轉動，C點只能在以A為圓心以AC為半徑的圓弧上運動；剛片Ⅲ只能繞B轉動，其上的C點只能在以B為圓心、以BC為半徑的圓弧上運動。但由于C點實際上用鉸聯接，C點不能同時發生兩個方向上的運動，它只能在交點處固定不動。
如圖2.8所示的三鉸拱，將地基看成剛片Ⅲ，左、右兩半拱可看作剛片Ⅰ、Ⅱ，此體系是由三個剛片用不在同一直線上的三個單鉸A、B、C兩兩相聯組成的，為幾何不變體系，而且沒有多余聯系。
……
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