本書是供綜合性大學和師范院校數學類各專業本科一、二年級學生學習數學分析課程的一部教材，分上、中、下三冊。本冊為下冊，講授多元函數的數學分析理論，內容包括多元函數的極限和連續性、多元函數微分學及其應用、含參變量的積分、多元函數積分學及其應用、場論初步、微分形式和斯托克斯公式等。
本書對傳統數學分析教材的編排做了一些與時俱進的改革，內容做了適當縮減和增補，除了如傳統教材一樣重視對基礎知識和基本技巧的傳授外，也增加了一些分析學的新內容。本書講解十分清晰、淺顯易懂，配有充足的例題和習題，并對數學分析各個組成部分的來龍去脈和歷史發展有清楚并且引人入勝的介紹，不僅適合教師課堂講授，也很適合學生自學使用。
第14章 多元函數的極限和連續性
14.1 Rm中的點列和點集
14.1.1 Rm中的運算和距離
14.1.2 Rm中點列的極限
14.1.3 Rm中的點集
14.1.4 幾個重要定理
習題14.1
14.2 多元函數的概念
14.3 多元函數的極限
14.3.1 沿集合S的極限和全極限
14.3.2 方向極限和沿曲線的極限
14.3.3 累次極限
14.3.4 向量函數的極限
習題14.3
14.4 多元連續函數 第14章 多元函數的極限和連續性
14.1 Rm中的點列和點集
14.1.1 Rm中的運算和距離
14.1.2 Rm中點列的極限
14.1.3 Rm中的點集
14.1.4 幾個重要定理
習題14.1
14.2 多元函數的概念
14.3 多元函數的極限
14.3.1 沿集合S的極限和全極限
14.3.2 方向極限和沿曲線的極限
14.3.3 累次極限
14.3.4 向量函數的極限
習題14.3
14.4 多元連續函數
14.4.1 多元函數連續性的定義與運算
14.4.2 多元連續函數的性質
習題14.4
第15章 多元數量函數的微分學
15.1 偏導數和全微分
15.1.1 偏導數
15.1.2 全微分
15.1.3 全微分與偏導數的關系
習題15.1
15.2 方向導數和梯度
15.2.1 方向導數
15.2.2 梯度
15.2.3 微分中值定理
習題15.2
15.3 復合函數的偏導數和隱函數定理
15.3.1 復合函數的偏導數
15.3.2 復合函數的全微分
15.3.3 隱函數的偏導數和隱函數定理
習題15.3
15.4 高階偏導數和泰勒公式
15.4.1 高階偏導數和高階全微分
15.4.2 m重指標和高階偏導數的簡寫記號
15.4.3 泰勒公式
習題15.4
15.5 微分學的幾何應用
習題15.5
第16章 多元向量函數的微分學
16.1 線性變換與矩陣分析初步
16.1.1 線性變換與矩陣的代數理論
16.1.2 線性變換與矩陣的范數
16.1.3 可逆矩陣的攝動定理
習題16.1
16.2 多元向量函數的偏導數與全微分
習題16.2
16.3 隱函數定理和反函數定理
16.3.1 壓縮映射原理
16.3.2 隱函數定理
16.3.3 反函數定理
16.3.4 滿射定理和單射定理
習題16.3
第17章 多元函數的極值
17.1 簡單極值問題
習題17.1
17.2 條件極值問題
17.2.1 求穩定點的拉格朗日乘數法
17.2.2 拉格朗日乘數法的幾何解釋
習題17.2
第18章 含參變量的積分
18.1 含參變量的定積分
習題18.1
18.2 含參變量的廣義積分
18.2.1 含參量廣義積分的一致收斂
18.2.2 含參量廣義積分的性質
習題18.2
18.3 歐拉積分
18.3.1 伽馬函數
18.3.2 貝塔函數
習題18.3
第19章 重積分
19.1 Rm中點集的若爾當測度
19.1.1 若爾當測度的定義
19.1.2 若爾當可測的等價條件
19.1.3 若爾當測度的運算性質
習題19.1
19.2 重積分的定義和性質
19.2.1 重積分的定義
19.2.2 函數可積的達布準則
19.2.3 重積分的性質
習題19.2
19.3 重積分的計算
19.3.1 化重積分為累次積分
19.3.2 二重積分的計算
19.3.3 三重積分的計算
19.3.4 m重積分的計算
習題19.3
