本書較好地把握了《數(shù)字圖像處理》這部教材在相關(guān)專業(yè)基礎(chǔ)課教學(xué)中的基礎(chǔ)性地位，把全書的內(nèi)容始終定位在基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論和基本技術(shù)上。所以，沒(méi)有引入那些涉及到相對(duì)深?yuàn)W的數(shù)學(xué)理論的圖像處理內(nèi)容，比如基于模糊理論的圖像處理方法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的圖像處理方法等；也沒(méi)有引入相對(duì)來(lái)說(shuō)是非基礎(chǔ)性圖像處理方法的內(nèi)容，比如圖像融合方法、圖像數(shù)字水印技術(shù)等。書中專門開(kāi)辟小波圖像處理這一章比較難點(diǎn)的內(nèi)容，是考慮了小波理論和小波圖像處理方法在圖像處理中的基礎(chǔ)性和重要性作用，該部分內(nèi)容雖然相對(duì)較難較深入，但總體上把握住了難和深的度。
隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、電子技術(shù)、信息處理技術(shù)和Internet技術(shù)的迅猛發(fā)展，圖像處理技術(shù)已經(jīng)成為信息技術(shù)領(lǐng)域中的核心技術(shù)之一，并已在國(guó)民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域得到了十分廣泛的應(yīng)用，在推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步和改善人們生活質(zhì)量方面起著越來(lái)越重要的作用。
自本書第1版和第2版分別在2007年和2013年出版以來(lái)，在幾十所院校相關(guān)專業(yè)的本科生和研究生課程教學(xué)中得到了應(yīng)用，許多學(xué)生、老師和讀者對(duì)本書的進(jìn)一步改版給予了特別的關(guān)心，并提出了許多寶貴的建議。出版第3版的原因是糾正第2版中的一些不準(zhǔn)確的描述，刪除一些不重要的內(nèi)容，與時(shí)俱進(jìn)地加入一些新內(nèi)容和新主題。
本書主要有以下特點(diǎn)：
(1) 將離散傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換三部分圖像變換內(nèi)容，分別作為第5章的頻率域圖像處理、第7章的圖像壓縮編碼、第8章的小波圖像處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)放在相應(yīng)章的*節(jié)，不再把圖像變換設(shè)為獨(dú)立的一章內(nèi)容。對(duì)圖像變換部分內(nèi)容的這種組織方式，不僅化解了學(xué)生在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)本課程時(shí)，就遇到了學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)”知識(shí)的困惑和畏難情緒； 而且實(shí)現(xiàn)了數(shù)字圖像處理技術(shù)中的這三種*重要的變換方法與圖像本體技術(shù)的緊耦合。一方面會(huì)使學(xué)生直接體會(huì)到這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在圖像本體技術(shù)上的作用和重要性，另一方面會(huì)使學(xué)生自然地體驗(yàn)到自己是在學(xué)習(xí)數(shù)字圖像處理課而不是在學(xué)數(shù)學(xué)課，進(jìn)而增加學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)這些圖像變換基礎(chǔ)理論的主動(dòng)性。
