《高等數(shù)學.上冊》分上、下兩冊. 上冊內(nèi)容包括函數(shù)與極限、導數(shù)與微分、微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用、空間解析幾何、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用. 下冊內(nèi)容包括不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級 數(shù)、微分方程初步. 《高等數(shù)學.上冊》每節(jié)都配有習題,每章配有總習題和歷年考研題. 《高等數(shù)學.上冊》配套的輔助教材有《高等數(shù)學典型問題與應(yīng)用案例剖析(上、下冊)》.
《高等數(shù)學.上冊》是作者多年教學經(jīng)驗的總結(jié),可作為非數(shù)學專業(yè)學生高等數(shù)學的教材, 也可作為相關(guān)人員的參考書.
前言
預(yù)備知識1
一、集合 1
二、映射 4
三、區(qū)間和鄰域 6
第一章 函數(shù)與極限 8
第一節(jié) 函數(shù)8
一、函數(shù)概念 8
二、函數(shù)的幾種特性 13
三、反函數(shù)與復合函數(shù) 16
四、函數(shù)的運算18
五、初等函數(shù) 19
六、函數(shù)關(guān)系的建立 24
習題 1-1 26
第二節(jié) 數(shù)列的極限 27
一、數(shù)列極限的定義 27
二、收斂數(shù)列的性質(zhì) 33
習題 1-236
第三節(jié) 函數(shù)的極限 37
一、函數(shù)極限的概念 37
二、函數(shù)極限的性質(zhì) 44
習題 1-346
第四節(jié) 無窮小與無窮大 47
一、無窮小 47
二、無窮大 48
習題 1-450
第五節(jié) 極限運算法則51
習題 1-5 58
第六節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限 59
習題 1-6 66
第七節(jié) 無窮小的比較66
習題 1-770
第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點70
一、函數(shù)的連續(xù)性 70
二、連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 73
三、函數(shù)的間斷點 77
習題 1-879
第九節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 81
一、有界性與最大值最小值定理81
二、零點定理與介值定理82
三、一致連續(xù)性 84
習題 1-985
總習題一 86
歷年考研題一 88
第二章 導數(shù)與微分 90
第一節(jié) 導數(shù)概念 90
一、引例 90
二、導數(shù)的定義92
三、導數(shù)的幾何意義 94
四、函數(shù)可導性與連續(xù)性的關(guān)系96
習題 2-1 97
第二節(jié) 一些基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 導數(shù)的四則運算法則 98
一、一些基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 98
二、導數(shù)的四則運算法則 100
習題 2-2 103
第三節(jié) 反函數(shù)求導法則 復合函數(shù)求導法則103
一、反函數(shù)的求導法則 103
二、復合函數(shù)的求導法則 105
三、雙曲函數(shù)的導數(shù) 108
習題 2-3 109
第四節(jié) 高階導數(shù) 110
習題 2-4 113
第五節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)和相關(guān)變化率 114
一、隱函數(shù)的導數(shù) 114
二、對數(shù)求導法 116
三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)117
四、相關(guān)變化率 119
習題 2-5120
第六節(jié) 函數(shù)的微分 121
一、微分的定義 121
二、微分的幾何意義124
三、微分的運算 124
四、微分在近似計算中的應(yīng)用 126
習題 2-6129
總習題二 129
歷年考研題二 130
第三章 微分中值定理與導數(shù)的應(yīng)用 132
第一節(jié) 微分中值定理132
習題 3-1 137
第二節(jié) 洛必達法則 138
一、00 型未定式 138
二、11型未定式 139
三、其他未定式 141
習題 3-2 142
第三節(jié) 泰勒公式 142
習題 3-3 144
第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 145
一、函數(shù)的單調(diào)性的判定法 145
二、曲線的凹凸性與拐點 147
習題 3-4 150
第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值、最小值 151
一、函數(shù)的極值與求法 151
二、最大值、最小值問題 153
習題 3-5 155
第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪 155
一、漸近線 156
二、函數(shù)圖形的描繪156
習題 3-6 158
第七節(jié) 曲率 159
一、弧微分 159
二、曲率及其計算公式 160
三、曲率半徑與曲率圓 162
四、曲率中心的計算公式 162