19.4 重積分的變元變換
19.4.1 變元變換的一般公式
19.4.2 一些常用的積分變元變換
19.4.3 m維球坐標變換
習題19.4
19.5 曲面的面積
習題19.5
19.6 重積分的物理應用
19.6.1 質心的計算
19.6.2 轉動慣量的計算
19.6.3 萬有引力的計算
習題19.6
第20章 曲線積分和曲面積分
20.1 第一型曲線積分和曲面積分
20.1.1 第一型曲線積分
20.1.2 第一型曲面積分
20.1.3 物理應用
習題20.1
20.2 第二型曲線積分和曲面積分
20.2.1 第二型曲線積分
20.2.2 第二型曲面積分
習題20.2
20.3 三個重要公式
20.3.1 格林公式
20.3.2 高斯公式
20.3.3 斯托克斯公式
習題20.3
第21章 廣義重積分和含參量的重積分
21.1 廣義重積分和含參量的重積分
21.1.1 廣義重積分
21.1.2 含參變量的重積分
習題21.1
21.2 函數的磨光及其應用
21.2.1 函數的磨光
21.2.2 截斷函數和單位分解定理
21.2.3 延拓定理
習題21.2
第22章 場論初步
22.1 關于場的基本概念
22.1.1 等值面和積分曲線
22.1.2 方向導數和梯度梯度場和勢函數
習題22.1
22.2 向量場的通量和散度
22.2.1 向量場的通量
22.2.2 向量場的散度
22.2.3 無源場及其性質
習題22.2
22.3 向量場的環量和旋度
22.3.1 向量場的環量
22.3.2 向量場的旋度
22.3.3 無旋場及其性質
習題22.3
22.4 一些重要定理
22.4.1 梯度、散度和旋度聯合的一些運算公式
22.4.2 保守場及其等價條件
22.4.3 亥姆霍茲分解定理
習題22.4
22.5 平面和曲面上的向量場
22.5.1 平面上的向量場
22.5.2 曲面上的向量場
習題22.5
第23章 微分形式和斯托克斯公式
23.1 反對稱多線性函數和外積
23.1.1 反對稱多線性函數
23.1.2 外積運算
習題23.1
23.2 微分形式和外微分
23.2.1 微分形式
23.2.2 外微分運算
23.2.3 閉形式和恰當形式
習題23.2
23.3 微分形式的變元變換和積分
23.3.1 微分形式的變元變換
23.3.2 微分形式的積分
習題23.3
23.4 斯托克斯公式
23.4.1 微分流形
23.4.2 流形上的積分
23.4.3 斯托克斯公式
習題23.4
綜合習題
參考文獻
第14章 多元函數的極限和連續性
在上冊和中冊我們學習了一元函數的微積分，從現在開始要學習多元函數的微積
分。所謂多元函數，就是有多個自變量的函數。這種函數在研究自然現象的過程中隨
處都可遇到。因為研究自然現象總離不開空間和時間，單看空間，在取定一個直角坐
標系之后，空間中全體點的集合便和由全體三元有序數組（x；y；z） 組成的集合R3 建
立了一一對應關系，這樣空間中的每個點就對應著三個實數x；y；z，所以當點在空間
中變化時我們就有了三個自變量x；y；z。如果再把時間t 作為一個自變量，則有四個
自變量x；y；z；t。因此一般的物理量通常都有四個自變量因而是四元函數。如果再需
要把其他某些參量作為自變量來考慮，就得到了具有更多個自變量的多元函數。因此,
把一元函數的微積分理論加以發展，建立多元函數的微積分理論，是科學研究的必然
需要.
本章討論多元函數的極限和連續性。在一元函數的微積分理論中已經看到，為了
研究一元函數，必須首先了解實數域R 的性質。與此類似，為了研究多元函數，必須
首先了解歐幾里得空間，簡稱歐氏空間Rm 的性質。Rm 是由全體m 元有序實數組
（x1；x2；… ；xm） 組成的一個數學體系，有m 個自變量的多元函數都可看成是從Rm
的某個子集到R 的一個映射，所以它在多元函數的微積分理論中起著與實數域R 在
一元函數的微積分理論中類似的作用。14.1 節討論Rm 的一些最基本的代數與分析
性質。14.2 節從一些具體的例子出發，引出多元函數的概念。14.3 節和14.4 節分別討
論多元函數的極限和連續性.