(2) 從吸收*新數(shù)字圖像處理基礎(chǔ)技術(shù)研究成果和緊跟目前基于特征的圖像處理方法研究熱點(diǎn)的需求出發(fā)，進(jìn)一步完善了第10章的圖像特征提取內(nèi)容，構(gòu)成了由圖像的邊緣特征及其檢測(cè)方法、圖像的點(diǎn)與角點(diǎn)特征及其檢測(cè)方法、圖像的紋理特征及其檢測(cè)方法、圖像的形狀特征和圖像的統(tǒng)計(jì)特征組成的較為完整的圖像特征及檢測(cè)方法的內(nèi)容體系，進(jìn)一步突出了圖像特征檢測(cè)與提取在圖像處理技術(shù)領(lǐng)域的基礎(chǔ)性和重要性。
(3) 深入淺出，并較為全面系統(tǒng)地給出了小波理論及其在圖像處理技術(shù)中應(yīng)用的基礎(chǔ)性內(nèi)容。該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)基于多尺度和多分辨率分析的圖像分析方法和計(jì)算機(jī)視覺(jué)理論與技術(shù)奠定了基礎(chǔ)。
(4) 分別將彩色圖像處理、形態(tài)學(xué)圖像處理作為單獨(dú)的一章內(nèi)容，并且在其內(nèi)容的系統(tǒng)性和深入性方面，與國(guó)內(nèi)的同類教科書相比，具有獨(dú)特性。
(5) 新增了視頻圖像處理一章內(nèi)容，適應(yīng)了目前智能視頻監(jiān)控系統(tǒng)和視頻圖像通信系統(tǒng)廣泛應(yīng)用，以及視頻檢測(cè)和視頻壓縮編碼技術(shù)迅猛發(fā)展的需求。
(6) 本書較好地把握了《數(shù)字圖像處理》這部教材在相關(guān)專業(yè)基礎(chǔ)課教學(xué)中的基礎(chǔ)性地位，把全書的內(nèi)容始終定位在基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論和基本技術(shù)上。所以，沒(méi)有引入那些涉及相對(duì)深?yuàn)W的數(shù)學(xué)理論的圖像處理內(nèi)容，比如基于模糊理論的圖像處理方法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的圖像處理方法等； 也沒(méi)有引入相對(duì)來(lái)說(shuō)是非基礎(chǔ)性圖像處理方法的內(nèi)容，比如圖像融合方法、圖像數(shù)字水印技術(shù)等。書中專門開(kāi)辟了小波圖像處理這一章比較有難度的內(nèi)容，是考慮了小波理論和小波圖像處理方法在圖像處理中的基礎(chǔ)性和重要性，并且從總體上把握住了相關(guān)內(nèi)容的難度和深度。
本書的大部分內(nèi)容都提供了比較詳細(xì)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和說(shuō)明，本書假設(shè)讀者具備基本的線性系統(tǒng)理論、概率和向量代數(shù)的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)。如果學(xué)習(xí)者不具備第6章圖像恢復(fù)涉及的矩陣向量運(yùn)算及對(duì)其求偏導(dǎo)的知識(shí)，可略講其中的相關(guān)內(nèi)容。
全書共分為14章，第1章介紹數(shù)字圖像處理的基本概念； 第2章介紹數(shù)字圖像處理的基礎(chǔ)知識(shí)； 第3章介紹數(shù)字圖像的基本運(yùn)算； 第4章介紹空間域圖像增強(qiáng)； 第5章介紹頻率域圖像處理； 第6章介紹圖像恢復(fù)； 第7章介紹圖像壓縮編碼； 第8章介紹小波圖像處理； 第9章介紹圖像分割； 第10章介紹圖像特征提取； 第11章介紹彩色圖像處理； 第12章介紹形態(tài)學(xué)圖像處理； 第13章介紹目標(biāo)表示與描述； 第14章介紹視頻圖像處理。
本書可作為高等院校計(jì)算機(jī)類的計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)和數(shù)字媒體技術(shù)專業(yè)，電子信息類的電子信息工程、通信工程、光電信息科學(xué)與工程和信息工程專業(yè)，自動(dòng)化類的自動(dòng)化專業(yè)，測(cè)繪類的遙感科學(xué)與技術(shù)專業(yè)，兵器類的探測(cè)制導(dǎo)與控制技術(shù)專業(yè)，醫(yī)學(xué)技術(shù)類的醫(yī)學(xué)影像技術(shù)專業(yè)，以及特設(shè)專業(yè)電子信息類的醫(yī)學(xué)信息工程專業(yè)的大學(xué)本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課或高年級(jí)學(xué)生的專業(yè)課教材。