本書是“工業和信息化部‘十二五’規劃教材”。本書針對理工科學生的特點和人才培養的需要編寫，體現內容的完備性、易懂性、應用性、實踐性、文化性和前沿性。全書共6章，主要內容包括：曲線與曲面論，張量代數和外形式，微分流形，切向量場、單參數變換群與切叢，張量場、黎曼流形與列維-齊維塔聯絡，流形上的積分、微分算子和德拉姆上同調。本書提供配套電子課件、MATLAB程序代碼等。
孫和軍，副教授，博士畢業于中國科學院數學與系統科學研究院，現任教于南京理工大學。美國數學會(AMS)會員，美國工業與應用數學會 (SIAM)會員；國際權威數學刊物美國《數學評論》(Mathematical Reviews)評論員；中國兵工學會會員。長期講授研究生基礎課現代微分幾何、黎曼幾何導論，本科生公共基礎課高等數學、線性代數等。本課程被評為江蘇省2010年研究生精品課程“現代微分幾何”，“現代微分幾何”多媒體課件在國家教育部舉辦的第十屆全國多媒體課件大賽高教理科組中獲得三等獎。
第1章 曲線與曲面論1
1.1 度量空間與歐氏空間2
1.1.1 度量空間2
1.1.2 向量空間4
1.1.3 仿射空間6
1.1.4 歐氏空間6
1.1.5 等距變換7
1.2 三維歐氏空間中的向量代數和向量分析7
1.2.1 三維歐氏空間中的向量及其運算8
1.2.2 向量函數和向量分析8
附錄1.2 笛卡兒生平及學術貢獻10
1.3 曲線論概述12
1.3.1 曲線的表示12
1.3.2 空間曲線的基本三棱形14
1.3.3 曲線的曲率、撓率和費雷內公式16
附錄1.3 歐拉生平及學術貢獻19
1.4 曲面論概述21
1.4.1 曲面的表示21
1.4.2 曲面的定向24
1.4.3 曲面的**基本形式26
1.4.4 曲面的第二基本形式28
1.4.5 曲面的曲率30
附錄1.4 高斯生平及學術貢獻34
1.5 基于MATLAB的幾何圖形繪制和數值計算36
1.5.1 MATLAB用戶環境介紹36
1.5.2 基于MATLAB的平面曲線繪制37
1.5.3 基于MATLAB的空間曲線繪制38
1.5.4 基于MATLAB的曲面繪制39
1.5.5 基于MATLAB的微分幾何數值計算44
習題145
第2章 張量代數和外形式46
2.1 對偶空間與多重線性函數46
2.1.1 對偶空間46
2.1.2 多重線性函數48
2.2 張量與張量代數49
2.2.1 張量及其表示49
2.2.2 張量積和張量代數50
2.2.3 張量的縮并運算53
2.2.4 度量張量、指標的提升和下降54
2.3 對稱張量和反對稱張量55
2.3.1 對稱與反對稱張量55
2.3.2 對稱化與反對稱化算子57
2.4 外形式與外代數59
2.4.1 外形式59
2.4.2 外積60
2.4.3 外形式空間和外代數62
2.4.4 外形式的性質63
附錄2.4 嘉當生平及學術貢獻65
習題267
第3章 微分流形68
3.1 拓撲學基本概念69
3.1.1 拓撲空間69
3.1.2 拓撲空間的子集70
3.1.3 拓撲空間的映射71
3.1.4 拓撲不變性72
3.2 微分流形74
3.2.1 拓撲流形74
3.2.2 微分流形75
3.2.3 微分流形的例子76
附錄3.2 黎曼生平及學術貢獻79
3.3 光滑映射和微分同胚81
3.3.1 流形間的光滑映射81
3.3.2 微分同胚82
附錄3.3 惠特尼生平及學術貢獻84
3.4 切向量與余切向量85
3.4.1 切向量與切空間85
3.4.2 余切向量和余切空間89
3.4.3 誘導切映射和誘導余切映射90
3.5 子流形和帶邊流形92
3.5.1 浸入與嵌入92
3.5.2 開子流形和閉子流形95
3.5.3 嵌入定理96
3.5.4 帶邊流形和閉流形97
附錄3.5 納什生平及學術貢獻97
習題399
第4章 切向量場、單參數變換群與切叢102
4.1 切向量場和泊松括號積102
4.1.1 切向量場103
4.1.2 李代數與泊松括號積104
4.1.3 微分流形上的對合分布107
4.1.4 誘導切映射與泊松括號積運算的可交換性109
4.2 單參數變換群和李導數109
4.2.1 單參數變換群110
4.2.2 單參數變換群的誘導光滑切向量場110
4.2.3 李導數112
4.3 向量叢和切叢113
4.3.1 向量叢113
4.3.2 切叢和余切叢115
附錄4.3 陳省身生平及學術貢獻118
習題4121
第5章 張量場、黎曼流形與列維-齊維塔聯絡122
5.1 光滑張量場123
5.1.1 光滑張量場123
5.1.2 張量場的李導數125
5.2 單位分解定理、黎曼流形和偽黎曼流形126
5.2.1 單位分解定理126
5.2.2 黎曼流形126
5.2.3 偽黎曼流形128
附錄5.2 愛因斯坦、廣義相對論與黎曼幾何130
5.3 外微分式及外微分132
5.3.1 外微分式132
5.3.2 外微分133
5.3.3 流形間光滑映射的誘導映射138
5.4 仿射聯絡和列維-齊維塔聯絡141
5.4.1 仿射聯絡和仿射聯絡空間141
5.4.2 撓率張量和撓率形式143
5.4.3 列維-齊維塔聯絡145
5.4.4 協變微分147
附錄5.4 列維-齊維塔生平及學術貢獻150
5.5 黎曼曲率和結構方程151
5.5.1 平行移動和測地線151
5.5.2 仿射聯絡的曲率張量和曲率形式152
5.5.3 黎曼曲率張量、截曲率和常曲率空間154
5.5.4 黎曼流形的結構方程157
5.5.5 里奇曲率和數量曲率159
5.5.6 愛因斯坦流形和卡拉比-丘流形160
習題5161
第6章 流形上的積分、微分算子和德拉姆上同調164
6.1 流形的定向、流形上的積分和斯托克斯定理165
6.1.1 流形的定向165
6.1.2 光滑流形上的積分167
6.1.3 黎曼流形上的積分169
6.1.4 斯托克斯定理170
6.2 黎曼流形上的微分算子174
6.2.1 霍奇星算子175
6.2.2 散度算子和梯度算子176
6.2.3 余微分算子179
6.3 霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-貝爾特拉米算子及其特征值182
6.3.1 霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-貝爾特拉米算子183
6.3.2 拉普拉斯算子的特征值187
附錄6.3 貝爾特拉米生平及學術貢獻190
6.4 德拉姆上同調和霍奇分解定理192
6.4.1 德拉姆上同調192
6.4.2 霍奇分解定理及其應用193
6.4.3 龐加萊對偶定理195
附錄6.4 德拉姆生平及學術貢獻197
習題6199
名詞索引201
人名索引208
參考文獻213
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