14.1 Rm 中的點列和點集
14.1.1 Rm 中的運算和距離
由全體m 元有序實數組（x1；x2；… ；xm） 組成的集合Rm 稱為m 維歐氏空間,
即
Rm = f（x1；x2；… ；xm） ： x1；x2；… ；xm 2 Rg：
從解析幾何我們已經知道，三維歐氏空間R3 中的元素既可以叫點也可以叫三維向量,
因為在空間中建立直角坐標系后，R3 中的元素既與空間中的點存在一一對應關系，也
與空間中的向量存在一一對應關系。把這些術語推廣，Rm 中的元素即m 元有序數組
（x1；x2；… ；xm） 既可以叫Rm 中的點，也可以叫m 維向量.
從線性代數課程我們知道，在Rm 上有下列三種運算.
（1） 加法和減法運算：對任意x；y 2 Rm，設x = （x1；x2；… ；xm），y = （y1；y2；… ;
ym），則它們的和x + y 與差x ? y 定義為
x § y = （x1 § y1；x2 § y2；… ；xm § ym）：
（2） 數乘運算：對任意x = （x1；x2；… ；xm） 2 Rm 和任意實數?，? 對x 的數乘
?x 定義為
?x = （?x1；?x2；… ；?xm）：
（3） 內積運算：對任意x；y 2 Rm，設x = （x1；x2；… ；xm），y = （y1；y2；… ；ym），則
它們的內積（x；y） 或點積x ￠ y 定義為
（x；y） = x ￠ y = x1y1 + x2y2 + … + xmym：
內積（x；y） 或點積x ￠ y 經常簡寫為xy，即
xy = （x；y） = x ￠ y = x1y1 + x2y2 + … + xmym：
這些運算已經在線性代數課程中有過詳細的研究，這里不再重復了。由內積運算可以
定義x 的長度（也稱范數或模） jxj，即
jxj = p（x；x） = qx2
1 + x2
2 + … + x2
m：
顯然，長度具有以下性質：
（1） jxj > 0；jxj = 0當且僅當x = 0 （非負性和非退化性）;
（2） j?xj = j?jjxj；8? 2 R；8x 2 Rn （正齊次性）;
（3） jx + yj 6 jxj + jyj （三角不等式）：
如果x 的長度為1，則稱x 為單位向量.
定義14.1.1 對Rm 中任意兩點x = （x1；x2；… ；xm） 和y = （y1；y2；… ；ym）,
稱它們的差x ? y 的長度為這兩個點之間的距離，記作d（x；y），即
d（x；y） = jx ? yj = p（x1 ? y1）2 + （x2 ? y2）2 + … + （xm ? ym）2：
容易看出，點的距離具有以下三個性質：
（1） d（x；y） = d（y；x） （對稱性）;
（2） d（x；y） > 0；d（x；y） = 0 當且僅當x = y （非負性和非退化性）;
（3） d（x；y） 6 d（x；z） + d（z；y） （三角不等式）：
以后，表示距離的兩個記號d（x；y） 和jx ? yj 我們將混合使用.
14.1.2 Rm 中點列的極限
由Rm 中的點構成的序列叫做Rm 中的點列.
如果用
x1；x2；… ；xn；… ;
表示Rm 中的點列，就會和Rm 中點x = （x1；x2；… ；xm） 的坐標x1；x2；… ；xm 產生
混淆。為此下面改用P，Q 等大寫符號表示Rm 中的點，從而Rm 中的點列就相應地
用fPng，fQng 等符號表示.
定義14.1.2 設fPng 是Rm 中的一個點列，P0 是Rm 中的一個點。如果
lim
n!1
d（Pn；P0） = lim
n!1jPn ? P0j = 0;
則稱當n ! 1 時，Pn 以P0 為極限，或稱當n ! 1 時，Pn收斂于P0，記作
lim
n!1
Pn = P0 或Pn ! P0 （當n ! 1）：
從定義14.1.2 可知，Pn 收斂于P0 的意思是當n ! 1 時，Pn 與P0 之間的距離
越來越小以至于無限地趨近于零。采用"{N 的語言，則lim
n!1
Pn = P0 是指對任意給
定的" > 0，存在相應的N 2 N，使得對任意的n > N 都有
d（Pn；P0） = jPn ? P0j < "：
由于點之間的距離是通過它們的坐標之差的平方和再開方來計算的，所以點列的
極限與由它們的坐標形成的數列的極限可以相互表示.