也可作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、信息與通信工程、控制科學(xué)與工程、測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)、兵器科學(xué)與技術(shù)、光學(xué)工程、醫(yī)學(xué)技術(shù)等學(xué)科，從事圖像處理與分析、目標(biāo)識(shí)別與跟蹤、景象匹配及制導(dǎo)、視頻檢測(cè)與識(shí)別、視頻信息壓縮及編碼、計(jì)算機(jī)視覺(jué)及應(yīng)用等研究方向研究生的專業(yè)基礎(chǔ)課或?qū)I(yè)課教材。還可供從事上述相關(guān)學(xué)科專業(yè)的研究人員和工程技術(shù)人員參考。
本書的第1章至第10章內(nèi)容由李俊山編寫，第11章和第12章內(nèi)容由李俊山和李旭輝共同編寫，第13章內(nèi)容由李旭輝編寫，第14章內(nèi)容由李俊山和朱子江共同編寫，附錄部分由李俊山編寫。
在本書第1版到第3版的編寫過(guò)程中，胡雙演、李建軍、楊威、譚圓圓、楊亞威、李堃、張雄美、張姣、隋中山等參與了書中部分算法和實(shí)驗(yàn)圖例的驗(yàn)證。此外，書中還引用了一些著作、論文和相關(guān)資料的觀點(diǎn)，并汲取了教材在教學(xué)使用中一些讀者的反饋意見(jiàn)，在此一并向他們表示衷心的感謝。
另外，書中難免有不當(dāng)和疏漏之處，敬請(qǐng)廣大讀者不吝批評(píng)、指正。
作者
第1章緒論
1.1數(shù)字圖像與數(shù)字圖像處理
1.2數(shù)字圖像處理系統(tǒng)的組成
1.3圖像處理技術(shù)研究的基本內(nèi)容
1.4圖像處理技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域
習(xí)題1
第2章數(shù)字圖像處理基礎(chǔ)
2.1電磁波譜與可見(jiàn)光譜
2.2人眼的亮度視覺(jué)特性
2.2.1視覺(jué)適應(yīng)性
2.2.2同時(shí)對(duì)比效應(yīng)
2.2.3馬赫帶效應(yīng)
2.2.4視覺(jué)錯(cuò)覺(jué)
2.3圖像的表示
2.3.1簡(jiǎn)單的圖像成像模型
2.3.2數(shù)字圖像的表示
2.4空間分辨率和灰度級(jí)分辨率
2.4.1空間分辨率和灰度級(jí)分辨率的概念
2.4.2采樣數(shù)變化對(duì)圖像視覺(jué)效果的影響
2.4.3空間分辨率變化對(duì)圖像視覺(jué)效果的影響
2.4.4灰度級(jí)分辨率變化對(duì)圖像視覺(jué)效果的影響
2.5像素間的關(guān)系
2.5.1像素的相鄰和鄰域
2.5.2像素的鄰接性與連通性
2.5.3距離的度量
2.6圖像的顯示
2.6.1顯示分辨率與圖像分辨率
2.6.2彩色模型
2.6.3位圖
2.6.4調(diào)色板
2.7圖像文件格式
2.7.1位圖文件頭
2.7.2位圖信息頭
2.7.3位圖調(diào)色板
2.7.4圖像的位圖數(shù)據(jù)
習(xí)題2
第3章數(shù)字圖像的基本運(yùn)算
3.1灰度反轉(zhuǎn)
3.2對(duì)數(shù)變換
3.3灰度直方圖
3.3.1灰度直方圖及其分布特征
3.3.2歸一化灰度圖像直方圖
3.3.3灰度直方圖的特征
3.4圖像的代數(shù)運(yùn)算
3.4.1圖像的相加運(yùn)算
3.4.2圖像的相減運(yùn)算
3.5圖像的幾何運(yùn)算
3.5.1圖像平移變換
3.5.2圖像旋轉(zhuǎn)變換
3.5.3圖像鏡像變換
3.5.4圖像轉(zhuǎn)置變換
3.5.5圖像縮放
習(xí)題3
第4章空間域圖像增強(qiáng)
4.1基于點(diǎn)運(yùn)算的圖像增強(qiáng)方法
4.1.1對(duì)比度拉伸
4.1.2窗切片
4.2基于直方圖的圖像增強(qiáng)方法
4.2.1直方圖均衡
4.2.2直方圖規(guī)定化
4.3基于空間平滑濾波的圖像增強(qiáng)方法