習題 3-7 162
第八節(jié) 方程的近似解 163
一、二分法 163
二、切線法 164
習題 3-8 165
總習題三 165
歷年考研題三 167
第四章 空間解析幾何 171
第一節(jié) 向量及其線性運算 171
一、向量基本概念 171
二、向量的線性運算172
習題 4-1 176
第二節(jié) 向量的坐標及利用坐標作向量的線性運算176
一、空間直角坐標系176
二、空間點的坐標和向量的坐標 177
三、利用坐標做向量的線性運算 178
習題 4-2 180
第三節(jié) 向量的模、方向角、投影 180
一、向量的模 180
二、兩點間距離公式181
三、方向角和方向余弦 182
四、向量在軸上的投影 183
習題 4-3 184
第四節(jié) 向量的數(shù)量積 向量積 混合積185
一、兩向量的數(shù)量積185
二、兩向量的向量積188
三、向量的混合積 192
習題 4-4 194
第五節(jié) 空間曲面及其方程 195
一、曲面方程的概念195
二、常見的幾種空間曲面的方程 196
習題 4-5 202
第六節(jié) 平面及其方程202
一、平面的點法式方程 202
二、平面的一般方程204
三、兩平面的夾角 206
習題 4-6 208
第七節(jié) 空間曲線方程209
一、空間曲線的一般方程 209
二、空間曲線的參數(shù)方程 211
三、空間曲線在坐標面上的投影 212
習題 4-7 214
第八節(jié) 空間直線及其方程 215
一、空間直線的一般方程 215
二、空間直線的對稱式方程 216
三、空間直線的參數(shù)方程 217
四、兩直線的夾角 219
五、直線與平面的夾角 220
六、平面束 221
習題 4-8 222
第九節(jié) 二次曲面 223
一、橢圓錐面 224
二、單葉雙曲面 226
三、雙葉雙曲面 226
四、橢球面 226
五、橢圓拋物面 227
六、雙曲拋物面 228
七、橢圓柱面 雙曲柱面和拋物柱面 ax2 = y 229
習題 4-9 229
總習題四 229
歷年考研題四 230
第五章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 231
第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 231
一、平面點集 n 維空間 231
二、多元函數(shù)概念 235
三、多元函數(shù)的極限 237
四、多元函數(shù)的連續(xù)性 240
習題 5-1 241
第二節(jié) 多元函數(shù)的偏導數(shù) 243
一、偏導數(shù)的概念 243
二、偏導數(shù)的計算 244
三、偏導數(shù)的幾何意義 245
四、函數(shù)的偏導數(shù)與函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系 246
五、高階偏導數(shù) 246
習題 5-2 248
第三節(jié) 全微分 249
一、全微分的定義 249
二、連續(xù)、偏導數(shù)存在與全微分的關(guān)系 250
習題 5-3 253
第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則 254
習題 5-4 258
第五節(jié) 隱函數(shù)的求導法則 259
一、一個方程的情形259
二、方程組的情形 261
習題 5-5 265
第六節(jié) 多元函數(shù)微分學的應(yīng)用 266
一、空間曲線的切線與法平面 266
二、曲面的切平面與法線 270
習題 5-6 273
第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 274
一、方向?qū)?shù) 274
二、梯度 277
習題 5-7 281
第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 281
一、多元函數(shù)的無條件極值 281
二、多元函數(shù)的最值 283
三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 285
習題 5-8 289
總習題五 289
歷年考研題五 290
部分習題答案與提示 294
參考文獻 315
附錄 常用積分公式 316
預(yù)備知識
一、集合
1.集合概念
集合是數(shù)學中的一個基本概念，先通過例子來說明這個概念.例如，一個書柜中的書構(gòu)成一個集合，一間教室里的學生構(gòu)成一個集合，全體實數(shù)構(gòu)成一個集合等.一般地，所謂集合(簡稱集)是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個集合的事物稱為該集合的元素(簡稱元).
通常用大寫拉丁字母A;B;C;？？？表示集合，用小寫拉丁字母a;b;c;？？？表示集合的元素.如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記為a2A;如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記為a=2A或a2A.一個集合，若它只有有限個元素，則稱為有限集;不是有限集的集合稱為無限集.
表示集合的方法通常有以下兩種:一種是列舉法，就是把集合的全體元素一一列舉出來表示，如由元素a1;a2;？？？;an組成的集合A，可表示成
另一種是描述法，若集合M是由具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成的，就可表示成
例如，集合B是方程x2.1=0的解集，就可表示成
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