本書是“工科數學分析”或“高等數學”課程教材,分為上､下兩冊｡上冊以單變量函數為主要研究對象,內容包括函數､極限與連續,導數與微分,微分中值定理與導數的應用,定積分與不定積分,常微分方程｡下冊側重刻畫多變量函數,從向量代數與空間解析幾何開始,學習多元函數微分學､重積分､曲線積分與曲面積分,后介紹無窮級數｡
本書結構嚴謹,邏輯清晰,闡述細致,淺顯易懂,可作為高等院校非數學類理工科專業的本科教材,也可作為高等數學教育的參考教材和自學用書｡
前 言
工科數學分析是一門重要的大學基礎課程,包括微積分的基本知識､向量代數與空間解析幾何､常微分方程,其他方面各類課本略有差異｡它能和中學的數學銜接起來,高深而略能欣賞,從而使學生獲得解決實際問題能力的初步訓練,為學習后繼課程奠定必要的數學基礎｡微積分是文藝復興和科技革命以來最偉大的創造,被譽為人類精神的最高勝利｡牛頓靠微積分成就了牛頓力學,大部分科學上的成就也都需用到微積分｡解析幾何是學習多變量微積分的重要準備,其知識結構也自成體系｡常微分方程作為微積分的重要應用之一,它的形成與發展是和力學､天文學､物理學,以及其他科學技術的發展密切相關的｡數學的其他分支的新發展,如復變函數､李群､組合拓撲學等,都對常微分方程的發展產生了深刻的影響,當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了強有力的工具｡
數學的重要性不言而喻,很多著名學者對此都做出過深刻的評價｡“數學王子”高斯(Carl Friedrich Gauss,1777—1855)說:數學是“科學之王”｡德國物理學家倫琴(Wilhelm Conrad Rntgen,1845—1923),在回答科學家需要怎樣的修養時說:第一是數學,第二是數學,第三還是數學｡復旦大學數學家李大潛院士說:數學學習的本質是提高素質｡美國國家科學獎章獲得者,瑞士蘇黎世聯邦理工學院數學家卡爾曼(Kálmán Rudolf Emil)在2005年國際自動控制聯合會的世界大會上曾評論到:高技術的本質是一種數學技術｡
國家安全依賴于數學科學｡不論是密碼學､網絡科學與技術,還是大規模科學計算,沒有數學知識的幕后支持,這些學科哪一門可以走得遠呢?軍政部門的數據決策､后勤保障､模擬訓練和測試､軍事演習､圖像和信號分析､衛星和航天器的控制､新設備的測試和評估､威脅檢測,離了數學,又有哪一個可以行得通呢?
即使是從文化的角度來看,數學的作用也是無處不在的｡我們以折紙這一古老而有趣的文化為例,對此進行簡要的說明｡折紙背后的數學公理系統､在計算上的算法和軟件開發,對于人們的生產､生活產生了重大的影響｡人們將其應用到衛星太陽能帆板､汽車安全氣囊的折疊和展開,人造血管支架乃至輪胎紋理的設計等方面,取得了巨大的成功｡這種純粹基于興趣的,看起來毫無實際用途的研究,以出乎人們意料的方式在現實生活中產生了巨大的應用價值｡
確實,人類正使用數學以前所未有的力度改變著整個世界,不論是用傅里葉變換分析音樂和弦,還是用計算流體力學技術設計新型足球,我們生活的方方面面正受益于數學的應用｡在網絡搜索､基因工程､地質勘探､現代醫學､氣候研究､電子設備開發等幕后,數學一直都在｡如果想了解世界是怎樣運轉的,我們必須明白數學的作用,學習它,了解它,掌握它｡我們不應只滿足于科學的應用,更應去追問所做事情中的原理｡
本書作為“十三五”國家重點出版物出版規劃項目,隸屬于“名校名家基礎學科”系列｡全書分為上､下兩冊｡上冊以單變量函數為主要研究對象,內容包括函數､極限與連續,導數與微分,微分中值定理與導數的應用,定積分與不定積分,常微分方程｡下冊側重刻畫多變量函數,從向量代數與空間解析幾何開始,學習多元函數微分學､重積分､曲線積分與曲面積分,最后介紹無窮級數｡一句話,工科數學分析的主要目的就是以極限為工具,研究函數的分析運算性質｡從上冊的單變量函數開始,到下冊的多變量函數完結｡在難度設置上,工科數學分析弱于數學系本科生學習的數學分析,強于一般非數學專業的理工科學生必修的微積分或高等數學｡
和傳統教材不同的是,本書配套有可供手機或平板電腦上使用的書伴APP｡作為全新的移動學習型教材,我們綜合使用這種新媒介作為作者和讀者的全方位交互平臺,實現了傳統紙質教材和網絡互聯平臺的有機結合｡利用手機或平板電腦掃描教材每頁預留的二維碼,讀者可以得到與該頁內容相關的資源,如教材重要內容展開､有關數學實驗､圖片､動畫､思考題答案､視頻資料以及學術講座等內容｡而且,這些內容可以跟隨使用情況隨時進行動態增添修改｡同時,借助于這種移動終端,學生還可以在平臺上提供的討論與提問板塊,直接和作者､同學及專業老師進行溝通和提問;教師在平臺上可以在線答疑,有共性的問題可以吸納為習題,個性的問題也能馬上解決｡我們希望這種新穎的互動學習方式可以提高學生的學習興趣,有效地避免學習疲勞｡換言之,我們希望教材是動態的､開放的,是具有完全狀態反饋形式的“閉環系統”,是由讀者和作者共同編寫完成的｡這一點對于以往的傳統教材來說是不可想象的｡在使用本書的過程中,讀者若有任何建議或意見,也可以通過該平臺直接反映給我們,或者給我們發電子郵件(sun345@bit.