4.3.1空間濾波實(shí)現(xiàn)機(jī)理——模板運(yùn)算原理
4.3.2線性平滑濾波圖像增強(qiáng)方法——鄰域平均法
4.3.3非線性平滑濾波圖像增強(qiáng)方法——中值濾波法
4.4基于空間銳化濾波的圖像增強(qiáng)方法
4.4.1基于一階微分的圖像增強(qiáng)方法
4.4.2基于二階微分的圖像增強(qiáng)方法——拉普拉斯算子銳化方法
習(xí)題4
第5章頻率域圖像處理
5.1二維離散傅里葉變換
5.1.1二維離散傅里葉變換的定義和傅里葉頻譜
5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)
5.1.3圖像的傅里葉頻譜特性分析
5.1.4離散傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)
5.2頻率域圖像處理的基本實(shí)現(xiàn)思路
5.2.1基本實(shí)現(xiàn)思想
5.2.2轉(zhuǎn)移函數(shù)的設(shè)計(jì)
5.3基于頻率域的圖像噪聲消除——頻率域低通濾波
5.3.1理想低通濾波器
5.3.2巴特沃斯低通濾波器
5.3.3高斯低通濾波器
5.4基于頻率域的圖像增強(qiáng)——頻率域高通濾波
5.4.1理想高通濾波器
5.4.2巴特沃斯高通濾波器
5.4.3高斯高通濾波器
5.5帶阻濾波和帶通濾波
5.5.1帶阻濾波器
5.5.2帶通濾波器
習(xí)題5
第6章圖像恢復(fù)
6.1圖像的退化模型
6.1.1常見(jiàn)退化現(xiàn)象的物理模型
6.1.2圖像退化模型的表示
6.1.3離散退化模型
6.1.4圖像的離散退化模型
6.2空間域圖像的恢復(fù)
6.2.1無(wú)約束*小二乘方恢復(fù)
6.2.2有約束*小二乘方恢復(fù)
6.3頻率域圖像的恢復(fù)
6.4勻速直線運(yùn)動(dòng)模糊的恢復(fù)
6.5圖像噪聲與被噪聲污染圖像的恢復(fù)
6.5.1圖像噪聲
6.5.2被噪聲污染圖像的恢復(fù)
6.6幾何失真的校正
6.6.1坐標(biāo)的幾何校正
6.6.2灰度值恢復(fù)
習(xí)題6
第7章圖像壓縮編碼
7.1DCT變換
7.1.1一維DCT
7.1.2二維偶DCT
7.1.3DCT變換的基函數(shù)與基圖像
7.2數(shù)字圖像壓縮編碼基礎(chǔ)
7.2.1圖像壓縮的基本概念
7.2.2圖像質(zhì)量（相似度）評(píng)價(jià)——保真度準(zhǔn)則
7.2.3圖像編碼模型
7.3幾種*基本的變長(zhǎng)編碼方法
7.3.1費(fèi)諾碼
7.3.2霍夫曼編碼
7.3.3幾種接近*佳的變長(zhǎng)編碼
7.3.4算術(shù)編碼
7.4位平面編碼
7.4.1位平面分解
7.4.2位平面的格雷碼分解編碼
7.5游程編碼
7.6變換編碼
7.6.1變換編碼的過(guò)程
7.6.2子圖像尺寸的選擇
7.6.3變換的選擇
7.6.4變換系數(shù)的量化和編碼
7.6.5變換解碼
習(xí)題7
第8章小波圖像處理
8.1小波變換與圖像小波變換
8.1.1小波的概念和特性
8.1.2連續(xù)小波變換
8.1.3離散小波變換
8.1.4二進(jìn)小波變換
8.1.5塔式分解與Mallat算法
8.1.6圖像的小波變換
8.2嵌入式零樹小波編碼
8.2.1基于小波變換的圖像壓縮基本思路
8.2.2嵌入式編碼與零樹概念
8.2.3重要小波系數(shù)及掃描方法
8.2.4嵌入式零樹編碼方法
8.2.5嵌入式零樹小波編碼圖像的重建
8.2.6嵌入式零樹小波編碼的漸進(jìn)傳輸特性
8.3基于小波變換的圖像去噪方法
8.3.1小波去噪方法的機(jī)理
8.3.2小波收縮閾值去噪方法
習(xí)題8
第9章圖像分割
9.1圖像分割的概念
9.2基于邊緣檢測(cè)的圖像分割
9.2.1圖像邊緣的概念
9.2.2Hough變換
9.3基于閾值的圖像分割
9.3.1基于閾值的分割方法
9.3.2基于雙峰形直方圖的閾值選取
9.3.3其他閾值選取方法
9.4基于跟蹤的圖像分割
9.4.1輪廓跟蹤法
9.4.2光柵跟蹤法
9.5基于區(qū)域的圖像分割
第5章頻率域圖像處理