定理14.1.1 設Pn = （x1n；x2n；… ；xmn），n = 1；2；… ，P0 = （x10；x20；… ；xm0）,
則lim
n!1
Pn = P0 的充要條件是
lim
n!1
xjn = xj0；j = 1；2；… ；m；（14：1：1）
即lim
n!1
Pn = P0 的充要條件是對每個1 6 j 6 m，Pn 的第j 個坐標形成的數列xjn
（n = 1；2；… ） 以P0 點的相應坐標xj0 為極限.
證明由于
d（Pn；P0） =p（x1n ? x10）2 + （x2n ? x20）2 + … + （xmn ? xm0）2
6jx1n ? x10j + jx2n ? x20j + … + jxmn ? xm0j；n = 1；2；… ;
所以當式（14.1.1） 成立時，必然也有lim
n!1
d（Pn；P0） = 0，即lim
n!1
Pn = P0 成立。反之
由于
jxjn ? xj0j 6 d（Pn；P0）；j = 1；2；… ；m;
所以當lim
n!1
Pn = P0，即lim
n!1
d（Pn；P0） = 0 時，顯然也有式（14.1.1） 成立。因此,
lim
n!1
Pn = P0 與式（14.1.1） 等價。證畢.
應用定理14.1.1，可以把數列極限的除涉及大小比較關系之外的所有命題，都類
推到Rm 中點列的極限。當然也可類似于數列的極限直接從Rm 中點列極限的定義
推出這些命題.
定理14.1.2 一個點列如果收斂，那么它的極限是唯一的.
定理14.1.3 如果點列fPng 收斂，那么它必是有界的，即存在常數C > 0 使
成立
d（Pn;O） 6 C；n = 1；2；… ：
其中O 表示Rm 中的原點.
定理14.1.2 和定理14.1.3 的簡單證明我們留給讀者.
定理14.1.4（柯西收斂準則） 點列fPng 有極限的充要條件是對任意給定的" >
0，存在相應的N 2 N，使得對任意的l；n > N 都有
d（Pl；Pn） < "：
證明必要性。設lim
n!1
Pn = P0，則對任意給定的" > 0，存在相應的N 2 N，使
得對任意n > N 都有d（Pn；P0） <
"
2
。由此可知對任意的l；n > N 都有
d（Pl；Pn） 6 d（Pl；P0） + d（Pn；P0） <
"
2
+ "
2
= "：
充分性。設對任意給定的" > 0，存在相應的N 2 N，使得對任意的l；n > N 都有
d（Pl；Pn） < "。對每個正整數1 6 j 6 m，考慮由Pn 的第j 個坐標構成的數列fxjng.
對任意給定的" > 0，由于當l；n > N 時有
jxjl ? xjnj 6 d（Pl；Pn） < ";
所以fxjng 滿足柯西準則的條件，于是fxjng 收斂。記xj0 = lim
n!1
xjn，j = 1；2；… ;m,
并令P0 = （x10；x20；… ；xm0），則根據定理14.2.1 可知lim
n!1
Pn = P0，因此Pn 收斂于
P0。證畢.
定理14.1.5（列緊性原理） Rm 中的任意有界點列都有收斂的子列.
證明我們只以m = 2 的情況為例來證明，因為對m > 3 的一般情況證明
是類似的，只是記號更加復雜。設fPng 是R2 中的有界點列，并設Pn = （xn；yn）,
n = 1；2；… ，則fxng 和fyng 都是有界數列。由fxng 是有界數列，根據數列的列緊性
原理（定理2.4.3） 知，fxng 有收斂的子列，設為fxnkg。再考慮數列fynkg，因為fyng
是有界數列，所以fynkg 作為fyng 的子列也是有界數列，從而它也有子列收斂，設為
fynkl g。令Pnkl
= （xnkl
；ynkl
），l = 1；2；… ，則因為fxnkl g 和fynkl g 都是收斂數列，所
以根據定理14.2.1 知，點列fPnkl g 收斂。這就證明了fPng 有收斂的子列fPnkl g。證
畢.
和數列的情況類似，定理14.1.5 也叫做波爾查諾--魏爾斯特拉斯列緊性原理.
14.1.3 Rm 中的點集
在討論一元函數的極限、連續性以及可微性等性質時，經常需要考慮鄰域、開區
間、閉區間等概念。為了研究多元函數的同類性質，我們也需要使用一些類似的概念.
下面給出這些概念的定義.