目 錄
前言
第一章 函數､極限與連續1
第一節 函數1
一､函數概念1
二､函數的幾種特性4
三､函數的運算5
四､反函數與復合函數5
五､初等函數8
六､雙曲函數與反雙曲函數8
七､曲線的參數方程與極坐標方程10
習題1-113
第二節 極限的概念14
一､數列的極限15 二､函數的極限18
習題1-222
第三節 極限的性質23
習題1-326
第四節 無窮小與無窮大26
一､無窮小26
二､無窮大28
習題1-430
第五節 極限的運算法則30
習題1-535
第六節 極限存在準則與兩個重要極限及
幾個基本定理36
一､夾逼準則36
二､單調有界準則38
三､幾個關于區間和極限的基本定理42
習題1-644
第七節 無窮小的比較46
習題1-748
第八節 函數的連續性50
一､連續函數的概念50
二､連續函數的運算及初等函數的
連續性53
三､閉區間上的連續函數的性質54
習題1-857
第九節 綜合例題59
習題1-963
第二章 導數與微分66
第一節 導數的概念66
一､幾個實例66
二､導數的定義67
三､導數的意義69
四､可導性與連續性的關系72
五､一些簡單函數的導數72
習題2-174
第二節 求導法則和基本公式75
一､函數的和､差､積､商的求導法則75
二､反函數的求導法則77
三､復合函數的求導法則78
四､導數的基本公式82
習題2-283
第三節 隱函數的求導法和由參數方程
確定的函數的求導法84
一､隱函數求導法84
二､對數求導法86
三､由參數方程確定的函數的求導法87
四､由極坐標確定的函數求導法89
五､相關變化率問題90
習題2-391
第四節 高階導數93
一､高階導數定義93
二､幾個重要函數的高階導數94
三､乘積的高階導數96
四､隱函數的二階導數97
五､由參數方程確定的函數的二階導數98
習題2-499
第五節 微分100
一､微分的概念101
二､微分與導數的關系102
三､微分的幾何意義103
四､基本微分公式和微分運算法則103
五､微分在近似計算中的應用106
六､高階微分108
習題2-5109
第六節 綜合例題110
習題2-6116
第三章 微分中值定理與導數的應用118
第一節 微分中值定理118
習題3-1123
第二節 洛必達法則124
一､洛必達法則124
二､其他類型的不定式128
習題3-2130
第三節 函數的單調性與極值132
一､函數的單調性132
二､函數的極值135
三､函數的最大值和最小值137
習題3-3139
第四節 曲線的凹凸性和漸近線,函數
作圖141
一､曲線的凹凸性和拐點141
二､曲線的漸近線145
三､函數作圖147
習題3-4149
第五節 曲線的曲率150
一､弧微分150
二､曲線的曲率150
三､曲率圓153
習題3-5155
第六節 泰勒公式155
一､泰勒定理155
二､幾個初等函數的麥克勞林公式159
三､一些其他函數的泰勒公式160
四､泰勒公式的應用162
習題3-6165
第七節 綜合例題166
習題3-7175
第四章 定積分與不定積分179
第一節 定積分的概念與性質179
一､幾個實際問題179
二､定積分的定義183
三､定積分存在的條件184
四､定積分的幾何意義185
五､定積分的性質185
習題4-1189
第二節 微積分基本定理190
一､一個實際問題引出的思考190
二､變上限的積分191
三､牛頓萊布尼茨公式194
習題4-2195
第三節 不定積分196
一､不定積分的概念196
二､不定積分的性質197
三､基本積分公式198
習題4-3200
第四節 不定積分的基本積分方法201
一､換元積分法201
二､幾種常見類型的積分206
三､分部積分法215
習題4-4218
第五節 定積分的計算221
一､定積分的換元法221
二､定積分的分部積分法225
習題4-5228
第六節 反常積分229
一､無窮積分229
二､瑕積分232
三､反常積分收斂性的判別法234
習題4-6239
第七節 定積分的幾何應用240
一､平面圖形的面積241
二､立體體積243
三､平面曲線的弧長246
習題4-7248
第八節 定積分的物理應用250
一､變力沿直線所做的功250
二､液體的靜壓力252
三､細桿對質點的引力253
習題4-8254
第九節 綜合例題256
習題4-9264
第五章 常微分方程269
第一節 微分方程的基本概念269
習題5-1272
第二節 一階微分方程272
一､可分離變量的方程272
二､齊次方程274
三A
新書資訊