頻率域圖像是把空間域圖像像素的灰度值表示成隨位置變化的空間頻率，并以頻譜（也稱為頻譜圖）的形式表示圖像信息分布特征的一種表示方式。頻率域圖像處理是指在圖像的頻率域中對(duì)圖像進(jìn)行某種處理的方法，這種方法以傅里葉變換為基礎(chǔ)，也即先通過(guò)傅里葉變換把圖像從空間域變換到頻率域，然后用頻率域方法對(duì)圖像進(jìn)行處理，處理完后再利用傅里葉反變換把圖像變換回空間域。
本章首先介紹面向空間域圖像的二維離散傅里葉變換及其頻譜特性，然后介紹頻率域圖像處理的基本實(shí)現(xiàn)思路，*后介紹基于頻率域的圖像噪聲消除（頻率域低通濾波）和基于頻率域的圖像增強(qiáng)（頻率域高通濾波）方法，*后介紹面向某些特殊應(yīng)用的帶阻濾波和帶通濾波。
5.1二維離散傅里葉變換
1822年，法國(guó)工程師傅里葉（Fourier）指出： 一個(gè)“任意”的周期函數(shù)f(x)都可以分解為無(wú)窮多個(gè)不同頻率的正弦和/或余弦的和，即傅里葉級(jí)數(shù)。求解傅里葉級(jí)數(shù)的過(guò)程就是傅里葉變換。傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換又統(tǒng)稱為傅里葉分析或諧波分析。
離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT）描述的是離散信號(hào)的一維時(shí)域或二維空間域表示與頻域表示的關(guān)系，是信號(hào)處理和圖像處理中的一種*有效的數(shù)學(xué)工具之一，在頻譜分析、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)、功率譜分析、傳遞函數(shù)建模、圖像處理等方面具有廣泛的應(yīng)用。
5.1.1二維離散傅里葉變換的定義和傅里葉頻譜
由于一幅數(shù)字圖像可以描述成一個(gè)二維函數(shù)，所以下面僅介紹應(yīng)用于圖像處理的二維離散傅里葉變換。
1. 二維離散傅里葉變換的定義
設(shè)f(x,y)是在空間域上等間隔采樣得到的M×N的二維離散信號(hào)，x和y是離散實(shí)變量，u和v為離散頻率變量，則二維離散傅里葉變換對(duì)一般地定義為
F(u,v)=1MN∑M－1x=0∑N－1y=0f(x,y)exp－j2πxuM+yvN
(u=0,1,…,M-1； v=0,1,…,N-1）（5.1）
f(x,y)=1MN∑M－1u=0∑N－1v=0F(u,v)expj2πuxM+vyN
(x=0,1,…,M-1； y=0,1,…,N-1）（5.2）
在圖像處理中，有時(shí)為了討論上的方便，取M=N，這樣二維離散傅里葉變換對(duì)就定義為
F(u,v)=1N∑N－1x=0∑N－1y=0f(x,y)exp－j2π(xu+yv)N
(u,v=0,1,…,N-1）（5.3）
f(x,y)=1N∑N－1u=0∑N－1v=0F(u,v)expj2π(ux+vy)N
(x,y=0,1,…,N-1）（5.4）
其中，exp［－j2π(xu+yv)/N］是正變換核，exp［j2π(ux+vy)/N］是反變換核。
二維離散傅里葉變換的頻譜和相位角定義為
|F(u,v)|=R2(u,v)+I2(u,v)（5.5）
(u,v)=arctan［I(u,v)/R(u,v)］（5.6）
2. 圖像的傅里葉頻譜特性及頻譜圖
傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域。一幅空間域的圖像f(x,y)變換到頻率域F(u,v)后，其傅里葉頻譜|F(u,v)|可以以頻譜圖的形式予以顯示。比如，圖5.1（a）的圖像的頻譜如圖5.1（b）所示； 圖5.2（a）的圖像的頻譜如圖5.2（b）所示。
圖5.1圖像的傅里葉頻譜示例1
圖5.2圖像的傅里葉頻譜示例2
在圖像的傅里葉頻譜中，原空間域圖像上的灰度突變部位、圖像結(jié)構(gòu)復(fù)雜的區(qū)域、圖像細(xì)節(jié)及干擾噪聲等信息集中在高頻區(qū)，對(duì)應(yīng)于圖5.1（b）和圖5.2（b）的傅里葉頻譜的中間部位； 原空間域圖像上灰度變化平緩部位（也即空間域圖像的平坦區(qū)域）的信息集中在低頻區(qū)，對(duì)應(yīng)于圖5.1（b）和圖5.2（b）的傅里葉頻譜的4個(gè)角部分。也即在傅里葉頻譜圖上，4個(gè)角反映的是原圖像的低頻特性，中間部位反映的是原圖像的高頻特性。