定義14.1.3 對任意x0 2 Rm 和r > 0，我們記
B（x0；r） = fx 2 Rm ： d（x；x0） < rg；B（x0；r） = fx 2 Rm ： d（x；x0） 6 rg：
B（x0；r） 稱為以點x0 為心、以r 為半徑的開球；B（x0；r） 稱為以點x0 為心、以r 為
半徑的閉球。B（x0；r） 也稱為點x0 的r 鄰域；B（x0；r） 也稱為點x0 的r 閉鄰域.
B（x0；r） 和B（x0；r） 也分別記作Br（x0） 和Br（x0）.
需要注意的是\球" 是針對m > 3 的情況使用的術語。在m = 2 的情況則改稱為
\圓盤"，即R2 中的B（x0；r） 稱為以x0 為心、以r 為半徑的開圓盤；1B （x0；r） 叫做以
x0 為心、以r 為半徑的閉圓盤。不過，在沒有特別指明m = 2 時，無論是否包含這種
情況，我們都籠統地把B（x0；r） 叫做開球，把1B （x0；r） 稱為閉球.
定義14.1.4 設S 是Rm 中的一個非空點集，x0 是Rm 中的一個點.
（1） 如果x0 2 S，且存在± > 0，使得點x0 的± 鄰域B（x0；±） 完全包含于S，即
B（x0；±） μ S，則稱x0 為S 的內點（圖14-1-1）。S 的全部內點組成的集合叫做S 的內
域，記作S±.
（2） 如果對任意± > 0，點x0 的± 鄰域B（x0；±） 中都既含有S 中的點又含有S 以外
的點，即B（x0；±）TS 6= ? 且B（x0；±）TSc 6= ?，這里Sc 表示S 的余集：Sc = RmnS,
則稱x0 為S 的邊界點（圖14-1-2）。S 的全部邊界點組成的集合稱為S 的邊界,
記作@S.
（3） 如果對任意± > 0，x0 的± 鄰域B（x0；±） 中都含有S 中異于x0 的點，即
B（x0；±）T（Snfx0g） 6= ?，則稱x0 為S 的聚點或極限點（圖14-1-3）。S 的全部聚點組
成的集合稱為S 的導集，記作S0.
（4） S 與其導集S0 的并集稱為S 的閉包，記作S，即S = S SS0.
（5） 如果x0 2 S，且存在± > 0，使得點x0 的± 鄰域B（x0；±） 中除x0 之外沒有其
他S 中的點，即B（x0；±）TS = fx0g，則稱x0 為S 的孤立點（圖14-1-4）.
顯然，內點都是聚點，即S± μ S0。又顯然，孤立點都必然是邊界點，即如果x0 是
S 的孤立點，則x0 2 @S。不是孤立點的邊界點都顯然是聚點。需要注意的是集合S
的內點和孤立點都在S 中，但S 的邊界點和聚點可能在S 中，也可能不在S 中。另
外，不難證明S = S S@S（見本節習題10）.
對于集合S 以外的、不是S 的邊界點的點x0，顯然一定存在± > 0，使得x0 的±
鄰域B（x0；±） 與S 不相交即B（x0；±）TS = ?，因而B（x0；±） μ Sc。我們稱這樣的點
x0 與集合S有正的距離.
定義14.1.5 設S 是Rm 中的一個非空點集.
（1） 如果S 中的每個點都是它的內點，即對任意x0 2 S，都存在相應的± > 0，使
得B（x0；±） μ S，則稱S 為開集。因此S 是開集當且僅當S = S±.
（2） 如果S 的聚點全在S 中，即S0 μ S，則稱S 為閉集。由于S = S SS0，所以
S 是閉集當且僅當S = S.
規定空集既是開集，又是閉集。不過，以后說開集、閉集時，都是指非空的開集和
非空的閉集.
定理14.1.6 （1） E 是開集當且僅當其余集Ec = RmnE 是閉集.
（2） 任意多個開集的并是開集，任意多個閉集的交是閉集.
（3） 有限多個開集的交是開集，有限多個閉集的并是閉集.
證明（1） 設E 是開集，要證明它的余集Ec 是閉集。（反證法） 設Ec 不是閉集,
則存在Ec 的聚點x0 不在Ec 中。于是x0 2 E。因為E 是開集，所以存在± > 0 使得
B（x0；±） μ E。這意味著B（x0；±）TEc = ?，而這與x0 是Ec 的聚點相矛盾。因此Ec
是閉集.
再設Ec 是閉集。對任意x0 2 E，因為x0 62 Ec 而Ec 是閉集，所以存在± > 0 使
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