按照?qǐng)D像空間域和頻率域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，空間域中的強(qiáng)相關(guān)性，也即圖像中一般都存在有大量的平坦區(qū)域，使得圖像平坦區(qū)域中的相鄰或相近像素一般趨向于取值相同或值相近的灰度值，它們?cè)陬l率域中對(duì)應(yīng)于低頻部分，低頻部分對(duì)應(yīng)于傅里葉頻譜的4個(gè)角部分。由于低頻部分能量較集中，因而在頻譜圖上的視覺(jué)效果較亮。
5.1.2二維離散傅里葉變換的若干重要性質(zhì)
二維離散傅里葉變換的性質(zhì)包括線性性、可分離性、平均值性質(zhì)、周期性、共軛對(duì)稱性、空間位置和空間頻率的平移性、旋轉(zhuǎn)性、尺度變換性、卷積性質(zhì)等。下面僅介紹幾種比較重要且在本書的有關(guān)內(nèi)容中涉及的性質(zhì)。
1. 變換系數(shù)矩陣
由二維離散傅里葉反變換式（5.4）可知，由于u和v均有0，1，…，N-1的N個(gè)可能的取值，所以f(x,y)由N2個(gè)頻率分量組成，所以每個(gè)頻率分量都與一個(gè)特定的（u,v）值相對(duì)應(yīng)； 且對(duì)于某個(gè)特定的（u,v）值來(lái)說(shuō)，當(dāng)（x,y）取遍所有可能的值（x=0，1，…，N-1； y=0，1，…，N-1）時(shí)，就可得到對(duì)應(yīng)于該特定的（u,v）值的一個(gè)變換系數(shù)矩陣：
expj2π0u+0vNexpj2π0u+1vN…expj2π0u+(N－1)vN
expj2π1u+0vNexpj2π1u+1vN…expj2π1u+(N－1)vN
expj2π(N－1)u+0vNexpj2π(N－1)u+1vN…expj2π(N－1)u+(N－1)vN（5.7）
顯然，對(duì)應(yīng)于不同（u,v）值的變換系數(shù)矩陣共有N2個(gè)，且它們與f(x,y)無(wú)關(guān)。
2. 可分離性
式(5.3)和式(5.4)的二維離散傅里葉變換對(duì)可寫成如下的分離形式：
F(u,v)=1N∑N－1x=0
∑N-1y=0f(x,y)exp-j2πyvNexp-j2πxuN
(u,v=0,1,…,N-1）（5.8）
f(x,y)=1N∑N－1u=0∑N-1v=0F(u,v)expj2πvyNexpj2πuxN
(x,y=0,1,…,N-1）（5.9）
上述的可分離表示形式說(shuō)明，可以連續(xù)運(yùn)用兩次一維DFT來(lái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)二維DFT。以式（5.8）為例，可先沿y軸方向進(jìn)行一維的（列）變換而求得
F(x,v)=1N∑N－1y=0f(x,y)exp－j2πvyN(v=0,1,…,N-1）（5.10）
然后再對(duì)F(x,v)沿x方向進(jìn)行一維的（行）變換而得到*后結(jié)果
F(u,v)=1N∑N－1x=0F(x,v)exp－j2πuxN(u,v=0,1,…,N-1）（5.11）
3. 平均值
一幅圖像的灰度平均值可表示為
f-=1N2∑N－1x=0∑N－1y=0f(x,y)（5.12）
如果將u=v=0代入式（5.3），可得
F(0,0)=1N∑N－1x=0∑N－1y=0f(x,y)（5.13）
所以，一幅圖像的灰度平均值可由DFT在原點(diǎn)處的值求得，即
f-=1NF(0,0)（5.14）
對(duì)于M×N的圖像f(x,y)和二維離散傅里葉變換對(duì)的一般定義式（5.1）和式（5.2），圖像的灰度平均值公式為
f-=1MNF(0,0)（5.15）
4. 周期性
對(duì)于M×N的圖像f(x,y)和二維離散傅里葉變換對(duì)的一般定義式（5.1）和式（5.2），F(xiàn)(u,v)的周期性定義為
F(u,v)=F(u+mM,v+nN)(m,n=0,±1, ±2,…）（5.16）
5. 共軛對(duì)稱性
設(shè)f(x,y)為實(shí)函數(shù)，則其傅里葉變換F(u,v)具有共軛對(duì)稱性
F(u,v)=F(－u,－v)（5.17）
|F(u,v)|=|F(－u,－v)|（5.18）
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